transformada de Laplace

Transformada integral útil en teoría de probabilidad, física e ingeniería.

En matemáticas , la transformada de Laplace , llamada así en honor a su descubridor Pierre-Simon Laplace ( / l ə ˈ p l ɑː s / ), es una transformada integral que convierte una función de una variable real (normalmente , en el dominio del tiempo ) en una función. de una variable compleja (en el dominio de frecuencia de valores complejos , también conocido como dominio s o plano s ). ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$

La transformada es útil para convertir la diferenciación y la integración en el dominio del tiempo en una multiplicación y división mucho más sencilla en el dominio de Laplace (análoga a cómo los logaritmos son útiles para simplificar la multiplicación y división en suma y resta). Esto le da a la transformación muchas aplicaciones en ciencia e ingeniería , principalmente como herramienta para resolver ecuaciones diferenciales lineales ^[1] y sistemas dinámicos simplificando ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones integrales en ecuaciones polinomiales algebraicas y simplificando la convolución en multiplicación . ^{[2] [3]} Una vez resuelta, la transformada inversa de Laplace vuelve al dominio original.

La transformada de Laplace se define (para funciones adecuadas f ) por la integral :

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}$$

Historia

Pierre-Simon, marqués de Laplace

La transformada de Laplace lleva el nombre del matemático y astrónomo Pierre-Simon, marqués de Laplace , quien utilizó una transformada similar en su trabajo sobre la teoría de la probabilidad . ^[4] Laplace escribió extensamente sobre el uso de funciones generadoras (1814) y, como resultado, la forma integral de la transformada de Laplace evolucionó naturalmente. ^[5]

El uso que hacía Laplace de funciones generadoras era similar a lo que ahora se conoce como transformada z , y prestó poca atención al caso de variable continua que fue discutido por Niels Henrik Abel . ^[6] La teoría fue desarrollada aún más en el siglo XIX y principios del XX por Mathias Lerch , ^[7] Oliver Heaviside , ^[8] y Thomas Bromwich . ^[9]

El uso generalizado actual de la transformada (principalmente en ingeniería) se produjo durante y poco después de la Segunda Guerra Mundial , ^[10] reemplazando el cálculo operativo anterior de Heaviside . Las ventajas de la transformada de Laplace fueron enfatizadas por Gustav Doetsch , ^[11] a quien aparentemente se debe el nombre de transformada de Laplace.

Desde 1744, Leonhard Euler investigó las integrales de la forma

$${\displaystyle z=\int X(x)e^{ax}\,dx\quad {\text{ and }}\quad z=\int X(x)x^{A}\,dx}$$

^[12] Joseph-Louis Lagrangefunciones de densidad de probabilidad

$${\displaystyle \int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,}$$

^{[13] [14] [ se necesita aclaración ]}

Estos tipos de integrales parecen haber atraído la atención de Laplace por primera vez en 1782, donde seguía el espíritu de Euler al utilizar las integrales mismas como soluciones de ecuaciones. ^[15] Sin embargo, en 1785, Laplace dio un paso decisivo cuando, en lugar de simplemente buscar una solución en forma de integral, comenzó a aplicar las transformadas en el sentido que más tarde se haría popular. Usó una integral de la forma

$${\displaystyle \int x^{s}\varphi (x)\,dx,}$$

transformada de Mellinecuación en diferencias^[dieciséis]

Laplace también reconoció que el método de series de Fourier de Joseph Fourier para resolver la ecuación de difusión sólo podía aplicarse a una región limitada del espacio, porque esas soluciones eran periódicas . En 1809, Laplace aplicó su transformación para encontrar soluciones que se difundieran indefinidamente en el espacio. ^[17]

Definicion formal

La transformada de Laplace de una función f ( t ) , definida para todos los números reales t ≥ 0 , es la función F ( s ) , que es una transformada unilateral definida por

donde s es un parámetro complejo en el dominio de la frecuencia

$${\displaystyle s=\sigma +i\omega ,}$$

σω

Una notación alternativa para la transformada de Laplace es ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$en lugar de . ^[3]

El significado de la integral depende de los tipos de funciones de interés. Una condición necesaria para la existencia de la integral es que f debe ser localmente integrable en [0, ∞) . Para funciones localmente integrables que decaen en el infinito o son de tipo exponencial ( ), la integral puede entenderse como una integral de Lebesgue (adecuada) . Sin embargo, para muchas aplicaciones es necesario considerarla como una integral impropia condicionalmente convergente en ∞ . De manera aún más general, la integral puede entenderse en un sentido débil , y esto se trata a continuación. ${\displaystyle |f(t)|\leq Ae^{B|t|}}$

Se puede definir la transformada de Laplace de una medida finita de Borel μ mediante la integral de Lebesgue ^[18]

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).}$$

Un caso especial importante es cuando μ es una medida de probabilidad , por ejemplo, la función delta de Dirac . En cálculo operativo , la transformada de Laplace de una medida a menudo se trata como si la medida proviniera de una función de densidad de probabilidad f . En ese caso, para evitar posibles confusiones, a menudo se escribe

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,}$$

0 ⁻

$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.}$$

Este límite enfatiza que cualquier masa puntual ubicada en 0 es capturada completamente por la transformada de Laplace. Aunque con la integral de Lebesgue no es necesario tomar tal límite, sí aparece más naturalmente en conexión con la transformada de Laplace-Stieltjes .

Transformada bilateral de Laplace

Cuando se dice "la transformada de Laplace" sin reservas, generalmente se entiende por transformada unilateral o unilateral. La transformada de Laplace se puede definir alternativamente como transformada de Laplace bilateral , o transformada de Laplace bilateral , extendiendo los límites de integración para que sean todo el eje real. Si se hace esto, la transformada unilateral común simplemente se convierte en un caso especial de la transformada bilateral, donde la definición de la función que se transforma se multiplica por la función escalonada de Heaviside .

La transformada bilateral de Laplace F ( s ) se define de la siguiente manera:

Una notación alternativa para la transformada de Laplace bilateral es , en lugar de F. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}}$

Transformada inversa de Laplace

Dos funciones integrables tienen la misma transformada de Laplace sólo si difieren en un conjunto de medida de Lebesgue cero. Esto significa que, en el rango de la transformada, hay una transformada inversa. De hecho, además de las funciones integrables, la transformada de Laplace es un mapeo uno a uno de un espacio funcional a otro en muchos otros espacios funcionales también, aunque generalmente no hay una caracterización fácil del rango.

Los espacios funcionales típicos en los que esto es cierto incluyen los espacios de funciones continuas acotadas, el espacio L ^∞ (0, ∞) o, más generalmente , distribuciones moderadas en (0, ∞) . La transformada de Laplace también es definida e inyectiva para espacios adecuados de distribuciones templadas.

En estos casos, la imagen de la transformada de Laplace vive en un espacio de funciones analíticas en la región de convergencia. La transformada inversa de Laplace viene dada por la siguiente integral compleja, que se conoce con varios nombres ( integral de Bromwich , integral de Fourier-Mellin y fórmula inversa de Mellin ):

donde γ es un número real de modo que la trayectoria del contorno de integración está en la región de convergencia de F ( s ) . En la mayoría de las aplicaciones, el contorno se puede cerrar, permitiendo el uso del teorema del residuo . Una fórmula alternativa para la transformada inversa de Laplace viene dada por la fórmula de inversión de Post . El límite aquí se interpreta en la topología débil-* .

En la práctica, suele ser más conveniente descomponer una transformada de Laplace en transformadas conocidas de funciones obtenidas de una tabla y construir la inversa mediante inspección.

Teoría de probabilidad

En probabilidad pura y aplicada , la transformada de Laplace se define como un valor esperado . Si X es una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad f , entonces la transformada de Laplace de f viene dada por la expectativa

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\operatorname {E} \!\left[e^{-sX}\right]\!.}$$

Por convención , esto se conoce como transformada de Laplace de la propia variable aleatoria X. Aquí, reemplazar s por − t da la función generadora de momentos de X. La transformada de Laplace tiene aplicaciones en toda la teoría de la probabilidad, incluidos los primeros tiempos de paso de procesos estocásticos como las cadenas de Markov y la teoría de la renovación .

De particular utilidad es la capacidad de recuperar la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua X , mediante la transformada de Laplace de la siguiente manera: ^[19]

$${\displaystyle F_{X}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right]\right\}\!(x)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\right\}\!(x).}$$

Construcción algebraica

La transformada de Laplace se puede definir alternativamente de manera puramente algebraica aplicando una construcción de campo de fracciones al anillo de convolución de funciones en la media línea positiva. El espacio resultante de operadores abstractos es exactamente equivalente al espacio de Laplace, pero en esta construcción las transformadas directa e inversa nunca necesitan definirse explícitamente (evitando las dificultades relacionadas con la prueba de la convergencia). ^[20]

Región de convergencia

Si f es una función localmente integrable (o más generalmente una medida de Borel localmente de variación acotada), entonces la transformada de Laplace F ( s ) de f converge siempre que el límite

$${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt}$$

La transformada de Laplace converge absolutamente si la integral

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt}$$

condicionalmente convergente

El conjunto de valores para los cuales F ( s ) converge absolutamente es de la forma Re( s ) > a o Re( s ) ≥ a , donde a es una constante real extendida con −∞ ≤ a ≤ ∞ (una consecuencia de la teorema de convergencia dominada ). La constante a se conoce como abscisa de convergencia absoluta y depende del comportamiento de crecimiento de f ( t ) . ^[21] De manera análoga, la transformada de dos caras converge absolutamente en una franja de la forma a < Re( s ) < b , y posiblemente incluyendo las líneas Re( s ) = a o Re( s ) = b . ^[22] El subconjunto de valores de s para los cuales la transformada de Laplace converge absolutamente se llama región de convergencia absoluta, o dominio de convergencia absoluta. En el caso de dos lados, a veces se le llama franja de convergencia absoluta. La transformada de Laplace es analítica en la región de convergencia absoluta: esto es una consecuencia del teorema de Fubini y del teorema de Morera .

De manera similar, el conjunto de valores para los cuales F ( s ) converge (condicional o absolutamente) se conoce como región de convergencia condicional, o simplemente región de convergencia (ROC). Si la transformada de Laplace converge (condicionalmente) en s = s ₀ , entonces converge automáticamente para todo s con Re( s ) > Re( s ₀ ) . Por lo tanto, la región de convergencia es un semiplano de la forma Re( s ) > a , que posiblemente incluya algunos puntos de la línea límite Re( s ) = a .

En la región de convergencia Re( s ) > Re( s ₀ ) , la transformada de Laplace de f se puede expresar integrando por partes como la integral

$${\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.}$$

Es decir, F ( s ) puede expresarse efectivamente, en la región de convergencia, como la transformada de Laplace absolutamente convergente de alguna otra función. En particular, es analítico.

Existen varios teoremas de Paley-Wiener sobre la relación entre las propiedades de desintegración de f y las propiedades de la transformada de Laplace dentro de la región de convergencia.

En aplicaciones de ingeniería, una función correspondiente a un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) es estable si cada entrada acotada produce una salida acotada. Esto es equivalente a la convergencia absoluta de la transformada de Laplace de la función de respuesta al impulso en la región Re( s ) ≥ 0 . Como resultado, los sistemas LTI son estables, siempre que los polos de la transformada de Laplace de la función de respuesta al impulso tengan parte real negativa.

Esta República de China se utiliza para conocer la causalidad y la estabilidad de un sistema.

Propiedades y teoremas

La propiedad clave de la transformada de Laplace es que convierte la diferenciación y la integración en el dominio del tiempo en multiplicaciones y divisiones en el dominio de Laplace. Por lo tanto, la variable de Laplace s también se conoce como variable operador en el dominio de Laplace: ya sea el operador derivativo o (para s ⁻¹ ) el operador de integración .

Dadas las funciones f ( t ) y g ( t ) , y sus respectivas transformadas de Laplace F ( s ) y G ( s ) ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(s),\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{G\}(s),\end{aligned}}}$$

la siguiente tabla es una lista de propiedades de la transformada de Laplace unilateral: ^[23]

Teorema del valor inicial

${\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}.}$

Teorema del valor final

${\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}$, si todos los polos de están en el semiplano izquierdo. ${\displaystyle sF(s)}$

El teorema del valor final es útil porque proporciona el comportamiento a largo plazo sin tener que realizar descomposiciones en fracciones parciales (u otra álgebra difícil). Si F ( s ) tiene un polo en el plano derecho o polos en el eje imaginario (p. ej., if o ), entonces el comportamiento de esta fórmula no está definido. ${\displaystyle f(t)=e^{t}}$ ${\displaystyle f(t)=\sin(t)}$

Relación con las series de potencias

La transformada de Laplace puede verse como un análogo continuo de una serie de potencias . ^[25] Si a ( n ) es una función discreta de un entero positivo n , entonces la serie de potencias asociada a a ( n ) es la serie

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a(n)x^{n}}$$

xtransformada Znt

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)x^{t}\,dt}$$

a ( n )f ( t )

Cambiando la base de la potencia de x a e se obtiene

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\left(e^{\ln {x}}\right)^{t}\,dt}$$

Para que esto converja para, digamos, todas las funciones acotadas f , es necesario exigir que ln x < 0 . Al realizar la sustitución − s = ln x se obtiene simplemente la transformada de Laplace:

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$$

En otras palabras, la transformada de Laplace es un análogo continuo de una serie de potencias, en la que el parámetro discreto n se reemplaza por el parámetro continuo t y x se reemplaza por e ^{− s} .

Relación con momentos

Las cantidades

$${\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t)\,dt}$$

son los momentos de la función f . Si los primeros n momentos de f convergen absolutamente, entonces por derivación repetida bajo la integral ,

$${\displaystyle (-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}.}$$

X ${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} [X^{n}]}$

$${\displaystyle \mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right](0).}$$

Cálculo de la transformada de Laplace de la derivada de una función

A menudo es conveniente utilizar la propiedad de diferenciación de la transformada de Laplace para encontrar la transformada de la derivada de una función. Esto se puede derivar de la expresión básica de una transformada de Laplace de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\[6pt]&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,dt\quad {\text{(by parts)}}\\[6pt]&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0^{-}),}$$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.}$$

El resultado general

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),}$$

nf ${\displaystyle f^{(n)}}$

Evaluación de integrales sobre el eje real positivo

Una propiedad útil de la transformada de Laplace es la siguiente:

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(s)\cdot ({\mathcal {L}}^{-1}g)(s)\,ds}$$

${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle \int \,dx}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }f(s)({\mathcal {L}}g)(s)\,ds.}$$

Al enchufarlo, el lado izquierdo se convierte en: ${\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(s)g(x)e^{-sx}\,ds\,dx,}$$

Este método se puede utilizar para calcular integrales que de otro modo serían difíciles de calcular utilizando métodos elementales de cálculo real. Por ejemplo,

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}dx=\int _{0}^{\infty }{\mathcal {L}}(1)(x)\sin xdx=\int _{0}^{\infty }1\cdot {\mathcal {L}}(\sin )(x)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+1}}={\frac {\pi }{2}}.}$$

Relación con otras transformaciones

Transformada de Laplace-Stieltjes

La transformada (unilateral) de Laplace-Stieltjes de una función g  : ℝ → ℝ está definida por la integral de Lebesgue-Stieltjes

$${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\,g(t)~.}$$

Se supone que la función g tiene una variación acotada . Si g es la antiderivada de f :

$${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,d\,t}$$

entonces la transformada de Laplace-Stieltjes de g y la transformada de Laplace de f coinciden. En general, la transformada de Laplace-Stieltjes es la transformada de Laplace de la medida de Stieltjes asociada a g . Entonces, en la práctica, la única distinción entre las dos transformadas es que se considera que la transformada de Laplace opera sobre la función de densidad de la medida, mientras que se considera que la transformada de Laplace-Stieltjes opera sobre su función de distribución acumulativa . ^[26]

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier es un caso especial (bajo ciertas condiciones) de la transformada bilateral de Laplace. Mientras que la transformada de Fourier de una función es una función compleja de una variable real (frecuencia), la transformada de Laplace de una función es una función compleja de una variable compleja . La transformada de Laplace suele estar restringida a la transformación de funciones de t con t ≥ 0 . Una consecuencia de esta restricción es que la transformada de Laplace de una función es una función holomorfa de la variable s . A diferencia de la transformada de Fourier, la transformada de Laplace de una distribución es generalmente una función que se comporta bien . También se pueden utilizar técnicas de variables complejas para estudiar directamente las transformadas de Laplace. Como función holomorfa, la transformada de Laplace tiene una representación en serie de potencias . Esta serie de potencias expresa una función como una superposición lineal de momentos de la función. Esta perspectiva tiene aplicaciones en la teoría de la probabilidad.

La transformada de Fourier equivale a evaluar la transformada de Laplace bilateral con argumento imaginario s = iω o s = 2 πiξ ^[27] cuando se cumple la condición que se explica a continuación,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\{f(t)\}\\[4pt]&={\mathcal {L}}\{f(t)\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{aligned}}}$$

Esta convención de la transformada de Fourier ( en Transformada de Fourier § Otras convenciones ) requiere un factor de ${\displaystyle {\hat {f}}_{3}(\omega )}$1/2 πen la transformada inversa de Fourier. Esta relación entre las transformadas de Laplace y Fourier se utiliza a menudo para determinar el espectro de frecuencia de una señal o sistema dinámico.

La relación anterior es válida como se indica si y sólo si la región de convergencia (ROC) de F ( s ) contiene el eje imaginario, σ = 0 .

Por ejemplo, la función f ( t ) = cos( ω ₀ t ) tiene una transformada de Laplace F ( s ) = s /( s ² + ω ₀ ² ) cuya ROC es Re( s ) > 0 . Como s = iω ₀ es un polo de F ( s ) , sustituir s = iω en F ( s ) no produce la transformada de Fourier de f ( t ) u ( t ) , que contiene términos proporcionales a las funciones delta de Dirac δ ( ω ± ω ₀ ) .

Sin embargo, una relación de la forma

$${\displaystyle \lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +i\omega )={\hat {f}}(\omega )}$$

límite débiltopología vagateoremas de Paley-Wiener

Transformación de Mellin

La transformada de Mellin y su inversa están relacionadas con la transformada de Laplace bilateral mediante un simple cambio de variables.

Si en la transformada de Mellin

$${\displaystyle G(s)={\mathcal {M}}\{g(\theta )\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta )\,{\frac {d\theta }{\theta }}}$$

θ = e ^{− t y}

Transformada Z

La transformada Z unilateral o unilateral es simplemente la transformada de Laplace de una señal idealmente muestreada con la sustitución de

$${\displaystyle z{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}e^{sT},}$$

T = 1/ f _sintervalo de muestreof _svelocidad de muestreomuestras por segundohercios

Dejar

$${\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)}$$

peine de Dirac

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}}$$

x ( t )

$${\displaystyle x[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(nT)~.}$$

La transformada de Laplace de la señal muestreada x _q ( t ) es

$${\displaystyle {\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}~.\end{aligned}}}$$

Esta es la definición precisa de la transformada Z unilateral de la función discreta x [ n ]

$${\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}$$

z → e ^sT

Comparando las dos últimas ecuaciones, encontramos la relación entre la transformada Z unilateral y la transformada de Laplace de la señal muestreada,

$${\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.}$$

La similitud entre las transformadas Z y Laplace se amplía en la teoría del cálculo de la escala de tiempo .

transformada de Borel

La forma integral de la transformada de Borel.

$${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz}$$

ffunción completa

$${\displaystyle |f(z)|\leq Ae^{B|z|}}$$

ABEl teorema de Nachbin

Relaciones fundamentales

Dado que una transformada de Laplace ordinaria se puede escribir como un caso especial de una transformada de dos caras, y dado que la transformada de dos caras se puede escribir como la suma de dos transformadas de una cara, la teoría de las transformadas de Laplace-, Fourier-, Mellin -, y las transformadas Z son en el fondo el mismo tema. Sin embargo, cada una de estas cuatro transformaciones integrales principales está asociada con un punto de vista diferente y problemas característicos diferentes.

Tabla de transformadas de Laplace seleccionadas

La siguiente tabla proporciona transformadas de Laplace para muchas funciones comunes de una sola variable. ^{[28] [29]} Para definiciones y explicaciones, consulte las Notas explicativas al final de la tabla.

Como la transformada de Laplace es un operador lineal,

• La transformada de Laplace de una suma es la suma de las transformadas de Laplace de cada término.
  $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)+g(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t)\}+{\mathcal {L}}\{g(t)\}}$$
• La transformada de Laplace de un múltiplo de una función es el múltiplo de la transformada de Laplace de esa función.
  $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{af(t)\}=a{\mathcal {L}}\{f(t)\}}$$

Usando esta linealidad y varias propiedades y/o identidades trigonométricas , hiperbólicas y de números complejos (etc.), algunas transformadas de Laplace se pueden obtener a partir de otras más rápidamente que usando la definición directamente.

La transformada unilateral de Laplace toma como entrada una función cuyo dominio del tiempo son los reales no negativos , razón por la cual todas las funciones en el dominio del tiempo en la siguiente tabla son múltiplos de la función escalón de Heaviside, u ( t ) .

Se requiere que las entradas de la tabla que implican un retraso de tiempo τ sean causales (lo que significa que τ > 0 ). Un sistema causal es un sistema donde la respuesta al impulso h ( t ) es cero durante todo el tiempo t antes de t = 0 . En general, la región de convergencia de los sistemas causales no es la misma que la de los sistemas anticausales .

Circuitos e impedancias equivalentes en el dominio s .

La transformada de Laplace se utiliza a menudo en el análisis de circuitos y se pueden realizar conversiones simples al dominio s de elementos del circuito. Los elementos del circuito se pueden transformar en impedancias , muy similares a las impedancias fasoriales .

Aquí hay un resumen de equivalentes:

circuitos equivalentes de dominio s

Tenga en cuenta que la resistencia es exactamente la misma en el dominio del tiempo y en el dominio s . Las fuentes se instalan si existen condiciones iniciales en los elementos del circuito. Por ejemplo, si un capacitor tiene un voltaje inicial a través de él, o si el inductor tiene una corriente inicial a través de él, las fuentes insertadas en el dominio s tienen en cuenta eso.

Los equivalentes para fuentes de corriente y voltaje se derivan simplemente de las transformaciones de la tabla anterior.

Ejemplos y aplicaciones

La transformada de Laplace se utiliza frecuentemente en ingeniería y física ; La salida de un sistema lineal invariante en el tiempo se puede calcular convolucionando su respuesta de impulso unitario con la señal de entrada. Realizar este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación; siendo este último más fácil de resolver debido a su forma algebraica. Para obtener más información, consulte teoría del control . La transformada de Laplace es invertible en una gran clase de funciones. Dada una descripción matemática o funcional simple de una entrada o salida de un sistema , la transformada de Laplace proporciona una descripción funcional alternativa que a menudo simplifica el proceso de análisis del comportamiento del sistema o de síntesis de un nuevo sistema basado en un conjunto de especificaciones. ^[35]

La transformada de Laplace también se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales y se utiliza ampliamente en ingeniería mecánica e ingeniería eléctrica . La transformada de Laplace reduce una ecuación diferencial lineal a una ecuación algebraica, que luego puede resolverse mediante las reglas formales del álgebra. Luego, la ecuación diferencial original se puede resolver aplicando la transformada inversa de Laplace. El ingeniero eléctrico inglés Oliver Heaviside propuso por primera vez un esquema similar, aunque sin utilizar la transformada de Laplace; y el cálculo operativo resultante se acredita como cálculo de Heaviside.

Evaluación de integrales impropias

Dejar . Entonces (ver la tabla de arriba) ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)}$

$${\displaystyle \partial _{s}{\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\partial _{s}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\,dt=-\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}=-F(s)}$$

De donde se obtiene:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(p)\,dp.}$$

En el límite uno llega ${\displaystyle s\rightarrow 0}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }F(p)\,dp,}$$

teorema del valor finala ≠ 0 ≠ b

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(at)-\cos(bt)}{t}}\,dt&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,dp\\[6pt]&=\left[{\frac {1}{2}}\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=\ln \left|{\frac {b}{a}}\right|.\end{aligned}}}$$

La validez de esta identidad puede probarse por otros medios. Es un ejemplo de integral de Frullani .

Otro ejemplo es la integral de Dirichlet .

Impedancia compleja de un condensador.

En la teoría de los circuitos eléctricos , el flujo de corriente en un capacitor es proporcional a la capacitancia y la tasa de cambio en el potencial eléctrico (con ecuaciones como para el sistema de unidades SI ). Simbólicamente, esto se expresa mediante la ecuación diferencial

$${\displaystyle i=C{dv \over dt},}$$

Ci = i ( t )corriente eléctricav = v ( t )voltaje

Tomando la transformada de Laplace de esta ecuación, obtenemos

$${\displaystyle I(s)=C(sV(s)-V_{0}),}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle V_{0}=v(0).}$$

Resolviendo para V ( s ) tenemos

$${\displaystyle V(s)={I(s) \over sC}+{V_{0} \over s}.}$$

La definición de impedancia compleja Z (en ohmios ) es la relación entre el voltaje complejo V dividido por la corriente compleja I mientras se mantiene el estado inicial V ₀ en cero:

$${\displaystyle Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right|_{V_{0}=0}.}$$

Usando esta definición y la ecuación anterior, encontramos:

$${\displaystyle Z(s)={\frac {1}{sC}},}$$

Respuesta impulsiva

Considere un sistema lineal invariante en el tiempo con función de transferencia.

$${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.}$$

La respuesta al impulso es simplemente la transformada de Laplace inversa de esta función de transferencia:

$${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.}$$

Expansión de fracción parcial

Para evaluar esta transformada inversa, comenzamos expandiendo H ( s ) usando el método de expansión de fracción parcial,

$${\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.}$$

Las constantes desconocidas P y R son los residuos ubicados en los polos correspondientes de la función de transferencia. Cada residuo representa la contribución relativa de esa singularidad a la forma general de la función de transferencia.

Según el teorema del residuo , la transformada inversa de Laplace depende sólo de los polos y sus residuos. Para encontrar el residuo P , multiplicamos ambos lados de la ecuación por s + α para obtener

$${\displaystyle {\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.}$$

Entonces, al hacer que s = − α , la contribución de R desaparece y todo lo que queda es

$${\displaystyle P=\left.{1 \over s+\beta }\right|_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.}$$

De manera similar, el residuo R viene dado por

$${\displaystyle R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.}$$

Tenga en cuenta que

$${\displaystyle R={-1 \over \beta -\alpha }=-P}$$

RPH ( s )

$${\displaystyle H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over s+\alpha }-{1 \over s+\beta }\right).}$$

Finalmente, usando la propiedad de linealidad y la transformada conocida para la caída exponencial (consulte el elemento n.° 3 en la Tabla de transformadas de Laplace , arriba), podemos tomar la transformada de Laplace inversa de H ( s ) para obtener

$${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right),}$$

Circunvolución

Se puede lograr el mismo resultado utilizando la propiedad de convolución como si el sistema fuera una serie de filtros con funciones de transferencia 1/( s + α ) y 1/( s + β ) . Es decir, lo inverso de

$${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={\frac {1}{s+\alpha }}\cdot {\frac {1}{s+\beta }}}$$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\alpha }}\right\}*{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\beta }}\right\}=e^{-\alpha t}*e^{-\beta t}=\int _{0}^{t}e^{-\alpha x}e^{-\beta (t-x)}\,dx={\frac {e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}}{\beta -\alpha }}.}$$

Retraso de fase

Comenzando con la transformada de Laplace,

$${\displaystyle X(s)={\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\frac {s\sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}\\&=\sin(\varphi )\left({\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right)+\cos(\varphi )\left({\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

Ahora podemos tomar la transformada de Laplace inversa de nuestros términos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\sin(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}+\cos(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}\\&=\sin(\varphi )\cos(\omega t)+\cos(\varphi )\sin(\omega t).\end{aligned}}}$$

Este es solo el seno de la suma de los argumentos, dando como resultado:

$${\displaystyle x(t)=\sin(\omega t+\varphi ).}$$

Podemos aplicar una lógica similar para encontrar que

$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s\cos \varphi -\omega \sin \varphi }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}=\cos {(\omega t+\varphi )}.}$$

Mecánica estadística

En mecánica estadística , la transformada de Laplace de la densidad de estados define la función de partición . ^[36] Es decir, la función de partición canónica viene dada por ${\displaystyle g(E)}$ ${\displaystyle Z(\beta )}$

$${\displaystyle Z(\beta )=\int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}g(E)\,dE}$$

$${\displaystyle g(E)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\beta _{0}-i\infty }^{\beta _{0}+i\infty }e^{\beta E}Z(\beta )\,d\beta }$$

Estructura espacial (no temporal) del espectro astronómico

La aplicabilidad amplia y general de la transformada de Laplace y su inversa se ilustra con una aplicación en astronomía que proporciona cierta información sobre la distribución espacial de la materia de una fuente astronómica de radiación térmica de radiofrecuencia demasiado distante para resolverla como más de un punto, dado su flujo. espectro de densidad , en lugar de relacionar el dominio del tiempo con el espectro (dominio de la frecuencia).

Suponiendo ciertas propiedades del objeto, por ejemplo, forma esférica y temperatura constante, los cálculos basados ​​en la realización de una transformación inversa de Laplace en el espectro del objeto pueden producir el único modelo posible de la distribución de la materia en él (densidad en función de la distancia desde el centro) consistente con el espectro. ^[37] Cuando se dispone de información independiente sobre la estructura de un objeto, se ha descubierto que el método de la transformada inversa de Laplace concuerda bien.

Galería

• Un ejemplo de curva de e ^t  cos(10 t ) que se suma con curvas similares para formar una transformada de Laplace.
• 
  Animación que muestra cómo la suma de curvas puede aproximar una función.

Ver también

• Portal de matemáticas

• Procesamiento de señales analógicas
• Teorema de Bernstein sobre funciones monótonas
• Hipoteca de amortización continua
• Problema del momento de la hamburguesa
• Teorema Tauberiano de Hardy-Littlewood
• Transformada de Laplace-Carson
• Función generadora de momentos
• Operador no local
• Fórmula de inversión de post
• Gráfico de flujo de señal
• Función de transferencia

Notas

1. Lynn, Paul A. (1986). "La transformada de Laplace y la transformada z". Señales y Sistemas Electrónicos . Londres: Macmillan Education Reino Unido. págs. 225–272. doi :10.1007/978-1-349-18461-3_6. ISBN 978-0-333-39164-8. La transformada de Laplace y la transformada z están estrechamente relacionadas con la transformada de Fourier. La Transformada de Laplace tiene un alcance algo más general que la Transformada de Fourier y es ampliamente utilizada por los ingenieros para describir circuitos y sistemas continuos, incluidos los sistemas de control automático.
2. "Ecuaciones diferenciales: transformadas de Laplace". tutorial.math.lamar.edu . Consultado el 8 de agosto de 2020 .
3. Weisstein, Eric W. "Transformada de Laplace". mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de agosto de 2020 .
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5. Jaynes, et (Edwin T.) (2003). Teoría de la probabilidad: la lógica de la ciencia . Bretthorst, G. Larry. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0511065892. OCLC  57254076.
6. Abel, Niels H. (1820), "Sur les fonctions génératrices et leurs déterminantes", Œuvres Complètes (en francés), vol. II (publicado en 1839), págs. 77–88edición de 1881
7. Lerch, Mathias (1903), "Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel" [Prueba de la fórmula de inversión], Acta Mathematica (en francés), 27 : 339–351, doi : 10.1007/BF02421315 , hdl : 10338.dmlcz/501554
8. Heaviside, Oliver (enero de 2008), "La solución de integrales definidas mediante transformación diferencial", Teoría electromagnética , vol. III, Londres, sección 526, ISBN 9781605206189{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
9. Bromwich, Thomas J. (1916), "Coordenadas normales en sistemas dinámicos", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , 15 : 401–448, doi :10.1112/plms/s2-15.1.401
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11. Doetsch, Gustav (1937), Theorie und Anwendung der Laplacesche Transformation [ Teoría y aplicación de la transformada de Laplace ] (en alemán), Berlín: Springertraducción 1943
12. Euler 1744, Euler 1753, Euler 1769
13. Lagrange 1773
14. Grattan-Guinness 1997, pág. 260
15. Grattan-Guinness 1997, pág. 261
16. Grattan-Guinness 1997, págs. 261-262
17. Grattan-Guinness 1997, págs. 262-266
18. Feller 1971, §XIII.1
19. La función de distribución acumulativa es la integral de la función de densidad de probabilidad.
20. Mikusiński, enero (14 de julio de 2014). Cálculo Operacional. Elsevier. ISBN 9781483278933.
21. Widder 1941, Capítulo II, §1
22. Widder 1941, Capítulo VI, §2
23. Korn y Korn 1967, págs. 226-227
24. Bracewell 2000, tabla 14.1, pág. 385
25. Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: Mattuck, Arthur. "De dónde viene la transformada de Laplace". YouTube .
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27. Takacs 1953, pag. 93
28. Riley, KF; Hobson, diputado; Bence, SJ (2010), Métodos matemáticos para física e ingeniería (3ª ed.), Cambridge University Press, pág. 455, ISBN 978-0-521-86153-3
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30. Lipschutz, S.; Spiegel, señor; Liu, J. (2009). Manual matemático de fórmulas y tablas . Serie de esquemas de Schaum (3ª ed.). McGraw-Hill. pag. 183.ISBN _ 978-0-07-154855-7.– proporciona el caso real q .
31. http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html - Wolfram Mathword proporciona un caso para q complejo
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33. Williams 1973, pag. 88.
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35. Korn y Korn 1967, §8.1
36. RK Patria; Paul Beal (1996). Mecánica estadística (2ª ed.). Butterworth-Heinemann. pag. 56.ISBN _ 9780750624695.
37. Salem, M.; Seaton, MJ (1974), "I. Espectros continuos y contornos de brillo", Avisos mensuales de la Royal Astronomical Society , 167 : 493–510, Bibcode : 1974MNRAS.167..493S, doi : 10.1093/mnras/167.3.493y Salem, M. (1974), "II. Modelos tridimensionales", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society , 167 : 511–516, Bibcode : 1974MNRAS.167..511S, doi : 10.1093/mnras/167.3. 511
    

Referencias

Moderno

• Bracewell, Ronald N. (1978), La transformada de Fourier y sus aplicaciones (2ª ed.), McGraw-Hill Kogakusha, ISBN 978-0-07-007013-4
• Bracewell, RN (2000), La transformada de Fourier y sus aplicaciones (3.ª ed.), Boston: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-116043-8
• Feller, William (1971), Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones. vol. II. , Segunda edición, Nueva York: John Wiley & Sons , MR  0270403
• Korn, Georgia; Korn, TM (1967), Manual de matemáticas para científicos e ingenieros (2ª ed.), McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-035370-1
• Widder, David Vernon (1941), La transformada de Laplace , Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press , MR  0005923
• Williams, J. (1973), Transformadas de Laplace , solucionadores de problemas, George Allen y Unwin, ISBN 978-0-04-512021-5
• Takacs, J. (1953), "Fourier amplitudok meghatarozasa operatorzamitassal", Magyar Hiradastechnika (en húngaro), IV (7–8): 93–96

Histórico

• Euler, L. (1744), "De Constructione aequationum" [La construcción de ecuaciones], Opera Omnia , primera serie (en latín), 22 : 150-161
• Euler, L. (1753), "Methodus aequationes diferenciales" [Un método para resolver ecuaciones diferenciales], Opera Omnia , primera serie (en latín), 22 : 181–213
• Euler, L. (1992) [1769], "Institutiones calculi integralis, Volumen 2" [Instituciones de cálculo integral], Opera Omnia , primera serie (en latín), Basilea: Birkhäuser, 12 , ISBN 978-3764314743, Capítulos 3 a 5
• Euler, Leonhard (1769), Institutiones calculi integralis [ Instituciones de cálculo integral ] (en latín), vol. II, París: Petrópolis, cap. 3–5, págs. 57–153
• Grattan-Guinness, I (1997), "Soluciones integrales de Laplace a ecuaciones diferenciales parciales", en Gillispie, CC (ed.), Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science , Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01185-1
• Lagrange, JL (1773), Mémoire sur l'utilité de la méthode , Obras de Lagrange, vol. 2, págs. 171-234

Otras lecturas

• Arendt, Wolfgang; Batty, Charles JK; Hieber, Matías; Neubrander, Frank (2002), Transformadas de Laplace con valores vectoriales y problemas de Cauchy , Birkhäuser Basel, ISBN 978-3-7643-6549-3.
• Davies, Brian (2002), Transformaciones integrales y sus aplicaciones (Tercera ed.), Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-95314-4
• Deakin, MAB (1981), "El desarrollo de la transformada de Laplace", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 25 (4): 343–390, doi :10.1007/BF01395660, S2CID  117913073
• Deakin, MAB (1982), "El desarrollo de la transformada de Laplace", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 26 (4): 351–381, doi :10.1007/BF00418754, S2CID  123071842
• Doetsch, Gustav (1974), Introducción a la teoría y aplicación de la transformada de Laplace , Springer, ISBN 978-0-387-06407-9
• Mateo, Jon; Walker, Robert L. (1970), Métodos matemáticos de la física (2ª ed.), Nueva York: WA Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1 
• Polianina, AD; Manzhirov, AV (1998), Manual de ecuaciones integrales , Boca Raton: CRC Press, ISBN 978-0-8493-2876-3
• Schwartz, Laurent (1952), "Transformación de Laplace des Distributions", Comm. Sém. Matemáticas. Univ. Lund [Med. Universidad de Lund. Estera. Sem.] (en francés), 1952 : 196–206, SEÑOR  0052555
• Schwartz, Laurent (2008) [1966], Matemáticas para las ciencias físicas, Dover Books on Mathematics, Nueva York: Dover Publications, págs. 215–241, ISBN 978-0-486-46662-0- Ver Capítulo VI. La transformada de Laplace.
• Siebert, William McC. (1986), Circuitos, señales y sistemas , Cambridge, Massachusetts: MIT Press, ISBN 978-0-262-19229-3
• Widder, David Vernon (1945), "¿Qué es la transformada de Laplace?", The American Mathematical Monthly , 52 (8): 419–425, doi :10.2307/2305640, ISSN  0002-9890, JSTOR  2305640, MR  0013447
• JACWeidman y Bengt Fornberg: "Métodos de transformada de Laplace totalmente numéricos", Algoritmos numéricos, vol.92 (2023), págs. https://doi.org/10.1007/s11075-022-01368-x.

enlaces externos

• "Transformada de Laplace", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Cálculo en línea de la transformada o transformada inversa, wims.unice.fr
• Tablas de transformadas integrales en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Weisstein, Eric W. "Transformada de Laplace". MundoMatemático .
• Buenas explicaciones de los teoremas del valor inicial y final Archivado el 8 de enero de 2009 en Wayback Machine.
• Transformadas de Laplace en MathPages
• Computational Knowledge Engine permite calcular fácilmente las Transformadas de Laplace y su Transformada inversa.
• Calculadora de Laplace para calcular las Transformadas de Laplace en línea fácilmente.
• Código para visualizar Transformadas de Laplace y muchos videos de ejemplo.