Filtro "L" óptimo

El filtro Optimum "L" (también conocido como filtro Legendre-Papoulis ) fue propuesto por Athanasios Papoulis en 1958. Tiene la tasa de atenuación máxima para un orden de filtro determinado mientras mantiene una respuesta de frecuencia monótona . Proporciona un compromiso entre el filtro Butterworth , que es monótono pero tiene una caída más lenta, y el filtro Chebyshev , que tiene una caída más rápida pero tiene ondulación en la banda de paso o en la banda de parada . El diseño del filtro se basa en polinomios de Legendre , de ahí su nombre alternativo y la "L" en Optimum "L".

Sintetizando los polinomios característicos.

La solución a la síntesis del polinomio característico del filtro L óptimo de orden N surge de resolver el polinomio característico, dadas las siguientes restricciones y definiciones. ^[1] $L_{N}(\omega ^{2})$

${\begin{aligned}&L_{N}(0)=0\\&L(1)=1\\&{dL_{N}(\omega ^{2}) \over d\omega }\geq {\text{ 0 for 0 }}\leq \omega \leq 1\\&{dL_{N}(\omega ^{2}) \over d\omega }{\biggr |}_{\omega =1}{\text{ is maximum}}\\\end{aligned}}$

El caso de orden impar ^[2] y el caso de orden par ^[1] pueden resolverse utilizando polinomios de Legendre de la siguiente manera.

${\begin{aligned}&{\text{N Odd:}}\\&L_{N}(\omega ^{2})={\frac {2}{N+1}}\int _{-1}^{2\omega ^{2}-1}{\bigg (}\sum _{i=0}^{i=k}a_{i}P_{i}(x){\bigg )}^{2}dx\\&{\text{Where}}\\&P_{i}(x){\text{ is the Legendre polynomial of the first kind of order i}}\\&k={\frac {N-1}{2}}\\&a_{i}={\frac {2i+1}{\sqrt {2(k+1)}}}\\&\\&\\&{\text{N Even:}}\\&L_{N}(\omega ^{2})=\int _{-1}^{2\omega ^{2}-1}(x+1){\bigg (}\sum _{i=0}^{i=k}a_{i}P_{i}(x){\bigg )}^{2}dx\\&{\text{Where}}\\&k={\frac {N-2}{2}}\\&a_{i}={\begin{cases}{\frac {2i+1}{\sqrt {(k+2)(k+1)}}},&{\text{if }}i{\text{ is odd and }}k{\text{ is odd OR }}i{\text{ is even and }}k{\text{ is even}}\\0,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\\\end{aligned}}$

Respuesta de frecuencia y función de transferencia.

La magnitud de la frecuencia de magnitud se crea utilizando la siguiente fórmula. Dado que la función característica "L" óptima ya está en forma cuadrada, no se debe volver a elevar al cuadrado como se hace con otros tipos de filtro, como los filtros Chebyshev y los filtros Butterworth .

${\begin{aligned}&T(\omega )={\sqrt {\frac {1}{1+\epsilon ^{2}L_{N}(\omega ^{2})}}}\\&\epsilon ^{2}=10^{|\delta |/10}-1.\\&\delta ={\text{magnitude attenuation of the passband in dB, usually 3.0103}}\\\end{aligned}}$

Para obtener la función de transferencia, haga que todos los coeficientes sean positivos para tener en cuenta el eje de frecuencia y luego use los polos del semiplano izquierdo para construir . Tenga en cuenta que es +1 para N par y -1 para N impar (consulte la tabla a continuación). El signo de debe factorizarse en las ecuaciones que se detallan a continuación. ^[3]^[4] $T(j\omega )$ $L_{N}(\omega ^{2})$ $j\omega$ $T(j\omega )$ $L_{N}((j\omega )^{2})$ $L_{N}(\omega ^{2})$ $L_{N}((j\omega )^{2})$ $T(j\omega )$

${\begin{aligned}&T(j\omega )={\sqrt {\frac {1}{a+\epsilon ^{2}L_{N}((j\omega )^{2})}}}{\bigg |}_{\text{Left half plane}}\\&{\text{Where:}}\\&a={\begin{cases}1,&{\text{if }}N{\text{ is even}}\\-1,&{\text{if }}N{\text{ is odd}}\end{cases}}\\&\epsilon ^{2}=10^{|\delta |/10}-1.\\&\delta ={\text{magnitude attenuation of the passband in dB, usually 3.010}}\\\end{aligned}}$

La restricción "Medio plano izquierdo" se refiere a encontrar las raíces en todos los polinomios contenidos entre paréntesis, seleccionar solo raíces en el semiplano izquierdo y recrear los polinomios a partir de esas raíces.

Ejemplo: función de transferencia de cuarto orden

N = 4 (cuarto orden), atenuación de banda de paso = -3,010 a 1 r/s.

Un filtro de cuarto orden tiene un valor para k de 1, que es impar, por lo que la suma usa solo valores impares de i para y , que incluye solo el término i=1 en la suma. $a_{i}$ $P_{i}(x)$

La función de transferencia, , se puede derivar de la siguiente manera: $T_{4}(j\omega )$

${\begin{aligned}&k={\frac {N-2}{2}}=1{\text{ (}}k{\text{ is odd)}}\\&a_{1}={\frac {2(1)+1}{\sqrt {((1)+2)((1)+1)}}}=1.2247449\\&P_{1}(x)=x\\&(x+1){\bigg (}\sum _{i=0}^{i=k}a_{i}P_{i}(x){\bigg )}^{2}=(x+1){\bigr (}1.2247449(x){\bigr )}^{2}=1.5x^{3}+1.5x^{2}\\&L_{4}(x^{2})=\int _{-1}^{2x^{2}-1}1.5x^{3}+1.5x^{2}{\text{ }}dx=6x^{8}-8x^{6}+3x^{4}\\&L_{4}(x^{2})=6x^{8}-8x^{6}+3x^{4}\\&L_{4}(j\omega ^{2})=6(j\omega )^{8}+8(j\omega )^{6}+3(j\omega )^{4}\\&echo={\sqrt {\epsilon ^{3.0103/10}-1}}=1\\&T_{4}(j\omega )={\bigg [}{\frac {1}{1+1^{2}(6(j\omega )^{8}+8(j\omega )^{6}+3(j\omega )^{4})}}{\bigg ]}_{\text{Left Half Plane}}\\&\\&T_{4}(j\omega )={\frac {1}{2.4494897(j\omega )^{4}+3.8282201(j\omega )^{3}+4.6244874(j\omega )^{2}+3.0412127(j\omega )+1}}\end{aligned}}$

Una rápida comprobación de cordura calcula un valor de -3,0103 dB, que es lo esperado. $T_{4}(j)$

Tabla de los primeros 10 polinomios característicos

La tabla se calcula a partir de las ecuaciones anteriores para $L_{N}(\omega ^{2})$

Ver también

Referencias

^ ab Fukada, Minoru (septiembre de 1959). "Filtros óptimos de órdenes pares con respuesta monótona". Transacciones IRE sobre teoría de circuitos . 6 (3): 277–281. doi :10.1109/TCT.1959.1086558 – vía IEEE Xplore.
^ Papoulis, Athanasios (marzo de 1958). "Filtros óptimos con respuesta monótona". Actas del IRE . 46 (3): 606–609. doi :10.1109/JRPROC.1958.286876 – vía IEEE Xplore.
^ Notas de la conferencia sobre diseño de filtros del Dr. Byron Bennett, 1985, Universidad Estatal de Montana, Departamento de EE, Bozeman , Montana, EE. UU.
^ Sedra, Adel S.; Brackett, Peter O. (1978). Teoría y diseño de filtros: activos y pasivos. Beaverton, Oegon, EE. UU.: Matrix Publishers, Inc. págs. ISBN 978-0916460143.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)

Papoulis, Atanasio (1958). "Filtros óptimos con respuesta monótona". Proc. IRE . 46 (marzo): 606–609. doi :10.1109/JRPROC.1958.286876.
Kuo, Franklin F. (1966). Análisis y Síntesis de Redes . Wiley. ISBN 0-471-51118-8.Segunda edicion.
Filtros “L” óptimos: polinomios, polos y elementos de circuito por C. Bond, 2004
Notas sobre los filtros “L” (óptimos) de C. Bond, 2011