Retraso de grupo y retraso de fase.

Retrasos experimentados a través de un sistema lineal invariante en el tiempo

En el procesamiento de señales , el retardo de grupo y el retardo de fase son dos formas relacionadas de describir cómo los componentes de frecuencia de una señal se retrasan en el tiempo cuando pasan a través de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) (como un micrófono , un cable coaxial , un amplificador , un altavoz , un sistema de telecomunicaciones) . sistema , cable ethernet , filtro digital o filtro analógico ). El retardo de fase describe el cambio de tiempo de un componente sinusoidal (una onda sinusoidal en estado estable ). El retardo de grupo describe el desplazamiento en el tiempo de la envolvente de un paquete de ondas , un "paquete" o "grupo" de oscilaciones centradas alrededor de una frecuencia que viajan juntas, formadas, por ejemplo, multiplicando ( modulación de amplitud ) una onda sinusoidal por una envolvente (como una función de reducción ).

Estos retrasos suelen depender de la frecuencia , ^[1] lo que significa que diferentes componentes de frecuencia experimentan retrasos diferentes. Como resultado, la forma de onda de la señal experimenta distorsión a medida que pasa a través del sistema. Esta distorsión puede causar problemas como mala fidelidad en vídeo y audio analógicos , o una alta tasa de errores de bits en un flujo de bits digitales. Sin embargo, en el caso ideal de un retardo de grupo constante en todo el rango de frecuencia de una señal de banda limitada y una respuesta de frecuencia plana, la forma de onda no experimentará distorsión.

Fondo

Componentes de frecuencia de una señal.

El análisis de Fourier revela cómo las señales en el tiempo pueden expresarse alternativamente como la suma de componentes de frecuencia sinusoidales , cada uno basado en la función trigonométrica con una amplitud y fase fijas y sin principio ni fin. ${\displaystyle \sin(x)}$

Los sistemas lineales invariantes en el tiempo procesan cada componente sinusoidal de forma independiente; la propiedad de linealidad significa que satisfacen el principio de superposición .

Introducción

Las propiedades de retardo de grupo y retardo de fase de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) son funciones de la frecuencia, y dan el tiempo desde que aparece un componente de frecuencia de una cantidad física que varía en el tiempo (por ejemplo, una señal de voltaje) en la entrada del sistema LTI. hasta el momento en que una copia de ese mismo componente de frecuencia, tal vez de un fenómeno físico diferente, aparece en la salida del sistema LTI.

Una respuesta de fase variable en función de la frecuencia, a partir de la cual se puede calcular el retardo de grupo y de fase, suele ocurrir en dispositivos como micrófonos, amplificadores, altavoces, grabadoras magnéticas, auriculares, cables coaxiales y filtros antialiasing. ^[2] Todos los componentes de frecuencia de una señal se retrasan cuando pasan a través de dichos dispositivos, o cuando se propagan a través del espacio o un medio, como el aire o el agua.

Mientras que una respuesta de fase describe el cambio de fase en unidades angulares (como grados o radianes ), el retraso de fase está en unidades de tiempo y es igual al negativo del cambio de fase en cada frecuencia dividido por el valor de esa frecuencia. El retardo de grupo es la derivada negativa del cambio de fase con respecto a la frecuencia.

Retraso de fase

Un sistema o dispositivo lineal invariante en el tiempo tiene una propiedad de respuesta de fase y una propiedad de retardo de fase, donde una se puede calcular exactamente a partir de la otra. El retardo de fase mide directamente el retardo de tiempo del dispositivo o sistema de los componentes de frecuencia sinusoidal individuales en estado estable . ^[3] Si la función de retardo de fase en cualquier frecuencia determinada, dentro de un rango de frecuencia de interés, tiene la misma constante de proporcionalidad entre la fase en una frecuencia seleccionada y la frecuencia seleccionada en sí, el sistema/dispositivo tendrá el ideal de fase lineal. , lo que resulta en un retraso constante del grupo. ^[1] Dado que el retardo de fase es una función de la frecuencia que genera un retardo de tiempo, una desviación de la planitud de su gráfico de función puede revelar diferencias de retardo de tiempo entre los diversos componentes de frecuencia de la señal, en cuyo caso esas diferencias contribuirán a la distorsión de la señal, que se manifiesta ya que la forma de onda de la señal de salida es diferente de la de la señal de entrada.

Retraso de grupo

Mientras que el retardo de fase describe la respuesta del sistema a los componentes sinusoidales de estado estacionario, el retardo de grupo describe la respuesta a las sinusoides de amplitud modulada .

El retardo de grupo es una medida conveniente de la linealidad de la fase con respecto a la frecuencia en un sistema de modulación. ^{[4] [5]} Para una señal de modulación (señal de paso de banda), la información transportada por la señal se transporta exclusivamente en la envolvente de onda . Por lo tanto, el retardo de grupo funciona sólo con los componentes de frecuencia derivados de la envolvente.

Sistema de modulación básico

Figura 1: Dispositivos LTI externos e internos

El retardo de grupo de un dispositivo se puede calcular exactamente a partir de la respuesta de fase del dispositivo, pero no al revés.

El caso de uso más simple para el retardo de grupo se ilustra en la Figura 1, que muestra un sistema de modulación conceptual , que es en sí mismo un sistema LTI con una salida de banda base que idealmente es una copia exacta de la entrada de señal de banda base. Este sistema en su conjunto se denomina aquí sistema/dispositivo LTI externo, que contiene un sistema/dispositivo LTI interno (bloque rojo). Como suele ser el caso de un sistema de radio, el sistema LTI rojo interior en la Fig. 1 puede representar dos sistemas LTI en cascada, por ejemplo, un amplificador que acciona una antena transmisora ​​en el extremo emisor y el otro una antena y un amplificador en el extremo receptor.

Amplitud modulada

La modulación de amplitud crea la señal de banda de paso cambiando los componentes de frecuencia de la banda base a un rango de frecuencia mucho más alto. Aunque las frecuencias son diferentes, la señal de banda de paso transporta la misma información que la señal de banda base. El demodulador hace lo contrario, desplazando las frecuencias de la banda de paso nuevamente al rango de frecuencia de la banda base original. Idealmente, la señal de salida (banda base) es una versión retardada de la señal de entrada (banda base) donde la forma de onda de la salida es idéntica a la de la entrada.

En la Figura 1, el retraso de fase del sistema externo es la métrica de rendimiento significativa. Para la modulación de amplitud, el retardo del grupo de dispositivos LTI rojo interno se convierte en el retardo de fase del dispositivo LTI externo . Si el retardo del grupo de dispositivos rojos internos es completamente plano en el rango de frecuencia de interés, el dispositivo externo tendrá el ideal de un retardo de fase que también sea completamente plano, donde la contribución de la distorsión debido a la respuesta de fase del dispositivo LTI externo está completamente determinada. por la posible respuesta de fase diferente del dispositivo interno. En ese caso, el retardo de grupo del dispositivo rojo interno y el retardo de fase del dispositivo externo dan la misma cifra de retardo de tiempo para la señal en su conjunto, desde la entrada de banda base hasta la salida de banda base. Es importante señalar que es posible que el dispositivo interno (rojo) tenga un retardo de fase muy no plano (sino un retardo de grupo plano), mientras que el dispositivo externo tiene el ideal de un retardo de fase perfectamente plano. Esto es una suerte porque en el diseño de dispositivos LTI, es más fácil lograr un retardo de grupo plano que un retardo de fase plano.

Modulación de ángulo

En un sistema de modulación de ángulo, como con modulación de frecuencia (FM) o modulación de fase (PM), la señal de banda de paso (FM o PM) aplicada a una entrada del sistema LTI se puede analizar como dos señales de banda de paso separadas, una en fase ( I) señal de banda de paso de AM con modulación de amplitud y una señal de banda de paso de AM con modulación de amplitud de fase en cuadratura (Q), donde su suma reconstruye exactamente la señal de banda de paso de modulación de ángulo (FM o PM) original. Si bien la señal de banda de paso (FM/PM) no es modulación de amplitud y, por lo tanto, no tiene una envolvente exterior aparente, las señales de banda de paso I y Q sí tienen envolventes de modulación de amplitud. (Sin embargo, a diferencia de la modulación de amplitud normal, las envolventes I y Q no se parecen a la forma de onda de las señales de banda base, aunque el 100 por ciento de la señal de banda base está representada de manera compleja por sus envolventes.) Entonces, para cada una de las Señales de banda de paso I y Q, un retardo de grupo plano garantiza que ni la envolvente de la banda de paso I ni la envolvente de la banda de paso Q tendrán distorsión de la forma de onda, por lo que cuando la señal de la banda de paso I y la señal de la banda de paso Q se vuelven a sumar, la suma es la original. Señal pasabanda FM/PM, que también permanecerá inalterada.

Teoría

Según la teoría del sistema LTI (utilizada en la teoría del control y el procesamiento de señales digitales o analógicas ), la señal de salida de un sistema LTI se puede determinar convolucionando la respuesta al impulso en el dominio del tiempo del sistema LTI con la señal de entrada . Sistema lineal invariante en el tiempo § Transformadas de Fourier y Laplace expresa esta relación como: ${\displaystyle \displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle \displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle \displaystyle x(t)}$

${\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )\,x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\,X(s)\}\,,}$

donde denota la operación de convolución, y son las transformadas de Laplace de la respuesta de entrada y de impulso , respectivamente, s es la frecuencia compleja y es la transformada de Laplace inversa. se llama función de transferencia del sistema LTI y, al igual que la respuesta al impulso , define completamente las características de entrada-salida del sistema LTI. Esta convolución se puede evaluar usando la expresión integral en el dominio del tiempo o (según la expresión más a la derecha) usando la multiplicación en el dominio de Laplace y luego aplicando la transformada inversa para regresar al dominio del tiempo. ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \displaystyle X(s)}$ ${\displaystyle \displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle \displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}$ ${\displaystyle \displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle \displaystyle h(t)}$

Respuesta del sistema LTI al paquete de ondas.

Supongamos que dicho sistema es impulsado por un paquete de ondas formado por una sinusoide multiplicada por una envolvente de amplitud , por lo que la entrada se puede expresar de la siguiente forma: ${\displaystyle \displaystyle A_{\text{env}}(t)>0}$ ${\displaystyle \displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x(t)=A_{\text{env}}(t)\cos(\omega t+\theta )\,.}$

Supongamos también que la envolvente cambia lentamente en relación con la frecuencia de la sinusoide . Esta condición se puede expresar matemáticamente como: ${\displaystyle \displaystyle A_{\text{env}}(t)}$ ${\displaystyle \displaystyle \omega }$

${\displaystyle \left|{\frac {d}{dt}}\log {\big (}A_{\text{env}}(t){\big )}\right|\ll \omega \ .}$

La aplicación de la ecuación de convolución anterior revelaría que la salida de dicho sistema LTI se aproxima muy bien ^{[ se necesita aclaración ]} como:

${\displaystyle y(t)={\big |}H(i\omega ){\big |}\ A_{\text{env}}(t-\tau _{g})\cos {\big (}\omega (t-\tau _{\phi })+\theta {\big )}\;.}$

Aquí está el retraso de grupo y el retraso de fase, y están dados por las expresiones siguientes (y potencialmente son funciones de la frecuencia angular ). La fase de la sinusoide, como lo indican las posiciones de los cruces por cero, se retrasa en el tiempo una cantidad igual al retraso de fase, . La envoltura de la sinusoide se retrasa en el tiempo por el retraso del grupo . ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$

Definición matemática de retraso de grupo y retraso de fase.

El retardo de grupo , y el retardo de fase , dependen (potencialmente) de la frecuencia ^[6] y se pueden calcular a partir del cambio de fase desenvuelto . El retraso de fase en cada frecuencia es igual al negativo del cambio de fase en esa frecuencia dividido por el valor de esa frecuencia: ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \phi (\omega )}$

${\displaystyle \tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}\,.}$

El retardo de grupo en cada frecuencia es igual al negativo de la pendiente (es decir, la derivada con respecto a la frecuencia) de la fase en esa frecuencia: ^[7]

${\displaystyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\,.}$

En un sistema de fase lineal (con ganancia no inversora), ambos y son constantes (es decir, independientes de ) e iguales, y su valor común es igual al retardo general del sistema; y el cambio de fase no envuelto del sistema (es decir , ) es negativo, y la magnitud aumenta linealmente con la frecuencia . ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \displaystyle -\omega \tau _{\phi }}$ ${\displaystyle \displaystyle \omega }$

Respuesta del sistema LTI a una sinusoide compleja

De manera más general, se puede demostrar que para un sistema LTI con función de transferencia impulsada por una sinusoide compleja de amplitud unitaria, ${\displaystyle \displaystyle H(s)}$

${\displaystyle x(t)=e^{i\omega t}\ }$

la salida es

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=H(i\omega )\ e^{i\omega t}\ \\&=\left({\big |}H(i\omega ){\big |}e^{i\phi (\omega )}\right)\ e^{i\omega t}\ \\&={\big |}H(i\omega ){\big |}\ e^{i\left(\omega t+\phi (\omega )\right)}\ \\\end{aligned}}\ }$

donde el cambio de fase es ${\displaystyle \displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \arg \left\{H(i\omega )\right\}\;.}$

Ejemplo de filtro RC de paso alto o bajo de primer orden

La fase de un filtro paso bajo de 1er orden formado por un circuito RC con frecuencia de corte es: ^[8] ${\displaystyle \omega _{o}{=}{\frac {1}{RC}}}$

$${\displaystyle \phi (\omega )=-\arctan({\frac {\omega }{\omega _{o}}})\,.}$$

De manera similar, la fase para un filtro de paso alto RC de primer orden es:

$${\displaystyle \phi (\omega )={\frac {\pi }{2}}-\arctan({\frac {\omega }{\omega _{o}}})\,.}$$

Tomando la derivada negativa con respecto a este filtro de paso bajo o de paso alto se obtiene el mismo retardo de grupo de: ^[9] ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{g}(\omega )&={\frac {\omega _{o}}{\omega ^{2}+\omega _{o}^{2}}}\,.\\\end{aligned}}}$$

Para frecuencias significativamente más bajas que la frecuencia de corte, la respuesta de fase es aproximadamente lineal (arctan para entradas pequeñas se puede aproximar como una línea), por lo que el retardo de grupo se simplifica a un valor constante de:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{g}(\omega \ll \omega _{o})&\approx {\frac {1}{\omega _{o}}}=RC\,.\\\end{aligned}}}$$

De manera similar, justo en la frecuencia de corte, ${\displaystyle \tau _{g}(\omega {=}\omega _{o})={\frac {1}{2\omega _{o}}}={\frac {RC}{2}}\,.}$

A medida que las frecuencias aumentan aún más, el retardo del grupo disminuye con el cuadrado inverso de la frecuencia y se aproxima a cero a medida que la frecuencia se acerca al infinito.

Retraso de grupo negativo

• Figura 2: Circuito de filtro de retardo de grupo negativo
• Circuito con retardo de grupo negativo de = −RC = −1 ms para frecuencias muy inferiores a 1 ⁄ RC = 1 kHz . ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$
• 
  Simulación de LTspice AC de 1 Hz ( ≅ −1 ms ) a 10 kHz ( ≅ 0 ms ). ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$
• 
  Simulación transitoria de una onda de entrada (verde) cuya salida (roja) se adelanta 1 ms , pero con inestabilidad cuando la entrada se enciende y apaga.

Los filtros tendrán un retardo de grupo negativo en rangos de frecuencia donde su respuesta de fase tiene pendiente positiva. Si una señal tiene una banda limitada dentro de una frecuencia máxima B, entonces es predecible hasta cierto punto (dentro de períodos de tiempo menores que 1 ⁄ B ). Un filtro cuyo retardo de grupo es negativo en todo el rango de frecuencia de esa señal puede utilizar la previsibilidad de la señal para proporcionar una ilusión de un avance de tiempo no causal. Sin embargo, si la señal contiene un evento impredecible (como un cambio abrupto que hace que el espectro de la señal exceda su límite de banda), entonces la ilusión se rompe. ^[10] Los circuitos con retardo de grupo negativo (por ejemplo, Figura 2) son posibles, aunque no se viola la causalidad . ^[11]

Los filtros de retardo de grupo negativo se pueden crear tanto en dominios digitales como analógicos. Las aplicaciones incluyen la compensación del retraso inherente de los filtros de paso bajo, para crear filtros de fase cero , que pueden usarse para detectar rápidamente cambios en las tendencias de los datos de los sensores o los precios de las acciones. ^[12]

Retraso de grupo en audio

El retardo de grupo tiene cierta importancia en el campo del audio y especialmente en el campo de la reproducción del sonido. ^{[13] [14]} Muchos componentes de una cadena de reproducción de audio, en particular los altavoces y las redes cruzadas de altavoces multivía , introducen un retraso de grupo en la señal de audio. ^{[2] [14]} Por lo tanto, es importante conocer el umbral de audibilidad del retardo de grupo con respecto a la frecuencia, ^{[15] [16] [17]} especialmente si se supone que la cadena de audio debe proporcionar una reproducción de alta fidelidad . Blauert y Laws han proporcionado la tabla de mejores umbrales de audibilidad. ^[18]

Flanagan, Moore y Stone concluyen que a 1, 2 y 4 kHz, un retardo de grupo de aproximadamente 1,6 ms es audible con auriculares en condiciones no reverberantes. ^[19] Otros resultados experimentales sugieren que cuando el retardo de grupo en el rango de frecuencia de 300 Hz a 1 kHz es inferior a 1,0 ms, es inaudible. ^[dieciséis]

La forma de onda de cualquier señal puede reproducirse exactamente mediante un sistema que tenga una respuesta de frecuencia plana y un retardo de grupo en todo el ancho de banda de la señal. Leach ^[20] introdujo el concepto de distorsión diferencial por retardo de tiempo, definida como la diferencia entre el retardo de fase y el retardo de grupo:

${\displaystyle \Delta \tau =\tau _{\phi }-\tau _{g}}$.

Un sistema ideal debería presentar una distorsión diferencial de retardo de tiempo nula o insignificante. ^[20]

Es posible utilizar técnicas de procesamiento de señales digitales para corregir la distorsión de retardo de grupo que surge debido al uso de redes de cruce en sistemas de altavoces multidireccionales. ^[21] Esto implica un modelado computacional considerable de sistemas de altavoces para aplicar con éxito la ecualización de retardo, ^[22] utilizando el algoritmo de diseño de filtro equivalente FIR de Parks-McClellan . ^{[1] [5] [23] [24]}

Retraso grupal en óptica.

El retardo de grupo es importante en física y, en particular, en óptica .

En una fibra óptica , el retardo de grupo es el tiempo de tránsito requerido para que la potencia óptica , viajando a la velocidad de grupo de un modo determinado , recorra una distancia determinada. Para fines de medición de dispersión de fibra óptica , la cantidad de interés es el retardo de grupo por unidad de longitud, que es el recíproco de la velocidad de grupo de un modo particular. El retardo de grupo medido de una señal a través de una fibra óptica presenta una dependencia de la longitud de onda debido a los diversos mecanismos de dispersión presentes en la fibra.

A menudo es deseable que el retardo del grupo sea constante en todas las frecuencias; de lo contrario, se produce una mancha temporal de la señal. Debido a que el retardo de grupo es , se deduce que se puede lograr un retardo de grupo constante si la función de transferencia del dispositivo o medio tiene una respuesta de fase lineal (es decir, donde el retardo de grupo es constante). El grado de no linealidad de la fase indica la desviación del retardo del grupo de un valor constante. ${\textstyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}}$ ${\displaystyle \phi (\omega )=\phi (0)-\tau _{g}\omega }$ ${\displaystyle \tau _{g}}$

El retardo diferencial de grupo es la diferencia en el tiempo de propagación entre las dos polarizaciones X e Y de los modos propios . Considere dos modos propios que son los estados de polarización lineal de 0° y 90° . Si el estado de polarización de la señal de entrada es el estado lineal a 45° entre los dos modos propios, la señal de entrada se divide igualmente en los dos modos propios. La potencia de la señal transmitida E _{T ,total} es la combinación de las señales transmitidas de los modos x e y .

${\displaystyle E_{T}=(E_{i,x}\cdot t_{x})^{2}+(E_{i,y}\cdot t_{y})^{2}\,}$

El retardo diferencial de grupo D _t se define como la diferencia en el tiempo de propagación entre los modos propios: D _t  = | t _{t , x}  −  t _{t , y} |.

Retraso de tiempo real

Se dice que un aparato transmisor tiene un retardo de tiempo verdadero (TTD) si el retardo de tiempo es independiente de la frecuencia de la señal eléctrica. ^{[25] [26]} TTD permite un amplio ancho de banda de señal instantánea prácticamente sin distorsión de la señal, como la ampliación del pulso durante la operación pulsada.

TTD es una característica importante de las líneas de transmisión sin pérdidas, de bajas pérdidas y libres de dispersión . Las ecuaciones de Telegrapher § Transmisión sin pérdidas revelan que las señales se propagan a través de ellas a una velocidad de para una inductancia distribuida L y una capacitancia C. Por lo tanto, el retraso de propagación de cualquier señal a través de la línea simplemente es igual a la longitud de la línea dividida por esta velocidad. ${\displaystyle 1/{\sqrt {LC}}}$

Retraso de grupo de polinomios de función de transferencia

Si una función de transferencia o Sij de un parámetro de dispersión está en forma de transformada polinómica de Laplace , entonces la definición matemática anterior de retardo de grupo se puede resolver analíticamente en forma cerrada. Se puede tomar una función de transferencia polinómica a lo largo del eje y definirla como . se puede determinar a partir de , y luego el retraso del grupo se puede determinar resolviendo para . ${\displaystyle P(S)}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle P(j\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle P(j\omega )}$ ${\displaystyle -d\phi (\omega )|/d\omega }$

para determinar a partir de , utilice la definición de . Dado que siempre es real y siempre imaginario, se puede redefinir como donde par e impar se refieren a los polinomios que contienen solo los coeficientes de orden par o impar, respectivamente. El del numerador simplemente convierte el numerador imaginario en un valor real, ya que en sí mismo es puramente imaginario. ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle P(j\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )=tan^{-1}(P(j\omega )_{imag}/P(j\omega )_{real})}$ ${\displaystyle j^{2N}}$ ${\displaystyle j^{2N+1}}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )=tan^{-1}(-jP(j\omega )_{odd}/P(j\omega )_{even})}$ ${\displaystyle -j}$ ${\displaystyle P(j\omega )_{odd}}$ ${\displaystyle P(j\omega )_{odd}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dtan^{-1}(f(x))}{dx}}={\frac {df(x)/dx}{1+f(x)^{2}}}\\&f(x)={\frac {-jP(j\omega )_{odd}}{P(j\omega )_{even}}}\\&{\frac {df(x)}{dx}}={\frac {P(j\omega )_{even}{\frac {d(P(j\omega )_{odd})}{dx}}--jP(j\omega )_{odd}{\frac {d(-jP(j\omega )_{even})}{dx}}}{P(j\omega )_{even}^{2}}}\end{aligned}}}$

Las expresiones anteriores contienen cuatro términos para calcular:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}Se=P(j\omega )_{even}&=&\sum _{k=0}^{N/2}P_{2k}(j\omega )^{2k}&=&\sum _{k=0}^{N/2}P_{2k}(-1)^{k}(\omega )^{2k}\\So=P(j\omega )_{odd}&=&-j\sum _{k=1}^{(N+1)/2}P_{2k-1}(j\omega )^{2k-1}&=&\sum _{k=1}^{(N+1)/2}P_{2k-1}(-1)^{k-1}(\omega )^{2k-1}\\De={\frac {d(P(j\omega )_{even})}{dx}}&=&-j\sum _{k=1}^{N/2}2kP_{2k}(j\omega )^{2k-1}&=&\sum _{k=1}^{N/2}2kP_{2k}(-1)^{k-1}(\omega )^{2k-1}\\Do={\frac {d(P(j\omega )_{odd})}{dx}}&=&\sum _{k=1}^{(N+1)/2}{(2k-1)}P_{2k-1}(j\omega )^{2k-2}&=&\sum _{k=1}^{(N+1)/2}{(2k-1)}P_{2k-1}(-1)^{k-1}(\omega )^{2k-2}\\\\{\frac {df(x)}{dx}}&=&{\frac {SeDo-SoDe}{Se^{2}}}\end{array}}}$

Las ecuaciones anteriores se pueden usar para determinar el retardo de grupo del polinomio en forma cerrada, que se muestra a continuación después de que las ecuaciones se hayan reducido a una forma simplificada. ${\displaystyle P(S)}$

${\displaystyle {\text{Group Delay}}=gd(P(j\omega ))=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}=-{\frac {(So*De+Se*Do)}{(Se^{2}+So^{2})}}{\text{ sec}}}$

Relación polinomial

Una relación polinómica de la forma , como la que normalmente se encuentra en la definición de diseños de filtros , puede determinar el retardo de grupo aprovechando la relación de fase ,. ${\displaystyle P2(S)=P_{num}(S)/P_{den}(S)}$ ${\displaystyle \phi (P1/P2)=\phi (P1)-\phi (P2)}$

${\displaystyle {\text{Group Delay}}=gd(P2)=gd(P2_{num})-gd(P2_{den})sec}$

Ejemplo de filtro sencillo

A continuación se muestra una función de transferencia de filtro Legendre de cuatro polos utilizada en el ejemplo del filtro Legendre .

${\displaystyle T_{4}(j\omega )={\frac {1}{2.4494897(j\omega )^{4}+3.8282201(j\omega )^{3}+4.6244874(j\omega )^{2}+3.0412127(j\omega )+1}}}$

El retraso del grupo del numerador por inspección es cero, por lo que sólo es necesario determinar el retraso del grupo del denominador.

${\displaystyle {\begin{aligned}&Pe_{den}=2.4494897\omega ^{4}-4.6244874\omega ^{2}+1\\&Po_{den}=-3.8282201\omega ^{3}+3.0412127\omega \\&De_{den}=4(2.4494897)\omega ^{3}-2(4.6244874)\omega \\&Do_{den}=3(-3.8282201)\omega ^{2}+3.0412127\end{aligned}}}$

Evaluando a = 1 rad/seg: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&Pe_{den}=-1.1749977\\&Po_{den}=-0.7870074\\&De_{den}=-0.548984\\&Do_{den}=-8.4434476\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Group Delay}}=gd(T_{4}(j\omega ))=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\\&={\bigg [}0--{\frac {((-0.7870074*-0.548984)+(-1.1749977*-8.4434476))}{((-1.1749977)^{2}+(-0.7870074)^{2})}}{\bigg ]}\\&=5.1765430{\text{ sec}}\\&{\text{at }}\omega =1{\text{ rad/sec}}\end{aligned}}}$

Se puede confirmar que el procedimiento de cálculo del retardo de grupo y los resultados son correctos comparándolos con los resultados derivados de la derivada digital del ángulo de fase, utilizando un pequeño delta de +/-1,e-04 rad/seg. ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle \Delta \omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Group Delay}}=gd(T_{4}(j\omega ))=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\\&=-(\phi (1+1e-04)-\phi (1.-1e04))/2e-04\\&=5.1765432{\text{ sec}}\\&{\text{at }}\omega =1{\text{ rad/sec}}\end{aligned}}}$

Dado que el retraso de grupo calculado por la derivada digital utilizando un delta pequeño tiene una precisión de 7 dígitos en comparación con el cálculo analítico preciso, se confirma que el procedimiento de cálculo del retraso de grupo y los resultados son correctos.

Desviación de la fase lineal

La desviación de la fase lineal , a veces denominada simplemente "desviación de fase", es la diferencia entre la respuesta de fase, y la parte lineal de la respuesta de fase , ^[27] y es una medida útil para determinar la linealidad de . ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle \phi _{L}(\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$

Una forma conveniente de medir es tomar la regresión lineal simple de la muestra en un rango de frecuencia de interés y restarla de la real . Se esperaría que el valor de una respuesta de fase lineal ideal tuviera un valor de 0 en todo el rango de frecuencia de interés (como la banda de paso de un filtro), mientras que el de una respuesta de fase aproximadamente lineal del mundo real puede desviarse de 0 en un pequeña cantidad finita en todo el rango de frecuencia de interés. ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$ ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$ ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$

Ventaja sobre el retraso del grupo

Una ventaja de medir o calcular sobre medir o calcular el retardo de grupo, es que siempre converge a 0 a medida que la fase se vuelve lineal, mientras que converge en una cantidad finita que puede no conocerse de antemano. Dado esto, una función de optimización de fase lineal puede ejecutarse más fácilmente con un objetivo que con un objetivo cuando el valor de no necesariamente ya se conoce. ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$ ${\displaystyle gd(\omega )}$ ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$ ${\displaystyle gd(\omega )}$ ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega ){=}0}$ ${\displaystyle gd(\omega ){=}constant}$ ${\displaystyle constant}$

Ver también

• Medidas del sistema de audio.
• Fase lineal
• Filtro Bessel : filtro de paso bajo con retardo de grupo máximo plano
• Filtro Legendre : de la sección de ejemplos
• patrón de ojos
• Velocidad de grupo : "La velocidad de grupo de la luz en un medio es la inversa del retraso del grupo por unidad de longitud". ^[28]
• Velocidad de fase
• Paquete de olas

Referencias

 Este artículo incorpora material de dominio público de la Norma Federal 1037C. Administración de Servicios Generales . Archivado desde el original el 22 de enero de 2022.

1. Rabiner, Lawrence R.; Oro, Bernard (1975). Teoría y Aplicación del Procesamiento de Señales Digitales . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, Inc. ISBN 0-13-914101-4.
2. , D. (1982). "Distorsión de fase y ecualización de fase en el procesamiento de señales de audio: revisión del tutorial". Revista de la Sociedad de Ingeniería de Audio . 30 (11): 774–794 . Consultado el 22 de mayo de 2022 .
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enlaces externos

• Discusión sobre el retardo de grupo en los altavoces
• Explicaciones y aplicaciones del retardo de grupo
• "Introducción a los filtros digitales con aplicaciones de audio", Julius O. Smith III, (edición de septiembre de 2007).