Variedad modular de Hilbert

Superficie algebraica en matemáticas

En matemáticas, una superficie modular de Hilbert o superficie de Hilbert–Blumenthal es una superficie algebraica que se obtiene tomando un cociente de un producto de dos copias del semiplano superior por un grupo modular de Hilbert . De manera más general, una variedad modular de Hilbert es una variedad algebraica que se obtiene tomando un cociente de un producto de múltiples copias del semiplano superior por un grupo modular de Hilbert.

Las superficies modulares de Hilbert fueron descritas por primera vez por Otto Blumenthal (1903, 1904) utilizando algunas notas inéditas escritas por David Hilbert unos 10 años antes.

Definiciones

Si R es el anillo de números enteros de un cuerpo cuadrático real , entonces el grupo modular de Hilbert SL ₂ ( R ) actúa sobre el producto H × H de dos copias del semiplano superior H . Existen varias superficies biracionalmente equivalentes relacionadas con esta acción, cualquiera de las cuales puede llamarse superficies modulares de Hilbert :

• La superficie X es el cociente de H × H por SL ₂ ( R ); no es compacta y suele tener singularidades de cociente provenientes de puntos con grupos de isotropía no triviales.
• La superficie X ^* se obtiene a partir de X mediante la suma de un número finito de puntos correspondientes a las cúspides de la acción. Es compacta y tiene no sólo las singularidades cocientes de X , sino también singularidades en sus cúspides.
• La superficie Y se obtiene a partir de X ^* resolviendo las singularidades de forma mínima. Es una superficie algebraica compacta y suave , pero en general no es mínima.
• La superficie Y ⁰ se obtiene a partir de Y mediante el soplado de ciertas curvas −1 excepcionales. Es suave y compacta, y a menudo (pero no siempre) es mínima.

Existen varias variantes de esta construcción:

• El grupo modular de Hilbert puede ser reemplazado por algún subgrupo de índice finito, como un subgrupo de congruencia .
• Se puede extender el grupo modular de Hilbert mediante un grupo de orden 2, actuando sobre el grupo modular de Hilbert a través de la acción de Galois e intercambiando las dos copias del semiplano superior.

Singularidades

Hirzebruch (1953) mostró cómo resolver las singularidades cocientes, y Hirzebruch (1971) mostró cómo resolver sus singularidades de cúspide.

Propiedades

Las variedades modulares de Hilbert no pueden ser anabelianas . ^[1]

Clasificación de superficies

Los trabajos de Hirzebruch (1971), Hirzebruch & Van de Ven (1974) y Hirzebruch & Zagier (1977) identificaron su tipo en la clasificación de superficies algebraicas . La mayoría de ellas son superficies de tipo general , pero varias son superficies racionales o superficies K3 ampliadas o superficies elípticas .

Ejemplos

van der Geer (1988) ofrece una larga tabla de ejemplos.

La superficie Clebsch ampliada en sus 10 puntos Eckardt es una superficie modular de Hilbert.

Asociado a una extensión de campo cuadrático

Dada una extensión de cuerpo cuadrático para existe una variedad modular de Hilbert asociada que se obtiene compactando una cierta variedad de cociente y resolviendo sus singularidades. Sea el semiplano superior y sea que actúe sobre mediante ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {p}})}$ ${\displaystyle p=4k+1}$ ${\displaystyle Y(p)}$ ${\displaystyle X(p)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle SL(2,{\mathcal {O}}_{K})/\{\pm {\text{Id}}_{2}\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}\times {\mathfrak {H}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}(z_{1},z_{2})=\left({\frac {az_{1}+bz_{2}}{cz_{1}+dz_{2}}},{\frac {a'z_{1}+b'z_{2}}{c'z_{1}+d'z_{2}}}\right)}$

donde son los conjugados de Galois . ^[2] La variedad de cociente asociada se denota ${\displaystyle a',b',c',d'}$

${\displaystyle X(p)=G\backslash {\mathfrak {H}}\times {\mathfrak {H}}}$

y se puede compactificar a una variedad , llamada las cúspides , que están en biyección con las clases ideales en . Resolviendo sus singularidades se obtiene la variedad llamada variedad modular de Hilbert de la extensión del campo . Del teorema de compactificación de Bailey-Borel, hay una incrustación de esta superficie en un espacio proyectivo. ^[3] ${\displaystyle {\overline {X}}(p)}$ ${\displaystyle {\text{Cl}}({\mathcal {O}}_{K})}$ ${\displaystyle Y(p)}$

Véase también

• Forma modular de Hilbert
• Superficie modular Picard
• Variedad modular de Siegel

Referencias

1. Ihara, Yasutaka ; Nakamura, Hiroaki (1997). "Algunos ejemplos ilustrativos de geometría anabeliana en grandes dimensiones". En Schneps, Leila ; Lochak, Pierre (eds.). Acciones geométricas de Galois 1: en torno a la esquisse d'un programme de Grothendieck . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society (242). Cambridge University Press. págs. 127–138. doi :10.1017/CBO9780511758874.010.
2. Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Ven, Antonius (2004). Superficies complejas compactas . Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. p. 231. doi :10.1007/978-3-642-57739-0. ISBN 978-3-540-00832-3.
3. Baily, WL; Borel, A. (noviembre de 1966). "Compactificación de cocientes aritméticos de dominios simétricos acotados". Anales de Matemáticas . 84 (3): 442. doi :10.2307/1970457. JSTOR  1970457.

• Barth, Lobo P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Superficies complejas compactas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlín, doi :10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, Sr.  2030225
• Blumenthal, Otto (1903), "Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen", Mathematische Annalen , 56 (4): 509–548, doi :10.1007/BF01444306, S2CID  122293576, archivado desde el original el 4 de marzo de 2016 , recuperado 2013-09-12
• Blumenthal, Otto (1904), "Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen", Mathematische Annalen , 58 (4): 497–527, doi :10.1007/BF01449486, S2CID  179178108, archivado desde el original el 4 de marzo de 2016 , recuperado 2013-09-12
• Hirzebruch, Friedrich (1953), "Über vierdimensionale RIEMANNsche Flächen mehrdeutiger analytischer Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen", Mathematische Annalen , 126 (1): 1–22, doi :10.1007/BF01343146, hdl : 21.11116/0000-0004-3A47-C , ISSN  0025-5831, MR  0062842, S2CID  122862268, archivado desde el original el 5 de marzo de 2016 , consultado el 12 de septiembre de 2013
• Hirzebruch, Friedrich (1971), "El grupo modular de Hilbert, resolución de las singularidades en las cúspides y problemas relacionados", Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/1971), Exp. No. 396, Lecture Notes in Math, vol. 244, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 275–288, doi :10.1007/BFb0058707, ISBN 978-3-540-05720-8, Sr.  0417187
• Hirzebruch, Friedrich EP (1973), "Superficies modulares de Hilbert", L'Enseignement Mathématique , IIe Série, 19 : 183–281, doi :10.5169/seals-46292, ISSN  0013-8584, MR  0393045
• Hirzebruch, Friedrich ; Van de Ven, Antonius (1974), "Superficies modulares de Hilbert y la clasificación de superficies algebraicas", Inventiones Mathematicae (manuscrito enviado), 23 (1): 1–29, doi :10.1007/BF01405200, hdl : 21.11116/0000-0004-39A4-3 , ISSN  0020-9910, MR  0364262, S2CID  73577779
• Hirzebruch, Friedrich ; Zagier, Don (1977), "Clasificación de superficies modulares de Hilbert", en Baily, WL; Shioda., T. (eds.), Análisis complejo y geometría algebraica , Tokio: Iwanami Shoten, págs. 43–77, ISBN 978-0-521-09334-7, Sr.  0480356
• van der Geer, Gerard (1988), Superficies modulares de Hilbert , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y áreas afines (3)], vol. 16, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-61553-5, ISBN 978-3-540-17601-5, Sr.  0930101

Enlaces externos

• Ehlen, S., Una breve introducción a las superficies modulares de Hilbert y a los ciclos de Hirzebruch-Zagier (PDF)