Función de ventana

Función utilizada en el procesamiento de señales.

Una función de ventana popular, la ventana de Hann . Las funciones de ventana más populares son curvas similares en forma de campana.

En procesamiento de señales y estadística , una función de ventana (también conocida como función de apodización o función de reducción gradual ^[1] ) es una función matemática que tiene valor cero fuera de algún intervalo elegido . Normalmente, las funciones de ventana son simétricas alrededor de la mitad del intervalo, se acercan a un máximo en la mitad y se van estrechando desde la mitad. Matemáticamente, cuando otra función o forma de onda/secuencia de datos se "multiplica" por una función de ventana, el producto también tiene valor cero fuera del intervalo: todo lo que queda es la parte donde se superponen, la "vista a través de la ventana". De manera equivalente, y en la práctica real, el segmento de datos dentro de la ventana primero se aísla y luego solo esos datos se multiplican por los valores de la función de la ventana. Por tanto, la reducción gradual, no la segmentación, es el objetivo principal de las funciones de ventana.

Las razones para examinar segmentos de una función más larga incluyen la detección de eventos transitorios y el promedio temporal de espectros de frecuencia. La duración de los segmentos está determinada en cada aplicación por requisitos como resolución de tiempo y frecuencia. Pero ese método también cambia el contenido de frecuencia de la señal mediante un efecto llamado fuga espectral . Las funciones de ventana nos permiten distribuir espectralmente la fuga de diferentes formas, según las necesidades de la aplicación particular. Hay muchas opciones detalladas en este artículo, pero muchas de las diferencias son tan sutiles que resultan insignificantes en la práctica.

En aplicaciones típicas, las funciones de ventana utilizadas son curvas "en forma de campana", suaves y no negativas. ^[2] También se pueden utilizar rectángulos, triángulos y otras funciones. Una definición más general de funciones de ventana no requiere que sean idénticamente cero fuera de un intervalo, siempre y cuando el producto de la ventana multiplicado por su argumento sea integrable al cuadrado y, más específicamente, que la función vaya lo suficientemente rápido hacia cero. ^[3]

Aplicaciones

Las funciones de ventana se utilizan en análisis /modificación/ resíntesis espectral , ^[4] el diseño de filtros de respuesta de impulso finito , fusionando conjuntos de datos multiescala y multidimensionales, ^{[5] [6]} así como en la formación de haces y el diseño de antenas .

Figura 2: La ventana de una sinusoide provoca una fuga espectral. Se produce la misma cantidad de fuga ya sea que haya un número de ciclos entero (azul) o no entero (rojo) dentro de la ventana (filas 1 y 2). Cuando se muestrea y se ventana la sinusoide, su transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) también exhibe el mismo patrón de fuga (filas 3 y 4). Pero cuando el DTFT se muestra escasamente, en un cierto intervalo, es posible (dependiendo de su punto de vista): (1) evitar la fuga, o (2) crear la ilusión de que no hay fuga. Para el caso de la DTFT azul, esas muestras son las salidas de la transformada discreta de Fourier (DFT). El DTFT rojo tiene el mismo intervalo de cruces por cero, pero las muestras de DFT se encuentran entre ellos y se revela la fuga.

Análisis espectral

La transformada de Fourier de la función cos( ωt ) es cero, excepto en la frecuencia ± ω . Sin embargo, muchas otras funciones y formas de onda no tienen transformadas de forma cerrada convenientes. Alternativamente, uno podría estar interesado en su contenido espectral sólo durante un período de tiempo determinado.

En cualquier caso, la transformada de Fourier (o una transformada similar) se puede aplicar en uno o más intervalos finitos de la forma de onda. En general, la transformada se aplica al producto de la forma de onda y una función de ventana. Cualquier ventana (incluida la rectangular) afecta la estimación espectral calculada por este método.

Diseño de filtro

Las ventanas se utilizan a veces en el diseño de filtros digitales , en particular para convertir una respuesta de impulso "ideal" de duración infinita, como una función sinc , en un diseño de filtro de respuesta de impulso finita (FIR). Esto se llama método de ventana . ^{[7] [8] [9]}

Estadísticas y ajuste de curvas.

Las funciones de ventana se utilizan a veces en el campo del análisis estadístico para restringir el conjunto de datos que se analizan a un rango cercano a un punto determinado, con un factor de ponderación que disminuye el efecto de los puntos más alejados de la parte de la curva que se ajusta. En el campo del análisis bayesiano y el ajuste de curvas , esto a menudo se denomina núcleo .

Aplicaciones de ventanas rectangulares

Análisis de transitorios

Al analizar una señal transitoria en análisis modal , como un impulso, una respuesta de choque, una ráfaga sinusoidal, una ráfaga de chirrido o una ráfaga de ruido, donde la distribución de energía versus tiempo es extremadamente desigual, la ventana rectangular puede ser la más apropiada. Por ejemplo, cuando la mayor parte de la energía se encuentra al comienzo de la grabación, una ventana no rectangular atenúa la mayor parte de la energía, degradando la relación señal-ruido. ^[10]

Análisis armónico

Se podría desear medir el contenido armónico de una nota musical de un instrumento particular o la distorsión armónica de un amplificador a una frecuencia determinada. Refiriéndose nuevamente a la Figura 2 , podemos observar que no hay fugas en un conjunto discreto de frecuencias armónicamente relacionadas muestreadas mediante la transformada discreta de Fourier (DFT). (Los nulos espectrales son en realidad cruces por cero, que no se pueden mostrar en una escala logarítmica como esta). Esta propiedad es exclusiva de la ventana rectangular y debe configurarse adecuadamente para la frecuencia de la señal, como se describió anteriormente.

Ventanas superpuestas

Cuando la longitud de un conjunto de datos a transformar es mayor de lo necesario para proporcionar la resolución de frecuencia deseada, una práctica común es subdividirlo en conjuntos más pequeños y colocarlos en ventanas individualmente. Para mitigar la "pérdida" en los bordes de la ventana, los conjuntos individuales pueden superponerse en el tiempo. Véase el método de Welch de análisis espectral de potencia y la transformada de coseno discreta modificada .

Ventanas bidimensionales

Las ventanas bidimensionales se utilizan comúnmente en el procesamiento de imágenes para reducir las altas frecuencias no deseadas en la transformada de Fourier de la imagen. ^[11] Pueden construirse a partir de ventanas unidimensionales en cualquiera de dos formas. ^[12] La forma separable es trivial de calcular. La forma radial , que involucra el radio , es isotrópica , independiente de la orientación de los ejes de coordenadas. Sólo la función gaussiana es separable e isotrópica. ^[13] Las formas separables de todas las demás funciones de ventana tienen esquinas que dependen de la elección de los ejes de coordenadas. La isotropía/ anisotropía de una función de ventana bidimensional es compartida por su transformada de Fourier bidimensional. La diferencia entre las formas separable y radial es similar al resultado de la difracción de aberturas rectangulares versus circulares, que se pueden visualizar en términos del producto de dos funciones sinc versus una función de Airy , respectivamente. ${\displaystyle W(m,n)=w(m)w(n)}$ ${\displaystyle W(m,n)=w(r)}$ ${\displaystyle r={\sqrt {(m-M/2)^{2}+(n-N/2)^{2}}}}$

Ejemplos de funciones de ventana

Convenciones :

• ${\displaystyle w_{0}(x)}$es una función de fase cero (simétrica respecto a ), ^[14] continua para donde es un número entero positivo (par o impar). ^[15] ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x\in [-N/2,N/2],}$ ${\displaystyle N}$
• La secuencia     es simétrica , de longitud. ${\displaystyle \{w[n]=w_{0}(n-N/2),\quad 0\leq n\leq N\}}$ ${\displaystyle N+1.}$
• ${\displaystyle \{w[n],\quad 0\leq n\leq N-1\}}$  es DFT-simétrico , de longitud ^[A] ${\displaystyle N.}$

• El parámetro B que se muestra en cada gráfico espectral es la métrica de ancho de banda equivalente al ruido de la función , en unidades de contenedores DFT . ^{[16] : p.56 ecuación (16)}
  • Consulte fuga espectral §§  Señales de tiempo discreto y algunas métricas de ventana para comprender el uso de "contenedores" para el eje x en estos gráficos.

El escaso muestreo de una transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT), como las DFT en la Fig. 2, solo revela la fuga en los contenedores DFT desde una sinusoide cuya frecuencia también es un contenedor DFT entero. Los lóbulos laterales invisibles revelan la fuga que se espera de las sinusoides en otras frecuencias. ^[a] Por lo tanto, al elegir una función de ventana, generalmente es importante muestrear la DTFT más densamente (como lo hacemos a lo largo de esta sección) y elegir una ventana que suprima los lóbulos laterales a un nivel aceptable.

ventana rectangular

ventana rectangular

La ventana rectangular (a veces conocida como furgón o uniforme o ventana de Dirichlet o engañosamente como "sin ventana" en algunos programas ^[18] ) es la ventana más simple, equivalente a reemplazar todos menos N valores consecutivos de una secuencia de datos por ceros, haciendo que La forma de onda se enciende y apaga repentinamente:

${\displaystyle w[n]=1.}$

Otras ventanas están diseñadas para moderar estos cambios repentinos, reducir la pérdida de festón y mejorar el rango dinámico (descrito en § Análisis espectral).

La ventana rectangular es la ventana B -spline de ^primer orden , así como la ventana de potencia de seno de potencia ^{0 .}

La ventana rectangular proporciona la estimación del error cuadrático medio mínimo de la transformada de Fourier en tiempo discreto , a costa de otras cuestiones discutidas.

Ventanas B -spline

Las ventanas B -spline se pueden obtener como convoluciones k veces de la ventana rectangular. Incluyen la propia ventana rectangular ( k  = 1), la § ventana triangular ( k  = 2) y la § ventana Parzen ( k  = 4). ^[19] Las definiciones alternativas muestran las funciones de base B -spline normalizadas apropiadas en lugar de convolucionar ventanas de tiempo discreto. Una función de base B - spline de orden ^k es una función polinómica por partes de grado k −1 que se obtiene mediante la autoconvolución k veces de la función rectangular .

ventana triangular

Ventana triangular (con L  =  N  + 1)

Las ventanas triangulares vienen dadas por:

${\displaystyle w[n]=1-\left|{\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {L}{2}}}\right|,\quad 0\leq n\leq N}$

donde L puede ser N , ^[20] N  + 1, ^{[16] [21] [22]} o N  + 2. ^[23] La primera también se conoce como ventana de Bartlett o ventana de Fejér . Las tres definiciones convergen en general  N .

La ventana triangular es la ventana B -spline de ^segundo orden . La forma L  =  N puede verse como la convolución de dos ventanas rectangulares de N ⁄ 2 de ancho. La transformada de Fourier del resultado son los valores al cuadrado de la transformada de la ventana rectangular de medio ancho.

ventana parzen

ventana parzen

Al definir   L ≜ N + 1 , la ventana de Parzen, también conocida como ventana de la Vallée Poussin , ^[16] es la ventana B -spline de ^cuarto orden dada por:

${\displaystyle w_{0}(n)\triangleq \left\{{\begin{array}{ll}1-6\left({\frac {n}{L/2}}\right)^{2}\left(1-{\frac {|n|}{L/2}}\right),&0\leq |n|\leq {\frac {L}{4}}\\2\left(1-{\frac {|n|}{L/2}}\right)^{3}&{\frac {L}{4}}<|n|\leq {\frac {L}{2}}\\\end{array}}\right\}}$

${\displaystyle w[n]=\ w_{0}\left(n-{\tfrac {N}{2}}\right),\ 0\leq n\leq N}$

ventana galesa

Otras ventanas polinomiales

ventana galesa

La ventana de Welch consta de una única sección parabólica :

${\displaystyle w[n]=1-\left({\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {N}{2}}}\right)^{2},\quad 0\leq n\leq N.}$^[23]

El polinomio cuadrático definitorio alcanza un valor de cero en las muestras justo fuera del intervalo de la ventana.

ventana sinusoidal

ventana sinusoidal

${\displaystyle w[n]=\sin \left({\frac {\pi n}{N}}\right)=\cos \left({\frac {\pi n}{N}}-{\frac {\pi }{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

La función correspondiente es un coseno sin el desplazamiento de fase π /2. Por eso, la ventana sinusoidal ^[24] a veces también se denomina ventana coseno . ^[16] Como representa medio ciclo de una función sinusoidal, también se la conoce variablemente como ventana de media seno ^[25] o ventana de media coseno . ^[26] ${\displaystyle w_{0}(n)\,}$

La autocorrelación de una ventana sinusoidal produce una función conocida como ventana de Bohman. ^[27]

Ventanas de potencia de seno/coseno

Estas funciones de ventana tienen la forma: ^[28]

${\displaystyle w[n]=\sin ^{\alpha }\left({\frac {\pi n}{N}}\right)=\cos ^{\alpha }\left({\frac {\pi n}{N}}-{\frac {\pi }{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

La ventana rectangular ( α  = 0 ), la ventana sinusoidal ( α  = 1 ) y la ventana de Hann ( α  = 2 ) son miembros de esta familia.

Para valores enteros pares de α , estas funciones también se pueden expresar en forma de suma de cosenos:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N}}\right)-...}$

${\displaystyle {\begin{array}{l|llll}\hline \alpha &a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}\\\hline 0&1\\2&0.5&0.5\\4&0.375&0.5&0.125\\6&0.3125&0.46875&0.1875&0.03125\\8&0.2734375&0.4375&0.21875&0.0625&7.8125\times 10^{-3}\\\hline \end{array}}}$

Ventanas de suma de coseno

Esta familia también se conoce como ventanas de cosenos generalizados .

En la mayoría de los casos, incluidos los ejemplos siguientes, todos los coeficientes a _k  ≥ 0. Estas ventanas tienen solo 2 K + 1 coeficientes DFT de N puntos  distintos de cero .

Ventanas de Hann y Hamming

ventana hann

Ventana de Hamming, a ₀  = 0,53836 y a ₁  = 0,46164. La ventana de Hamming original tendría un ₀  = 0,54 y un ₁  = 0,46.

Las ventanas habituales de suma de cosenos para el caso K  = 1 tienen la forma:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-\underbrace {(1-a_{0})} _{a_{1}}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right),\quad 0\leq n\leq N,}$

que se confunde fácilmente (y a menudo) con su versión de fase cero:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}(n)\ &=w\left[n+{\tfrac {N}{2}}\right]\\&=a_{0}+a_{1}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right),\quad -{\tfrac {N}{2}}\leq n\leq {\tfrac {N}{2}}.\end{aligned}}}$

La configuración     produce una ventana de Hann: ${\displaystyle a_{0}=0.5}$

${\displaystyle w[n]=0.5\;\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right]=\sin ^{2}\left({\frac {\pi n}{N}}\right),}$^[29]

lleva el nombre de Julius von Hann , y a veces se lo denomina erróneamente Hanning , presumiblemente debido a sus similitudes lingüísticas y formulaicas con la ventana de Hamming. También se conoce como coseno elevado , porque la versión de fase cero es un lóbulo de una función coseno elevado. ${\displaystyle w_{0}(n),}$

Esta función es miembro de las familias de suma de cosenos y potencias de seno. A diferencia de la ventana de Hamming, los puntos finales de la ventana de Hann simplemente tocan cero. Los lóbulos laterales resultantes disminuyen a unos 18 dB por octava. ^[30]

Ajustarlo     a aproximadamente 0,54, o más precisamente 25/46, produce la ventana de Hamming, propuesta por Richard W. Hamming . Esa elección coloca un cruce por cero en la frecuencia 5 π /( N  − 1), que cancela el primer lóbulo lateral de la ventana de Hann, dándole una altura de aproximadamente una quinta parte de la de la ventana de Hann. ^{[16] [31] [32]} La ventana de Hamming a menudo se denomina señal de Hamming cuando se utiliza para dar forma al pulso . ^{[33] [34] [35]} ${\displaystyle a_{0}}$

La aproximación de los coeficientes a dos decimales reduce sustancialmente el nivel de lóbulos laterales, ^[16] a una condición casi equivalente a la de la ondulación. ^[32] En el sentido de la equitriple, los valores óptimos para los coeficientes son a ₀  = 0,53836 y a ₁  = 0,46164. ^{[32] [36]}

ventana negra

ventana de Blackman; α  = 0,16

Las ventanas de Blackman se definen como:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}={\frac {1-\alpha }{2}};\quad a_{1}={\frac {1}{2}};\quad a_{2}={\frac {\alpha }{2}}.}$

Por convención común, el término incondicional ventana de Blackman se refiere a la "propuesta no muy seria" de Blackman de α  = 0,16 ( a ₀  = 0,42, a ₁  = 0,5, a ₂  = 0,08), que se aproxima mucho al Blackman exacto , ^[37] con a ₀  = 7938/18608 ≈ 0,42659, a ₁  = 9240/18608 ≈ 0,49656 y a ₂  = 1430/18608 ≈ 0,076849. ^[38] Estos valores exactos colocan ceros en el tercer y cuarto lóbulo lateral, ^[16] pero dan como resultado una discontinuidad en los bordes y una caída de 6 dB/oct. Los coeficientes truncados no anulan también los lóbulos laterales, pero tienen una caída mejorada de 18 dB/oct. ^{[16] [39]}

Ventana Nuttall, primera derivada continua

Ventana Nuttall, primera derivada continua

La forma continua de la ventana de Nuttall y su primera derivada son continuas en todas partes, como la función de Hann . Es decir, la función llega a 0 en x  = ± N /2, a diferencia de las ventanas de Blackman-Nuttall, Blackman-Harris y Hamming. La ventana de Blackman ( α  = 0,16 ) también es continua con derivada continua en el borde, pero la "ventana de Blackman exacta" no lo es. ${\displaystyle w_{0}(x),}$

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.355768;\quad a_{1}=0.487396;\quad a_{2}=0.144232;\quad a_{3}=0.012604.}$

Ventana de Blackman-Nuttall

Ventana de Blackman-Nuttall

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.3635819;\quad a_{1}=0.4891775;\quad a_{2}=0.1365995;\quad a_{3}=0.0106411.}$

Ventana de Blackman-Harris

Ventana de Blackman-Harris

Una generalización de la familia Hamming, producida añadiendo más funciones sinc desplazadas, destinadas a minimizar los niveles de lóbulos laterales ^{[40] [41]}

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.35875;\quad a_{1}=0.48829;\quad a_{2}=0.14128;\quad a_{3}=0.01168.}$

ventana superior plana

ventana plana

Una ventana de parte superior plana es una ventana de valor parcialmente negativo que tiene una pérdida de festón mínima en el dominio de la frecuencia. Esa propiedad es deseable para la medición de amplitudes de componentes de frecuencia sinusoidales. ^{[17] [42]} Sin embargo, su amplio ancho de banda da como resultado un ancho de banda de alto ruido y una selección de frecuencia más amplia, lo que dependiendo de la aplicación podría ser un inconveniente.

Las ventanas de parte superior plana se pueden diseñar utilizando métodos de diseño de filtro de paso bajo, ^[42] o pueden ser de la variedad habitual de suma de cosenos:

${\displaystyle {\begin{aligned}w[n]=a_{0}&{}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)\\&{}-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N}}\right).\end{aligned}}}$

La variante de Matlab tiene estos coeficientes:

${\displaystyle a_{0}=0.21557895;\quad a_{1}=0.41663158;\quad a_{2}=0.277263158;\quad a_{3}=0.083578947;\quad a_{4}=0.006947368.}$

Hay otras variaciones disponibles, como lóbulos laterales que caen a costa de valores más altos cerca del lóbulo principal. ^[17]

Ventanas Rife-Vincent

Las ventanas de Rife-Vincent ^[43] suelen escalarse según el valor promedio unitario, en lugar del valor máximo unitario. Los valores de los coeficientes siguientes, aplicados a la ecuación 1 , reflejan esa costumbre.

Clase I, Orden 1 ( K = 1):        Funcionalmente equivalente a la ventana de Hann. ${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}=1}$

Clase I, Orden 2 ( K = 2):  ${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}={\tfrac {4}{3}};\quad a_{2}={\tfrac {1}{3}}}$

La clase I se define minimizando la amplitud del lóbulo lateral de alto orden. Se tabulan los coeficientes para pedidos hasta K=4. ^[44]

La clase II minimiza el ancho del lóbulo principal para un lóbulo lateral máximo dado.

La clase III es un compromiso cuyo orden K  = 2 se asemeja a la ventana de § Blackman. ^{[44] [45]}

Ventanas ajustables

ventana gaussiana

Ventana gaussiana, σ  = 0,4

La transformada de Fourier de una gaussiana también es gaussiana. Dado que el soporte de una función gaussiana se extiende hasta el infinito, debe truncarse en los extremos de la ventana o enventanarse con otra ventana terminada en cero. ^[46]

Dado que el logaritmo de un gaussiano produce una parábola , esto puede usarse para una interpolación cuadrática casi exacta en la estimación de frecuencia . ^{[47] [46] [48]}

${\displaystyle w[n]=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {n-N/2}{\sigma N/2}}\right)^{2}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

${\displaystyle \sigma \leq \;0.5\,}$

La desviación estándar de la función gaussiana es σ  ·  N /2 períodos de muestreo.

Ventana gaussiana confinada, σ _t  = 0,1

Ventana gaussiana confinada

La ventana gaussiana confinada produce el ancho de frecuencia cuadrático medio más pequeño posible σ _ω para un ancho temporal dado   ( N + 1) σ _t . ^[49] Estas ventanas optimizan los productos de ancho de banda de tiempo-frecuencia RMS. Se calculan como los vectores propios mínimos de una matriz dependiente de parámetros. La familia de ventanas gaussianas confinadas contiene la ventana § sinusoidal y la ventana § gaussiana en los casos límite de σ _t grande y pequeña , respectivamente.

Ventana gaussiana confinada aproximada, σ _t  = 0,1

Ventana gaussiana confinada aproximada

Al definir   L ≜ N + 1 , una ventana gaussiana confinada de ancho temporal   L × σ _t   se aproxima bien mediante: ^[49]

${\displaystyle w[n]=G(n)-{\frac {G(-{\tfrac {1}{2}})[G(n+L)+G(n-L)]}{G(-{\tfrac {1}{2}}+L)+G(-{\tfrac {1}{2}}-L)}}}$

donde es una función gaussiana: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(x)=\exp \left(-\left({\cfrac {x-{\frac {N}{2}}}{2L\sigma _{t}}}\right)^{2}\right)}$

La desviación estándar de la ventana aproximada es asintóticamente igual (es decir, valores grandes de N ) a   L × σ _t   para   σ _t < 0,14 . ^[49]

Ventana normal generalizada

Una versión más generalizada de la ventana gaussiana es la ventana normal generalizada. ^[50] Manteniendo la notación de la ventana gaussiana anterior, podemos representar esta ventana como

${\displaystyle w[n,p]=\exp \left(-\left({\frac {n-N/2}{\sigma N/2}}\right)^{p}\right)}$

para cualquier incluso . En , esta es una ventana gaussiana y, a medida que se acerca , se aproxima a una ventana rectangular. La transformada de Fourier de esta ventana no existe en forma cerrada para un general . Sin embargo, demuestra los otros beneficios de tener un ancho de banda ajustable y fluido. Al igual que la ventana de § Tukey, esta ventana ofrece naturalmente una "parte superior plana" para controlar la atenuación de amplitud de una serie temporal (sobre la cual no tenemos control con la ventana gaussiana). En esencia, ofrece un buen compromiso (controlable), en términos de fuga espectral, resolución de frecuencia y atenuación de amplitud, entre la ventana gaussiana y la ventana rectangular. Véase también ^[51] para un estudio sobre la representación tiempo-frecuencia de esta ventana (o función). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle p}$

ventana tukey

Ventana de Tukey, α  = 0,5

La ventana de Tukey, también conocida como ventana cónica de coseno , puede considerarse como un lóbulo coseno de ancho Nα /2 (que abarca Nα /2 + 1 observaciones) que está convolucionado con una ventana rectangular de ancho N (1 − α /2 ) .

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[n]={\frac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{\alpha N}}\right)\right],\quad &0\leq n<{\frac {\alpha N}{2}}\\w[n]=1,\quad &{\frac {\alpha N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}}$  ^{[52] [B] [C]}

En α  = 0 se vuelve rectangular y en α  = 1 se convierte en una ventana de Hann.

Ventana cónica de Planck

Ventana cónica de Planck, ε  = 0,1

La llamada ventana "cono de Planck" es una función de tope que se ha utilizado ampliamente ^[53] en la teoría de particiones de la unidad en variedades . Es suave (una función) en todas partes, pero es exactamente cero fuera de una región compacta, exactamente uno en un intervalo dentro de esa región, y varía suave y monótonamente entre esos límites. Su uso como función de ventana en el procesamiento de señales se sugirió por primera vez en el contexto de la astronomía de ondas gravitacionales , inspirada en la distribución de Planck . ^[54] Se define como una función por partes : ${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[0]=0,\\w[n]=\left(1+\exp \left({\frac {\varepsilon N}{n}}-{\frac {\varepsilon N}{\varepsilon N-n}}\right)\right)^{-1},\quad &1\leq n<\varepsilon N\\w[n]=1,\quad &\varepsilon N\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}}$

La cantidad de disminución está controlada por el parámetro ε , y los valores más pequeños dan transiciones más pronunciadas.

Ventana DPSS o Slepian

La DPSS (secuencia esferoidal prolata discreta) o ventana de Slepian maximiza la concentración de energía en el lóbulo principal , ^[55] y se utiliza en el análisis espectral multicónico , que promedia el ruido en el espectro y reduce la pérdida de información en los bordes de la ventana.

El lóbulo principal termina en un rango de frecuencia dado por el parámetro α . ^[56]

Las siguientes ventanas de Kaiser se crean mediante una simple aproximación a las ventanas de DPSS:

ventana káiser

La ventana Kaiser, o Kaiser-Bessel, es una aproximación simple de la ventana DPSS que utiliza funciones de Bessel , descubierta por James Kaiser . ^{[57] [58]}

${\displaystyle w[n]={\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}-1\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},\quad 0\leq n\leq N}$    ^{[D] [16] : pág. 73}

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},\quad -N/2\leq n\leq N/2}$

¿Dónde está la función de Bessel modificada de ^orden 0 de primer tipo? El parámetro variable determina el equilibrio entre el ancho del lóbulo principal y los niveles de los lóbulos laterales del patrón de fuga espectral. El ancho del lóbulo principal, entre los nulos, viene dado   en unidades de contenedores DFT, ^[65] y un valor típico es 3. ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 2{\sqrt {1+\alpha ^{2}}},}$ ${\displaystyle \alpha }$

Ventana de Dolph-Chebyshev

Ventana de Dolph-Chebyshev, α  = 5

Minimiza la norma de Chebyshev de los lóbulos laterales para un ancho de lóbulo principal determinado. ^[66]

La función de ventana de Dolph-Chebyshev de fase cero generalmente se define en términos de su transformada de Fourier discreta de valor real: [ ^67] ${\displaystyle w_{0}[n]}$ ${\displaystyle W_{0}[k]}$

${\displaystyle W_{0}(k)={\frac {T_{N}{\big (}\beta \cos \left({\frac {\pi k}{N+1}}\right){\big )}}{T_{N}(\beta )}}={\frac {T_{N}{\big (}\beta \cos \left({\frac {\pi k}{N+1}}\right){\big )}}{10^{\alpha }}},\ 0\leq k\leq N.}$

T _n ( x ) es el n -ésimo polinomio de Chebyshev del primer tipo evaluado en x , que se puede calcular usando

${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos \!{\big (}n\cos ^{-1}(x){\big )}&{\text{if }}-1\leq x\leq 1\\\cosh \!{\big (}n\cosh ^{-1}(x){\big )}&{\text{if }}x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh \!{\big (}n\cosh ^{-1}(-x){\big )}&{\text{if }}x\leq -1,\end{cases}}}$

y

${\displaystyle \beta =\cosh \!{\big (}{\tfrac {1}{N}}\cosh ^{-1}(10^{\alpha }){\big )}}$

es la única solución real positiva para , donde el parámetro α establece la norma de Chebyshev de los lóbulos laterales en −20 α  decibeles. ^[66] ${\displaystyle T_{N}(\beta )=10^{\alpha }}$

La función de ventana se puede calcular a partir de W ₀ ( k ) mediante una transformada de Fourier discreta inversa (DFT): ^[66]

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{i2\pi kn/(N+1)},\ -N/2\leq n\leq N/2.}$

La versión retrasada de la ventana se puede obtener mediante:

${\displaystyle w[n]=w_{0}\left(n-{\frac {N}{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N,}$

que para valores pares de N debe calcularse de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}\left(n-{\frac {N}{2}}\right)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{\frac {i2\pi k(n-N/2)}{N+1}}={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}\left[\left(-e^{\frac {i\pi }{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k)\right]e^{\frac {i2\pi kn}{N+1}},\end{aligned}}}$

que es una DFT inversa de   ${\displaystyle \left(-e^{\frac {i\pi }{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k).}$

Variaciones:

• Debido a la condición de equiriplación, la ventana en el dominio del tiempo tiene discontinuidades en los bordes. Una aproximación que los evita, al permitir que las ondulaciones caigan en los bordes, es una ventana de Taylor.
• También está disponible una alternativa a la definición inversa de DFT.[1]

ventana ultraesférica

El parámetro µ de la ventana ultraesférica determina si las amplitudes de los lóbulos laterales de su transformada de Fourier disminuyen, están niveladas o (como se muestra aquí) aumentan con la frecuencia.

La ventana ultraesférica fue introducida en 1984 por Roy Streit ^[68] y tiene aplicación en el diseño de conjuntos de antenas, ^[69] diseño de filtros no recursivos ^[68] y análisis de espectro. ^[70]

Al igual que otras ventanas ajustables, la ventana Ultraesférica tiene parámetros que se pueden usar para controlar el ancho del lóbulo principal de la transformada de Fourier y la amplitud relativa del lóbulo lateral. Poco común en otras ventanas, tiene un parámetro adicional que se puede utilizar para establecer la velocidad a la que los lóbulos laterales disminuyen (o aumentan) en amplitud. ^{[70] [71] [72]}

La ventana se puede expresar en el dominio del tiempo de la siguiente manera: ^[70]

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{N+1}}\left[C_{N}^{\mu }(x_{0})+\sum _{k=1}^{\frac {N}{2}}C_{N}^{\mu }\left(x_{0}\cos {\frac {k\pi }{N+1}}\right)\cos {\frac {2n\pi k}{N+1}}\right]}$

donde está el polinomio ultraesférico de grado N y controla los patrones de lóbulos laterales. ^[70] ${\displaystyle C_{N}^{\mu }}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \mu }$

Ciertos valores específicos de producen otras ventanas bien conocidas: y dan las ventanas Dolph-Chebyshev y Saramäki respectivamente. ^[68] Consulte aquí para ver una ilustración de ventanas ultraesféricas con parametrización variada. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \mu =1}$

Ventana exponencial o de Poisson

Ventana exponencial, τ  =  N /2

Ventana exponencial, τ  = ( N /2)/(60/8,69)

La ventana de Poisson, o más genéricamente la ventana exponencial, aumenta exponencialmente hacia el centro de la ventana y disminuye exponencialmente en la segunda mitad. Dado que la función exponencial nunca llega a cero, los valores de la ventana en sus límites son distintos de cero (puede verse como la multiplicación de una función exponencial por una ventana rectangular ^[73] ). Se define por

${\displaystyle w[n]=e^{-\left|n-{\frac {N}{2}}\right|{\frac {1}{\tau }}},}$

donde τ es la constante de tiempo de la función. La función exponencial decae como e  ≃ 2,71828 o aproximadamente 8,69 dB por constante de tiempo. ^[74] Esto significa que para una caída objetivo de D  dB en la mitad de la longitud de la ventana, la constante de tiempo τ viene dada por

${\displaystyle \tau ={\frac {N}{2}}{\frac {8.69}{D}}.}$

Ventanas híbridas

Las funciones de ventana también se han construido como combinaciones multiplicativas o aditivas de otras ventanas.

Ventana de Bartlett-Hann

Ventana de Bartlett-Hann

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\left|{\frac {n}{N}}-{\frac {1}{2}}\right|-a_{2}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.62;\quad a_{1}=0.48;\quad a_{2}=0.38\,}$

Ventana de Planck-Bessel

Ventana de Planck-Bessel, ε  = 0,1, α  = 4,45

Una ventana cónica de Planck multiplicada por una ventana de Kaiser que se define en términos de una función de Bessel modificada . Esta función de ventana híbrida se introdujo para disminuir el nivel máximo del lóbulo lateral de la ventana cónica de Planck y al mismo tiempo explotar su buena decadencia asintótica. ^[75] Tiene dos parámetros sintonizables, ε del cono de Planck y α de la ventana de Kaiser, por lo que se puede ajustar para adaptarse a los requisitos de una señal determinada.

Ventana de Hann-Poisson

Ventana de Hann-Poisson, α  = 2

Una ventana de Hann multiplicada por una ventana de Poisson. Porque no tiene lóbulos laterales, ya que su transformada de Fourier cae para siempre lejos del lóbulo principal sin mínimos locales. Por tanto, puede utilizarse en algoritmos de escalada como el método de Newton . ^[76] La ventana de Hann-Poisson se define por: ${\displaystyle \alpha \geqslant 2}$

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{2}}\left(1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right)e^{\frac {-\alpha \left|N-2n\right|}{N}}\,}$

donde α es un parámetro que controla la pendiente de la exponencial.

Otras ventanas

Ventana GAP (ventana Nuttall optimizada para GAP)

Ventana de polinomio adaptativo generalizado (GAP)

La ventana GAP es una familia de funciones de ventana ajustables que se basan en una expansión de orden polinomial simétrica . Es continuo con derivada continua en todas partes. Con el conjunto apropiado de coeficientes de expansión y orden de expansión, la ventana GAP puede imitar todas las funciones de ventana conocidas, reproduciendo con precisión sus propiedades espectrales. ${\displaystyle K}$

${\displaystyle w_{0}[n]=a_{0}+\sum _{k=1}^{K}a_{2k}\left({\frac {n}{\sigma }}\right)^{2k},\quad -{\frac {N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}},}$  ^[77]

¿Dónde está la desviación estándar de la secuencia? ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{n\}}$

Además, comenzando con un conjunto de coeficientes de expansión que imita una determinada función de ventana conocida, la ventana GAP se puede optimizar mediante procedimientos de minimización para obtener un nuevo conjunto de coeficientes que mejoren una o más propiedades espectrales, como el ancho del lóbulo principal, el lóbulo lateral atenuación y tasa de caída de los lóbulos laterales. ^[78] Por lo tanto, se puede desarrollar una función de ventana GAP con propiedades espectrales diseñadas dependiendo de la aplicación específica. ${\displaystyle a_{2k}}$

Ventana Sinc o Lanczos

ventana de lanczos

$${\displaystyle w[n]=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}-1\right)}$$

• utilizado en el remuestreo de Lanczos
• para la ventana de Lanczos, se define como ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$ ${\displaystyle \sin(\pi x)/\pi x}$
• También conocida como ventana sinc , porque:
  $${\displaystyle w_{0}(n)=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}\right)\,}$$
  es el lóbulo principal de una función sinc normalizada

Funciones de ventana asimétricas

La forma, según la convención anterior, es simétrica alrededor de . Sin embargo, hay funciones de ventana que son asimétricas, como la distribución Gamma utilizada en implementaciones FIR de filtros Gammatone . Estas asimetrías se utilizan para reducir el retraso cuando se utilizan ventanas de gran tamaño o para enfatizar el transitorio inicial de un pulso en decadencia. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle w_{0}(x)}$ ${\displaystyle x=0}$

Cualquier función acotada con soporte compacto , incluidas las asimétricas, se puede utilizar fácilmente como función de ventana. Además, hay formas de transformar ventanas simétricas en ventanas asimétricas transformando la coordenada de tiempo, como con la siguiente fórmula

${\displaystyle x\leftarrow N\left({\frac {x}{N}}+{\frac {1}{2}}\right)^{\alpha }-{\frac {N}{2}}\,,}$

donde la ventana pondera más las primeras muestras cuando y, a la inversa, pondera más las últimas muestras cuando . ^[79] ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle \alpha <1}$

Ver también

• apodización
• Filtro Kolmogorov-Zurbenko
• Multicónico
• Transformada de Fourier de corto tiempo
• Fuga espectral
• método galés
• Función de peso
• Método de diseño de ventanas.

Notas

1. Algunos autores limitan su atención a este importante subconjunto y a valores pares de N. ^{[16] [17]} Pero las fórmulas de coeficientes de ventana siguen siendo las que se presentan aquí.
2. Esta fórmula se puede confirmar simplificando la función coseno en MATLAB tukeywin y sustituyendo r = α y x = n / N.
3. Harris 1978 (p. 67, ecuación 38) parece tener dos errores: (1) El operador de resta en el numerador de la función coseno debe ser la suma. (2) El denominador contiene un factor espurio de 2. Además, la figura 30 corresponde a α=0,25 usando la fórmula de Wikipedia, pero a 0,75 usando la fórmula de Harris. La figura 32 está igualmente mal etiquetada.
4. La ventana de Kaiser suele estar parametrizada por β , donde β = π α . ^{[59] [60] [61] [62] [56] [63] [7] : pág. 474}   El uso alternativo de solo α facilita las comparaciones con las ventanas DPSS. ^[64]

Citas de página

1. Harris 1978, p 57, figura 10.

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Otras lecturas

• Harris, Frederic J. (septiembre de 1976). "Windows, análisis armónico y transformada discreta de Fourier" (PDF) . aplicaciones.dtic.mil . Centro Naval Submarino, San Diego. Archivado (PDF) desde el original el 8 de abril de 2019 . Consultado el 8 de abril de 2019 .
• Albrecht, Hans-Helge (2012). Ventanas de suma de coseno mínima y de lóbulo lateral mínimo adaptadas. Versión 1.0 . vol. ISBN 978-3-86918-281-0). editor: Physikalisch-Technische Bundesanstalt. Physikalisch-Technische Bundesanstalt. doi :10.7795/110.20121022aa. ISBN 978-3-86918-281-0.
• Bergen, SWA; Antoniou, A. (2005). "Diseño de filtros digitales no recursivos utilizando la función de ventana ultraesférica". Revista EURASIP sobre procesamiento de señales aplicado . 2005 (12): 1910-1922. Código Bib : 2005EJASP2005...44B. doi : 10.1155/ASP.2005.1910 .
• Prabhu, KMM (2014). Funciones de ventana y sus aplicaciones en el procesamiento de señales . Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4665-1583-3.
• Patente estadounidense 7065150, Park, Young-Seo, "Sistema y método para generar una modulación de multiplexación por división de frecuencia ortogonal de coseno elevado (RRC OFDM)", publicada en 2003, publicada en 2006. 

enlaces externos

• Medios relacionados con la función de ventana en Wikimedia Commons
• Ayuda de LabView, Características de los filtros de suavizado, http://zone.ni.com/reference/en-XX/help/371361B-01/lvanlsconcepts/char_smoothing_windows/
• Creación y propiedades de funciones de ventana Cosine-sum, http://electronicsart.weebly.com/fftwindows.html
• FFT interactivo en línea, Windows, resolución y simulación de fugas | RITEC | Biblioteca y herramientas