Fuga espectral

Efecto en el procesamiento de señales.

La transformada de Fourier de una función del tiempo, s(t), es una función de frecuencia de valor complejo, S(f), a menudo denominada espectro de frecuencia . Cualquier operación lineal invariante en el tiempo sobre s(t) produce un nuevo espectro de la forma H(f)·S(f), que cambia las magnitudes relativas y/o ángulos ( fase ) de los valores distintos de cero de S(f ). Cualquier otro tipo de operación crea nuevos componentes de frecuencia que pueden denominarse fuga espectral en el sentido más amplio. El muestreo , por ejemplo, produce fugas, que llamamos alias del componente espectral original. Para fines de la transformada de Fourier , el muestreo se modela como un producto entre s(t) y una función de peine de Dirac . El espectro de un producto es la convolución entre S(f) y otra función, que inevitablemente crea los nuevos componentes de frecuencia. Pero el término "fuga" generalmente se refiere al efecto de ventana , que es el producto de s(t) con un tipo diferente de función, la función de ventana . Las funciones de ventana tienen una duración finita, pero eso no es necesario para crear fugas. La multiplicación por una función variable en el tiempo es suficiente.

Análisis espectral

La transformada de Fourier de la función cos( ωt ) es cero, excepto en la frecuencia ± ω . Sin embargo, muchas otras funciones y formas de onda no tienen transformadas de forma cerrada convenientes. Alternativamente, uno podría estar interesado en su contenido espectral sólo durante un período de tiempo determinado. En cualquier caso, la transformada de Fourier (o una transformada similar) se puede aplicar en uno o más intervalos finitos de la forma de onda. En general, la transformada se aplica al producto de la forma de onda y una función de ventana. Cualquier ventana (incluida la rectangular) afecta la estimación espectral calculada por este método.

Los efectos se caracterizan más fácilmente por su efecto sobre una función sinusoidal s(t), cuya transformada de Fourier sin ventana es cero para todas las frecuencias menos una. La frecuencia habitual de elección es 0 Hz, porque la transformada de Fourier en ventana es simplemente la transformada de Fourier de la función de ventana en sí (ver § Ejemplos de funciones de ventana ) :

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{w(t)\cdot \underbrace {\cos(2\pi 0t)} _{1}\}={\mathcal {F}}\{w(t)\}.}$

Cuando se aplican tanto el muestreo como la ventana a s(t), en cualquier orden, la fuga causada por la ventana es una dispersión relativamente localizada de los componentes de frecuencia, con frecuencia con un efecto de desenfoque, mientras que el aliasing causado por el muestreo es una repetición periódica de todo el espectro. espectro borroso.

Figura 1: Comparación de dos funciones de ventana en términos de sus efectos sobre sinusoides de igual fuerza con ruido aditivo. La sinusoide en el contenedor −20 no sufre festoneado y la del contenedor +20,5 presenta el peor de los casos. La ventana rectangular produce los picos más festoneados pero también más estrechos y un piso de ruido más bajo. Una tercera sinusoide con una amplitud de −16 dB sería perceptible en el espectro superior, pero no en el inferior.

Figura 2: La ventana de una sinusoide provoca una fuga espectral, incluso si la sinusoide tiene un número entero de ciclos dentro de una ventana rectangular. La fuga es evidente en la segunda fila, trazo azul. Es la misma cantidad que la traza roja, que representa una frecuencia ligeramente mayor que no tiene un número entero de ciclos. Cuando se muestrea la sinusoide y se le aplica una ventana, su transformada de Fourier en tiempo discreto también muestra el mismo patrón de fuga (filas 3 y 4). Pero cuando el DTFT se muestra escasamente, en un cierto intervalo, es posible (dependiendo de su punto de vista): (1) evitar la fuga, o (2) crear la ilusión de que no hay fuga. Para el caso de la DTFT sinusoide azul (tercera fila de gráficos, lado derecho), esas muestras son las salidas de la transformada discreta de Fourier (DFT). La DTFT sinusoide roja (cuarta fila) tiene el mismo intervalo de cruces por cero, pero las muestras de DFT se encuentran entre ellos y se revela la fuga.

Elección de la función de ventana

La ventana de una forma de onda simple como cos( ωt ) hace que su transformada de Fourier desarrolle valores distintos de cero (comúnmente llamados fugas espectrales) en frecuencias distintas a ω . La fuga tiende a ser peor (más alta) cerca de ω y mínima en las frecuencias más alejadas de  ω .

Si la forma de onda analizada comprende dos sinusoides de diferentes frecuencias, la fuga puede interferir con nuestra capacidad para distinguirlas espectralmente. Los posibles tipos de interferencia a menudo se dividen en dos clases opuestas de la siguiente manera: si las frecuencias de los componentes son diferentes y un componente es más débil, entonces la fuga del componente más fuerte puede oscurecer la presencia del más débil. Pero si las frecuencias son demasiado similares, las fugas pueden hacerlas irresolubles incluso cuando las sinusoides sean de igual fuerza. Las ventanas que son efectivas contra el primer tipo de interferencia, es decir, cuando los componentes tienen frecuencias y amplitudes diferentes, se denominan alto rango dinámico . Por el contrario, las ventanas que pueden distinguir componentes con frecuencias y amplitudes similares se denominan de alta resolución .

La ventana rectangular es un ejemplo de una ventana de alta resolución pero de bajo rango dinámico , lo que significa que es buena para distinguir componentes de amplitud similar incluso cuando las frecuencias también están cerca, pero pobre para distinguir componentes de diferente amplitud incluso cuando las frecuencias están lejos. lejos. Las ventanas de alta resolución y bajo rango dinámico, como la ventana rectangular, también tienen la propiedad de alta sensibilidad , que es la capacidad de revelar sinusoides relativamente débiles en presencia de ruido aleatorio aditivo. Esto se debe a que el ruido produce una respuesta más fuerte con ventanas de alto rango dinámico que con ventanas de alta resolución.

En el otro extremo de la gama de tipos de ventanas se encuentran las ventanas con alto rango dinámico pero baja resolución y sensibilidad. Las ventanas de alto rango dinámico suelen justificarse en aplicaciones de banda ancha , donde se espera que el espectro que se analiza contenga muchos componentes diferentes de diversas amplitudes.

Entre los extremos se encuentran ventanas moderadas, como Hann y Hamming . Se utilizan habitualmente en aplicaciones de banda estrecha , como el espectro de un canal telefónico.

En resumen, el análisis espectral implica un equilibrio entre resolver componentes de resistencia comparables con frecuencias similares ( alta resolución/sensibilidad ) y resolver componentes de resistencia dispares con frecuencias diferentes ( alto rango dinámico ). Esa compensación se produce cuando se elige la función de ventana. ^{[1] : pág.90}

Señales en tiempo discreto

Cuando la forma de onda de entrada se muestrea en el tiempo, en lugar de ser continua, el análisis generalmente se realiza aplicando una función de ventana y luego una transformada discreta de Fourier (DFT). Pero la DFT proporciona sólo una muestra escasa del espectro real de la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT). La Figura 2, fila 3 muestra una DTFT para una sinusoide de ventana rectangular. La frecuencia real de la sinusoide se indica como "13" en el eje horizontal. Todo lo demás son fugas, exageradas por el uso de una presentación logarítmica. La unidad de frecuencia es "contenedores DFT"; es decir, los valores enteros en el eje de frecuencia corresponden a las frecuencias muestreadas por la DFT. ^{[2] : p.56 eq.(16)} Entonces, la figura muestra un caso en el que la frecuencia real de la sinusoide coincide con una muestra DFT, y esa muestra mide con precisión el valor máximo del espectro. En la fila 4, se pierde el valor máximo por ½ bin, y el error de medición resultante se conoce como pérdida festoneada (inspirada en la forma del pico). Para una frecuencia conocida, como una nota musical o una señal de prueba sinusoidal, se puede preorganizar la coincidencia de la frecuencia con un contenedor DFT mediante la elección de una frecuencia de muestreo y una longitud de ventana que dé como resultado un número entero de ciclos dentro de la ventana.

Figura 3: Esta figura compara las pérdidas de procesamiento de tres funciones de ventana para entradas sinusoidales, con pérdida de festón mínima y máxima.

Ancho de banda de ruido

Los conceptos de resolución y rango dinámico tienden a ser algo subjetivos, dependiendo de lo que realmente esté intentando hacer el usuario. Pero también tienden a estar altamente correlacionados con la fuga total, que es cuantificable. Generalmente se expresa como un ancho de banda equivalente, B. Se puede considerar como una redistribución de la DTFT en una forma rectangular con una altura igual al máximo espectral y un ancho B. ^{[A] [3]} Cuanto mayor sea la fuga, mayor será el ancho de banda . A veces se le llama ancho de banda equivalente de ruido o ancho de banda de ruido equivalente , porque es proporcional a la potencia promedio que registrará cada contenedor DFT cuando la señal de entrada contiene un componente de ruido aleatorio (o es simplemente ruido aleatorio). Un gráfico del espectro de potencia , promediado a lo largo del tiempo, normalmente revela un ruido de fondo plano , causado por este efecto. La altura del piso de ruido es proporcional a B. Por lo tanto, dos funciones de ventana diferentes pueden producir pisos de ruido diferentes, como se ve en las figuras 1 y 3.

Procesamiento de pérdidas y ganancias

En el procesamiento de señales , las operaciones se eligen para mejorar algún aspecto de la calidad de una señal explotando las diferencias entre la señal y las influencias corruptoras. Cuando la señal es una sinusoide corrompida por ruido aleatorio aditivo, el análisis espectral distribuye los componentes de la señal y el ruido de manera diferente, lo que a menudo facilita la detección de la presencia de la señal o la medición de ciertas características, como la amplitud y la frecuencia. Efectivamente, la relación señal-ruido (SNR) se mejora distribuyendo el ruido uniformemente, mientras se concentra la mayor parte de la energía de la sinusoide alrededor de una frecuencia. La ganancia de procesamiento es un término que se utiliza a menudo para describir una mejora de la SNR. La ganancia de procesamiento del análisis espectral depende de la función de la ventana, tanto de su ancho de banda de ruido (B) como de su potencial pérdida por festón. Estos efectos se compensan parcialmente, porque las ventanas con menos festones naturalmente tienen más fugas.

La Figura 3 muestra los efectos de tres funciones de ventana diferentes en el mismo conjunto de datos, que comprende dos sinusoides de igual intensidad en ruido aditivo. Las frecuencias de las sinusoides se eligen de modo que una no encuentre festoneado y la otra encuentre festoneado máximo. Ambas sinusoides sufren menos pérdida de SNR bajo la ventana de Hann que bajo la ventana de Blackman-Harris . En general (como se mencionó anteriormente), esto disuade el uso de ventanas de alto rango dinámico en aplicaciones de bajo rango dinámico.

Figura 4: Dos formas diferentes de generar una secuencia de ventana gaussiana de 8 puntos ( σ  = 0,4) para aplicaciones de análisis espectral. MATLAB los llama "simétricos" y "periódicos". Este último también se denomina históricamente DFT-even .

Figura 5: Características de fuga espectral de las funciones de la Figura 4

Simetría

Las fórmulas proporcionadas en § Ejemplos de funciones de ventana producen secuencias discretas, como si se hubiera "muestreado" una función de ventana continua. (Vea un ejemplo en la ventana de Kaiser ). Las secuencias de ventana para análisis espectral son simétricas o con una muestra menos que simétricas (llamadas periódicas , ^{[4] [5]} DFT par o DFT simétrica ^{[2] : p.52} ). . Por ejemplo, la función MATLAB genera una secuencia simétrica verdadera, con su máximo en un único punto central hann(9,'symmetric'). Al eliminar la última muestra se produce una secuencia idéntica a hann(8,'periodic'). De manera similar, la secuencia hann(8,'symmetric')tiene dos puntos centrales iguales. ^[6]

Algunas funciones tienen uno o dos puntos finales con valor cero, que son innecesarios en la mayoría de las aplicaciones. La eliminación de un punto final de valor cero no tiene ningún efecto sobre su DTFT (fuga espectral). Pero la función diseñada para N  + 1 o N  + 2 muestras, en previsión de eliminar uno o ambos puntos finales, normalmente tiene un lóbulo principal ligeramente más estrecho, lóbulos laterales ligeramente más altos y un ancho de banda de ruido ligeramente más pequeño. ^[7]

simetría DFT

El predecesor de la DFT es la transformada finita de Fourier , y las funciones de ventana eran "siempre un número impar de puntos y exhiben una simetría par con respecto al origen". ^{[2] : p.52} En ese caso, la DTFT tiene un valor completamente real. Cuando la misma secuencia se desplaza a una ventana de datos DFT , la DTFT adquiere valores complejos excepto en frecuencias espaciadas a intervalos regulares de ^[a].   Por lo tanto, cuando se muestrean mediante una DFT de longitud, las muestras (llamadas coeficientes DFT ) siguen siendo reales. valorado. Una aproximación es truncar la secuencia de longitud N +1 (efectivamente ) y calcular una DFT de longitud. La DTFT (fuga espectral) se ve ligeramente afectada, pero las muestras mantienen su valor real. ^{[8] [B]} Los términos DFT par y periódico se refieren a la idea de que si la secuencia truncada se repitiera periódicamente, sería incluso simétrica y su DTFT tendría un valor completamente real. Pero la DTFT real generalmente tiene valores complejos, a excepción de los coeficientes de la DFT. Los gráficos espectrales como los de § Ejemplos de funciones de ventana se producen muestreando el DTFT a intervalos mucho más pequeños y mostrando solo el componente de magnitud de los números complejos. ${\displaystyle [0\leq n\leq N],}$ ${\displaystyle 1/N.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle w[N]=0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n=0,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 1/N}$

Suma periódica

Un método exacto para muestrear la DTFT de una secuencia de longitud N +1 a intervalos de se describe en DTFT § L=N+1 . Esencialmente, se combina con (por suma) y se realiza una DFT de punto en la secuencia truncada. De manera similar, el análisis espectral se realizaría combinando las muestras de datos y antes de aplicar la ventana simétrica truncada. Esta no es una práctica común, aunque las ventanas truncadas son muy populares. ^{[2] [9] [10] [11] [12] [13] [b]} ${\displaystyle 1/N}$ ${\displaystyle w[N]}$ ${\displaystyle w[0]}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle n=N}$

Circunvolución

El atractivo de las ventanas simétricas DFT se explica por la popularidad del algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT) para la implementación de la DFT, porque el truncamiento de una secuencia de longitud impar da como resultado una secuencia de longitud par. Sus coeficientes DFT de valor real también son una ventaja en ciertas aplicaciones esotéricas ^[C] donde la ventana se logra mediante convolución entre los coeficientes DFT y una DFT sin ventanas de los datos. ^{[14] [2] : p.62  [1] : p.85} En esas aplicaciones, se prefieren las ventanas DFT-simétricas (longitud par o impar) de la familia Coseno-suma, porque la mayoría de sus coeficientes DFT tienen valor cero. , haciendo que la convolución sea muy eficiente. ^{[D] [1] : pág.85}

Algunas métricas de ventana

Comparación de la fuga espectral de varias funciones de ventana.

Al seleccionar una función de ventana adecuada para una aplicación, este gráfico comparativo puede resultar útil. El eje de frecuencia tiene unidades de "contenedores" de FFT cuando la ventana de longitud N se aplica a los datos y se calcula una transformada de longitud N. Por ejemplo, el valor en la frecuencia ½ "bin" es la respuesta que se mediría en los bins k y k  + 1 a una señal sinusoidal en la frecuencia k  + ½. Es relativo a la respuesta máxima posible, que ocurre cuando la frecuencia de la señal es un número entero de contenedores. El valor en la frecuencia ½ se conoce como pérdida máxima de festoneado de la ventana, que es una métrica utilizada para comparar ventanas. La ventana rectangular es notablemente peor que las demás en términos de esa métrica.

Otras métricas que se pueden ver son el ancho del lóbulo principal y el nivel máximo de los lóbulos laterales, que determinan respectivamente la capacidad de resolver señales de intensidad comparables y señales de intensidad dispares. La ventana rectangular (por ejemplo) es la mejor opción para lo primero y la peor opción para lo segundo. Lo que no se puede ver en los gráficos es que la ventana rectangular tiene el mejor ancho de banda de ruido, lo que la convierte en un buen candidato para detectar sinusoides de bajo nivel en un entorno que de otro modo sería ruido blanco . Se encuentran disponibles técnicas de interpolación, como el relleno de ceros y el cambio de frecuencia, para mitigar su posible pérdida por festoneado.

Ver también

• § Muestreo de la DTFT
• Efecto filo de cuchillo , análogo espacial del truncamiento
• fenómeno de gibbs

Notas

1. Matemáticamente, el ancho de banda equivalente al ruido de la función de transferencia H es el ancho de banda de un filtro rectangular ideal con la misma ganancia máxima que H que pasaría la misma potencia con entrada de ruido blanco . En las unidades de frecuencia f (por ejemplo, hercios ), viene dada por :

   ${\displaystyle B_{\text{noise}}={\frac {1}{|H(f)|_{\max }^{2}}}\int _{0}^{\infty }|H(f)|^{2}df.}$

2. Un ejemplo del efecto del truncamiento sobre la fuga espectral son las ventanas gaussianas en forma de figura. El gráfico denominado DTFT periódico8 es el DTFT de la ventana truncada denominada DFT periódico-par (ambas en azul). El gráfico verde etiquetado como DTFT simétrico9 corresponde a la misma ventana con su simetría restaurada. Las muestras DTFT, denominadas suma periódica DFT8 , son un ejemplo del uso de la suma periódica para muestrearlas en las mismas frecuencias que el gráfico azul.
3. A veces se necesitan un DFT con ventana y uno sin ventana (con ventana rectangular).
4. Por ejemplo, consulte las figuras DFT-ventana de Hann par y Longitud impar, DFT-ventana de Hann par, que muestran que la DFT de longitud de la secuencia generada por hann( ,'periódico') tiene solo tres valores distintos de cero. Todas las demás muestras coinciden con cruces por cero del DTFT. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Citas de página

1. Harris 1978, p.52, donde ${\displaystyle \Delta \omega \triangleq 2\pi \Delta f.}$
2. Nuttall 1981, p.85 (15a).

Referencias

1. Nuttall, Albert H. (febrero de 1981). "Algunas ventanas con muy buen comportamiento de los lóbulos laterales". Transacciones IEEE sobre acústica, voz y procesamiento de señales . 29 (1): 84–91. doi :10.1109/TASSP.1981.1163506. Amplía el artículo de Harris, cubriendo todas las funciones de ventana conocidas en ese momento, junto con comparaciones métricas clave.
2. Harris, Fredric J. (enero de 1978). «Sobre el uso de Windows para Análisis Armónicos con la Transformada Discreta de Fourier» (PDF) . Actas del IEEE . 66 (1): 51–83. Código Bib : 1978IEEEP..66...51H. CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . doi :10.1109/PROC.1978.10837. S2CID  426548.  El artículo fundamental de Harris de 1978 sobre ventanas FFT, que especificaba muchas ventanas e introducía métricas clave utilizadas para compararlas.
3. Carlson, A.Bruce (1986). Sistemas de comunicación: introducción a las señales y el ruido en las comunicaciones eléctricas. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-009960-9.
4. "Ventana Hann (Hanning) - MATLAB hann". www.mathworks.com . Consultado el 12 de febrero de 2020 .
5. "Función de ventana". www.mathworks.com . Consultado el 14 de abril de 2019 .
6. Robertson, Neil (18 de diciembre de 2018). "Evaluar funciones de ventana para la transformada de Fourier discreta". DSPRelated.com . El grupo de medios relacionados . Consultado el 9 de agosto de 2020 .Revisado el 22 de febrero de 2020.
7. "Matlab para la ventana Hann". ccrma.stanford.edu . Consultado el 1 de septiembre de 2020 .
8. Rohling, H.; Schuermann, J. (marzo de 1983). "Funciones de ventana de tiempo discreta con un nivel de lóbulo lateral arbitrariamente bajo". Procesamiento de la señal . 5 (2). Forschungsinstitut Ulm, Sedanstr, Alemania: AEG-Telefunken: 127–138. doi :10.1016/0165-1684(83)90019-1 . Consultado el 8 de agosto de 2020 . Se puede demostrar que la técnica de muestreo par DFT propuesta por Harris no es la más adecuada.
9. Heinzel, G.; Rüdiger, A.; Schilling, R. (2002). Estimación de espectro y densidad espectral mediante la transformada discreta de Fourier (DFT), incluida una lista completa de funciones de ventana y algunas ventanas planas nuevas (informe técnico). Instituto Max Planck (MPI) para física de gravitaciones / interferometría láser y astronomía de ondas gravitacionales. 395068,0 . Consultado el 10 de febrero de 2013 .También disponible en https://pure.mpg.de/rest/items/item_152164_1/component/file_152163/content
10. Lyons, Richard (1 de junio de 1998). "Las funciones de ventanas mejoran los resultados de FFT". EDN . Sunnyvale, California: TRW . Consultado el 8 de agosto de 2020 .
11. Fulton, Trevor (4 de marzo de 2008). "Caja de herramientas de transformación numérica DP". herschel.esac.esa.int . Procesamiento de datos de Herschel . Consultado el 8 de agosto de 2020 .
12. Poularikas, ANUNCIO (1999). "7.3.1". En Poularikas, Alexander D. (ed.). El manual de fórmulas y tablas para el procesamiento de señales (PDF) . Boca Ratón: CRC Press LLC. ISBN 0849385792. Consultado el 8 de agosto de 2020 . Las ventanas son secuencias pares (sobre el origen) con un número impar de puntos. Se descartará el punto más a la derecha de la ventana.
13. Puckette, Miller (30 de diciembre de 2006). "Análisis de Fourier de señales no periódicas". msp.ucsd.edu . Universidad de California en San Diego . Consultado el 9 de agosto de 2020 .
14. Patente estadounidense 6898235, Carlin, Joe; Collins, Terry & Hays, Peter et al., "Dispositivo de búsqueda de dirección y interceptación de comunicación de banda ancha mediante hipercanalización", publicado el 10 de diciembre de 1999, publicado el 24 de mayo de 2005 , también disponible en https://patentimages.storage.googleapis. com/4d/39/2a/cec2ae6f33c1e7/US6898235.pdf