En geometría , el tetraedro truncado es un sólido de Arquímedes . Tiene 4 caras hexagonales regulares , 4 caras de triángulos equiláteros , 12 vértices y 18 aristas (de dos tipos). Se puede construir truncando los 4 vértices de un tetraedro regular en un tercio de la longitud del borde original.
Un truncamiento más profundo, que elimina un tetraedro de la mitad de la longitud original del borde de cada vértice, se llama rectificación . La rectificación de un tetraedro produce un octaedro . [1]
Un tetraedro truncado es el poliedro de Goldberg G III (1,1), que contiene caras triangulares y hexagonales.
Un tetraedro truncado puede denominarse cubo cántico , con diagrama de Coxeter ,
, teniendo la mitad de los vértices del cubo cantelado ( rombicuboctaedro ),. Hay dos posiciones duales en esta construcción, y al combinarlas se crea el compuesto uniforme de dos tetraedros truncados .
El área A y el volumen V de un tetraedro truncado de longitud de arista a son:
Se cree que el empaquetamiento más denso del tetraedro truncado de Arquímedes es Φ = 207/208, según informaron dos grupos independientes que utilizaron métodos de Monte Carlo . [2] [3] Aunque no existe prueba matemática de que este sea el mejor empaquetamiento posible para el tetraedro truncado, la alta proximidad a la unidad e independencia de los hallazgos hacen que sea poco probable que se encuentre un empaquetamiento aún más denso. De hecho, si el truncamiento de las esquinas es ligeramente menor que el de un tetraedro truncado de Arquímedes, esta nueva forma se puede utilizar para llenar completamente el espacio. [2]
Las coordenadas cartesianas para los 12 vértices de un tetraedro truncado centrado en el origen, con longitud de arista √8, son todas permutaciones de (±1,±1,±3) con un número par de signos menos:
Otra construcción simple existe en 4 espacios como celdas de las 16 celdas truncadas , con vértices como permutación de coordenadas de:
El tetraedro truncado también puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse sobre el plano mediante una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , conservando los ángulos pero no las áreas ni las longitudes. Las líneas rectas sobre la esfera se proyectan como arcos circulares sobre el plano.
Una versión de menor simetría del tetraedro truncado (un disfenoide tetragonal truncado con simetría 2d de orden 8 D ) se llama poliedro de Friauf en cristales como aleaciones metálicas complejas . Esta forma encaja 5 poliedros de Friauf alrededor de un eje, dando un ángulo diédrico de 72 grados en un subconjunto de 6-6 aristas. [4] Lleva el nombre de JB Friauf y su artículo de 1927 "La estructura cristalina del compuesto intermetálico MgCu 2 ". [5]
Se utilizaron tetraedros truncados gigantes para los pabellones temáticos "El hombre explorador" y "El hombre productor" de la Expo 67 . Estaban hechos de enormes vigas de acero atornilladas entre sí formando una red geométrica. Los tetraedros truncados estaban interconectados con plataformas de celosía de acero. Todos estos edificios fueron demolidos después del final de la Expo 67, ya que no habían sido construidos para soportar la severidad del clima de Montreal a lo largo de los años. Sus únicos restos se encuentran en los archivos de la ciudad de Montreal, los Archivos Públicos de Canadá y las colecciones de fotografías de turistas de la época. [6]
El rompecabezas Tetraminx tiene forma tetraédrica truncada. Este rompecabezas muestra una disección de un tetraedro truncado en 4 octaedros y 6 tetraedros . Contiene 4 planos centrales de rotaciones. [ cita necesaria ]
En el campo matemático de la teoría de grafos , un gráfico tetraédrico truncado es un gráfico de Arquímedes , el gráfico de vértices y aristas del tetraedro truncado, uno de los sólidos de Arquímedes . Tiene 12 vértices y 18 aristas. [8] Es un gráfico cúbico conexo, [9] y un gráfico transitivo cúbico conexo. [10]
También es parte de una secuencia de poliedros y mosaicos cánticos con configuración de vértice 3.6. n.6 . En esta construcción de Wythoff, los bordes entre los hexágonos representan digones degenerados .
Este poliedro está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros truncados uniformes con configuraciones de vértice (3,2 n ,2 n ) y simetría de grupo Coxeter [ n ,3 ] .
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