ecuaciones del telégrafo

Descripciones matemáticas del voltaje y la corriente de la línea de transmisión.

Las ecuaciones del telégrafo (o simplemente ecuaciones del telégrafo ) son un conjunto de dos ecuaciones lineales acopladas que predicen las distribuciones de voltaje y corriente en una línea de transmisión eléctrica lineal . Las ecuaciones son importantes porque permiten analizar las líneas de transmisión utilizando la teoría de circuitos . ^[1] Las ecuaciones y sus soluciones son aplicables desde 0 Hz (es decir, corriente continua) hasta frecuencias en las que la estructura de la línea de transmisión puede admitir modos no TEM de orden superior . ^{[2] : 282–286} Las ecuaciones se pueden expresar tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia . En el dominio del tiempo las variables independientes son la distancia y el tiempo. Las ecuaciones resultantes en el dominio del tiempo son ecuaciones diferenciales parciales tanto de tiempo como de distancia. En el dominio de la frecuencia , las variables independientes son la distancia y la frecuencia , o la frecuencia compleja . Las variables en el dominio de la frecuencia pueden tomarse como la transformada de Laplace o la transformada de Fourier de las variables en el dominio del tiempo o pueden tomarse como fasores . Las ecuaciones resultantes en el dominio de la frecuencia son ecuaciones diferenciales ordinarias de distancia. Una ventaja del enfoque en el dominio de la frecuencia es que los operadores diferenciales en el dominio del tiempo se convierten en operaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle s}$

Las ecuaciones provienen de Oliver Heaviside , quien desarrolló el modelo de línea de transmisión a partir de un artículo de agosto de 1876, On the Extra Current . ^[3] El modelo demuestra que las ondas electromagnéticas pueden reflejarse en el cable y que se pueden formar patrones de ondas a lo largo de la línea. Desarrollada originalmente para describir cables telegráficos , la teoría también se puede aplicar a conductores de radiofrecuencia , audiofrecuencia (como líneas telefónicas ), baja frecuencia (como líneas eléctricas) y pulsos de corriente continua .

Componentes distribuidos

Representación esquemática de los componentes elementales de una línea de transmisión.

Las ecuaciones del telegrafista, como todas las demás ecuaciones que describen fenómenos eléctricos, resultan de las ecuaciones de Maxwell . En un enfoque más práctico, se supone que los conductores están compuestos por una serie infinita de componentes elementales de dos puertos , cada uno de los cuales representa un segmento infinitamente corto de la línea de transmisión:

• La resistencia distribuida de los conductores está representada por una resistencia en serie (expresada en ohmios por unidad de longitud). En conductores prácticos, a frecuencias más altas, los aumentos son aproximadamente proporcionales a la raíz cuadrada de la frecuencia debido al efecto piel . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$
• La inductancia distribuida (debida al campo magnético alrededor de los cables, autoinductancia , etc.) está representada por un inductor en serie ( henrios por unidad de longitud). ${\displaystyle L}$
• La capacitancia entre los dos conductores está representada por un condensador en derivación ( faradios por unidad de longitud). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$
• La conductancia del material dieléctrico que separa los dos conductores está representada por una resistencia en derivación entre el cable de señal y el cable de retorno ( siemens por unidad de longitud). Esta resistencia en el modelo tiene una resistencia de . representa tanto la conductividad total del dieléctrico como la pérdida dieléctrica . Si el dieléctrico es un vacío ideal, entonces . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R_{\text{shunt}}={\frac {1}{G}}\,\mathrm {ohms} }$ ${\displaystyle \ G\ }$ ${\displaystyle G\equiv 0\,}$

El modelo consta de una serie infinita de elementos infinitesimales que se muestran en la figura, y los valores de los componentes se especifican por unidad de longitud, por lo que la imagen del componente puede ser engañosa. Una notación alternativa es usar , , y enfatizar que los valores son derivados con respecto a la longitud y que las unidades de medida se combinan correctamente. Estas cantidades también pueden conocerse como constantes de línea primaria para distinguirlas de las constantes de línea secundaria derivadas de ellas, siendo estas la impedancia característica , la constante de propagación , la constante de atenuación y la constante de fase . Todas estas constantes son constantes con respecto al tiempo, el voltaje y la corriente. Pueden ser funciones de frecuencia no constantes. ${\displaystyle R'}$ ${\displaystyle L'}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle G'}$

Papel de los diferentes componentes.

Esquema que muestra una onda que fluye hacia la derecha por una línea de transmisión sin pérdidas. Los puntos negros representan electrones y las flechas muestran el campo eléctrico.

El papel de los diferentes componentes se puede visualizar según la animación de la derecha.

Inductancia L

La inductancia acopla la corriente con la energía almacenada en el campo magnético. Hace que parezca que la corriente tiene inercia , es decir, con una inductancia grande, es difícil aumentar o disminuir el flujo de corriente en un punto determinado. Una inductancia grande L hace que la onda se mueva más lentamente, del mismo modo que las ondas viajan más lentamente por una cuerda pesada que por una cuerda liviana. Una inductancia grande también aumenta la impedancia de sobretensión de la línea ( se necesita más voltaje para impulsar la misma corriente CA a través de la línea).

Capacitancia C

La capacitancia acopla el voltaje a la energía almacenada en el campo eléctrico. Controla en qué medida los electrones agrupados dentro de cada conductor repelen, atraen o desvían los electrones del otro conductor. Al desviar algunos de estos electrones agrupados, se reducen la velocidad de la onda y su fuerza (voltaje). Con una capacitancia mayor, C , hay menos repulsión, porque la otra línea (que siempre tiene la carga opuesta) anula parcialmente estas fuerzas repulsivas dentro de cada conductor. Una capacitancia mayor equivale a fuerzas de restauración más débiles , lo que hace que la onda se mueva ligeramente más lenta y también le da a la línea de transmisión una impedancia de sobretensión más baja ( se necesita menos voltaje para impulsar la misma corriente CA a través de la línea).

Resistencia R

La resistencia corresponde a la resistencia interior de las dos líneas combinadas. Esa resistencia R acopla la corriente a las pérdidas óhmicas que reducen un poco el voltaje a lo largo de la línea a medida que el calor se deposita en el conductor, dejando la corriente sin cambios. Generalmente, la resistencia de la línea es muy baja, en comparación con la reactancia inductiva ωL en radiofrecuencias, y por simplicidad se trata como si fuera cero, con cualquier disipación de voltaje o calentamiento del cable contabilizado como correcciones al cálculo de la "línea sin pérdidas", o simplemente ignorado.

Conductancia G

La conductancia entre las líneas representa qué tan bien la corriente puede "fugarse" de una línea a la otra. La conductancia acopla el voltaje con la pérdida dieléctrica depositada como calor en cualquier cosa que sirva como aislamiento entre los dos conductores. G reduce la corriente que se propaga desviándola entre los conductores. Generalmente, el aislamiento del cable (incluido el aire) es bastante bueno y la conductancia es casi nula en comparación con la susceptancia capacitiva ωC y, por simplicidad, se trata como si fuera cero.

Los cuatro parámetros L , C , R y G dependen del material utilizado para construir el cable o la línea de alimentación. Los cuatro cambian con la frecuencia: R y G tienden a aumentar para frecuencias más altas, y L y C tienden a disminuir a medida que aumenta la frecuencia. La figura de la derecha muestra una línea de transmisión sin pérdidas, donde tanto R como G son cero, que es la forma más simple y, con mucho, más común de las ecuaciones del telegrafista utilizadas, pero ligeramente poco realista (especialmente con respecto a R ).

Valores de parámetros primarios para cable telefónico.

Datos de parámetros representativos para cable telefónico aislado con polietileno (PIC) de calibre 24 a 70 °F (294 K)

Estos datos son de Reeve (1995). ^[4] La variación de y se debe principalmente al efecto piel y al efecto proximidad . La constancia de la capacitancia es consecuencia de un diseño intencional. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$

La variación de G se puede inferir de Terman: "El factor de potencia... tiende a ser independiente de la frecuencia, ya que la fracción de energía perdida durante cada ciclo... es sustancialmente independiente del número de ciclos por segundo en amplios rangos de frecuencia". ". ^[5] Una función de la forma

$${\displaystyle G(f)=G_{1}\cdot \left({\frac {f}{f_{1}}}\right)^{g_{\mathrm {e} }}}$$

^[6]G (·)y ${\displaystyle g_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle G_{1},\,f_{1}}$ ${\displaystyle g_{e}}$

Por lo general, las pérdidas resistivas crecen proporcionalmente y las pérdidas dieléctricas crecen proporcionalmente, por lo que a una frecuencia suficientemente alta, las pérdidas dieléctricas excederán las pérdidas resistivas. En la práctica, antes de llegar a ese punto, se utiliza una línea de transmisión con mejor dieléctrico. En cables coaxiales rígidos de larga distancia , para obtener pérdidas dieléctricas muy bajas, el dieléctrico sólido puede reemplazarse por aire con espaciadores de plástico a intervalos para mantener el conductor central en el eje. ${\displaystyle f^{1/2}}$ ${\displaystyle f^{g_{\mathrm {e} }}}$ ${\displaystyle g_{\mathrm {e} }\approx 1}$

las ecuaciones

Dominio del tiempo

Las ecuaciones del telégrafo en el dominio del tiempo son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)&=-L\,{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t)\\[1ex]{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)&=-C\,{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)-GV(x,t)\end{aligned}}}$$

Se pueden combinar para obtener dos ecuaciones diferenciales parciales, cada una con una sola variable dependiente, ya sea o : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V(x,t)-LC\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}V(x,t)&=\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)+GR\,V(x,t)\\[1ex]{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}I(x,t)-LC\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}I(x,t)&=\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)+GR\,I(x,t)\end{aligned}}}$$

Excepto por la variable dependiente ( o ), las fórmulas son idénticas. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$

Dominio de la frecuencia

Las ecuaciones del telegrafista en el dominio de la frecuencia se desarrollan de forma similar en las siguientes referencias: Kraus, ^[7] Hayt, ^[1] Marshall, ^{[8] : 59–378} Sadiku, ^{[9] : 497–505} Harrington, ^[10] Karakash, ^[11] Metzger. ^[12]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {V} _{\omega }(x)&=-\left(j\omega L_{\omega }+R_{\omega }\right)\mathbf {I} _{\omega }(x),\\[1ex]{\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {I} _{\omega }(x)&=-\left(j\omega C_{\omega }+G_{\omega }\right)\mathbf {V} _{\omega }(x).\end{aligned}}}$$

eldisminuyelaimpedancia en serie .ladisminuyeeladmitancia en derivación . ${\displaystyle \mathbf {V} _{\omega }(x)\,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{\omega }(x)\,}$ ${\displaystyle R+j\omega L}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{\omega }(x)\,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {V} _{\omega }(x)\,}$ ${\displaystyle G+j\omega C\,}$

El subíndice ω indica una posible dependencia de la frecuencia. y son fasores . ${\displaystyle \mathbf {I} _{\omega }(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {V} _{\omega }(x)}$

Estas ecuaciones se pueden combinar para producir dos ecuaciones diferenciales parciales de una sola variable .

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\mathbf {V} _{\omega }(x)&=\gamma ^{2}\mathbf {V} _{\omega }(x)\\[1ex]{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\mathbf {I} _{\omega }(x)&=\gamma ^{2}\mathbf {I} _{\omega }(x)\end{aligned}}}$$

^{[1] : 385}constante de atenuaciónconstante de fase ${\textstyle \gamma \equiv \alpha +j\beta \equiv {\sqrt {\left(R_{\omega }+j\omega L_{\omega }\right)\left(G_{\omega }+j\omega C_{\omega }\right)}}}$
${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Soluciones homogéneas

Cada una de las ecuaciones diferenciales parciales anteriores tiene dos soluciones homogéneas en una línea de transmisión infinita.

Para la ecuación de voltaje

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} _{\omega ,F}(x)=\mathbf {V} _{\omega ,F}(a)\,e^{+\gamma (a-x)}\,;\\[1ex]\mathbf {V} _{\omega ,R}(x)=\mathbf {V} _{\omega ,R}(b)\,e^{-\gamma (b-x)}\,;\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {V} _{\omega }(x)=\mathbf {V} _{\omega ,F}(x)+\mathbf {V} _{\omega ,R}(x)\,.}$$

Para la ecuación actual

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} _{\omega ,F}(x)=\mathbf {I} _{\omega ,F}(a)\,e^{+\gamma (a-x)}\,;\\\mathbf {I} _{\omega ,R}(x)=\mathbf {I} _{\omega ,R}(b)\,e^{-\gamma (b-x)}\,;\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {I} _{\omega }(x)=\mathbf {I} _{\omega ,F}(x)-\mathbf {I} _{\omega ,R}(x)\,.}$$

El signo negativo en la ecuación anterior indica que la corriente en la onda inversa viaja en la dirección opuesta.

Nota:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} _{\omega ,F}(x)=\mathbf {Z} _{c}\,\mathbf {I} _{\omega ,F}(x),\\[0.4ex]\mathbf {V} _{\omega ,R}(x)=\mathbf {Z} _{c}\,\mathbf {I} _{\omega ,R}(x),\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {Z} _{c}={\sqrt {\frac {R_{\omega }+j\omega L_{\omega }}{G_{\omega }+j\omega C_{\omega }}}}\,,}$$

Longitud finita

Línea de transmisión coaxial con una fuente y una carga.

Johnson da la siguiente solución, ^{[2] : 739–741}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {V} _{\mathsf {L}}}{\mathbf {V} _{\mathsf {S}}}}&=\left[\left({\frac {\mathbf {H} ^{-1}+\mathbf {H} }{2}}\right)\left(1+{\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}}{\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}}}\right)+\left({\frac {\mathbf {H} ^{-1}-\mathbf {H} }{2}}\right)\left({\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}}{\mathbf {\mathbf {Z} } _{\mathsf {C}}}}+{\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {C}}}{\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}}}\right)\right]^{-1}\\[2ex]&={\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}\mathbf {Z} _{\mathsf {C}}}{\mathbf {Z} _{\mathsf {C}}\left(\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}+\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}\right)\cosh \left({\boldsymbol {\gamma }}x\right)+\left(\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}+\mathbf {Z} _{\mathsf {C}}^{2}\right)\sinh \left({\boldsymbol {\gamma }}x\right)}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \mathbf {H} \equiv e^{-{\boldsymbol {\gamma }}x},}$ ${\displaystyle x}$

En el caso especial donde todas las impedancias son iguales, la solución se reduce a . ${\displaystyle \mathbf {Z} _{\mathsf {L}}=\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}=\mathbf {Z} _{\mathsf {C}},}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbf {V} _{\mathsf {L}}}{\mathbf {V} _{\mathsf {S}}}}={\frac {1}{2}}e^{-{\boldsymbol {\gamma }}x}\,}$

Transmisión sin pérdidas

Cuando y , se pueden despreciar la resistencia del cable y la conductancia del aislamiento, y la línea de transmisión se considera una estructura ideal sin pérdidas. En este caso, el modelo depende únicamente de los elementos L y C. Las ecuaciones del telegrafista describen entonces la relación entre el voltaje V y la corriente I a lo largo de la línea de transmisión, cada una de las cuales es función de la posición x y el tiempo t : ${\displaystyle \omega L\gg R}$ ${\displaystyle \omega C\gg G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V(x,t)\\[.5ex]I&=I(x,t)\end{aligned}}}$$

Las ecuaciones para líneas de transmisión sin pérdidas.

Las ecuaciones en sí constan de un par de ecuaciones diferenciales parciales acopladas de primer orden . La primera ecuación muestra que el voltaje inducido está relacionado con la tasa de cambio en el tiempo de la corriente a través de la inductancia del cable, mientras que la segunda muestra, de manera similar, que la corriente consumida por la capacitancia del cable está relacionada con la tasa de cambio en el tiempo. cambio del voltaje.

$${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x}}=-L{\frac {\partial I}{\partial t}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial x}}=-C{\frac {\partial V}{\partial t}}}$$

Estas ecuaciones se pueden combinar para formar dos ecuaciones de onda exactas , una para el voltaje y la otra para la corriente : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}-{\tilde {v}}^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}&=0\\[1ex]{\frac {\partial ^{2}I}{\partial t^{2}}}-{\tilde {v}}^{2}{\frac {\partial ^{2}I}{\partial x^{2}}}&=0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\tilde {v}}\equiv {\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$$

Estado estacionario sinusoidal

En el caso de estado estacionario sinusoidal (es decir, cuando se aplica un voltaje sinusoidal puro y los transitorios han cesado), el voltaje y la corriente toman la forma de ondas sinusoidales de un solo tono:

$${\displaystyle {\begin{aligned}V(x,t)&={\mathcal {R_{e}}}{\bigl \{}V(x)\,e^{j\omega t}{\bigr \}}\,,\\[1ex]I(x,t)&={\mathcal {R_{e}}}{\bigl \{}I(x)\,e^{j\omega t}{\bigr \}}\,,\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dV}{dx}}=-j\omega LI=-L{\frac {dI}{dt}}\\[1ex]{\frac {dI}{dx}}=-j\omega CV=-C{\frac {dV}{dt}}\end{aligned}}}$$

Asimismo, las ecuaciones de onda se reducen a

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}V}{dx^{2}}}+k^{2}V&=0\\[1ex]{\frac {d^{2}I}{dx^{2}}}+k^{2}I&=0\\[1ex]\end{aligned}}}$$

k

$${\displaystyle k\equiv \omega {\sqrt {LC}}={\frac {\omega }{\tilde {v}}}.}$$

Cada una de estas dos ecuaciones tiene la forma de ecuación de Helmholtz unidimensional .

En el caso sin pérdidas, es posible demostrar que

$${\displaystyle V(x)=V_{1}\,e^{-jkx}+V_{2}\,e^{+jkx}}$$

$${\displaystyle I(x)={\frac {V_{1}}{Z_{\mathsf {o}}}}\,e^{-jkx}-{\frac {V_{2}}{Z_{\mathsf {o}}}}\,e^{+jkx}}$$

impedancia característica ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Z_{\mathsf {o}}}$

$${\displaystyle Z_{\mathsf {o}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}}$$

condiciones de contorno ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$

Esta impedancia no cambia a lo largo de la línea ya que L y C son constantes en cualquier punto de la línea, siempre que la geometría de la sección transversal de la línea permanezca constante.

La línea sin pérdidas y la línea sin distorsión se analizan en Sadiku (1989) ^{[9] : 501–503} y Marshall (1987) . ^{[8] : 369–372} harvp error: no target: CITEREFMarshall1987 (help)

Caso sin pérdidas, solución general

En el caso sin pérdidas ( ), ${\displaystyle R=G=0}$ la solución más general de la ecuación de onda para el voltaje es la suma de una onda viajera hacia adelante y una onda viajera hacia atrás:

$${\displaystyle V(x,t)=f_{1}(x-{\tilde {v}}t)+f_{2}(x+{\tilde {v}}t)}$$

• ${\displaystyle f_{1}}$y pueden ser dos funciones analíticas cualesquiera , y ${\displaystyle f_{2}}$
• ${\displaystyle {\tilde {v}}\equiv {\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$es la velocidad de propagación de la forma de onda (también conocida como velocidad de fase ).

Aquí, representa el perfil de amplitud de una onda que viaja de izquierda a derecha (en dirección positiva), mientras que representa el perfil de amplitud de una onda que viaja de derecha a izquierda. Se puede observar que el voltaje instantáneo en cualquier punto de la línea es la suma de los voltajes debidos a ambas ondas. ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle x}$

Usando las relaciones de corriente y voltaje dadas por las ecuaciones del telégrafo, podemos escribir ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle I(x,t)={\frac {1}{Z_{\mathsf {o}}}}{\Bigl [}f_{1}(x-{\tilde {v}}t)-f_{2}(x+{\tilde {v}}t){\Bigr ]}\,.}$$

Línea de transmisión con pérdidas

En presencia de pérdidas, la solución de la ecuación del telégrafo tiene tanto amortiguamiento como dispersión, como se ve cuando se compara con la solución de una ecuación de onda sin pérdidas.

Cuando los elementos de pérdida y son demasiado sustanciales para ignorarlos, las ecuaciones diferenciales que describen el segmento elemental de línea son ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)&=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-R\,I(x,t)\,,\\[6pt]{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)&=-C{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)-G\,V(x,t)\,.\end{aligned}}}$$

Al diferenciar ambas ecuaciones con respecto a x y algo de álgebra, obtenemos un par de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas, cada una de las cuales involucra solo una incógnita:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V&=LC{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}V+\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}V+GRV,\\[6pt]{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}I&=LC{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}I+\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}I+GRI.\end{aligned}}}$$

Estas ecuaciones se parecen a la ecuación de onda homogénea con términos adicionales en V e I y sus primeras derivadas. Estos términos adicionales hacen que la señal decaiga y se extienda con el tiempo y la distancia. Si la línea de transmisión tiene solo una ligera pérdida ( ${\displaystyle R\ll \omega L}$ y ), la intensidad de la señal disminuirá con la distancia como donde . ^[13] ${\displaystyle G\ll \omega C}$ ${\displaystyle e^{-\alpha x}}$ ${\displaystyle \alpha \approx {\frac {R}{2Z_{0}}}+{\frac {GZ_{0}}{2}}~}$

Soluciones de las ecuaciones del telegrafista como componentes del circuito.

Circuito equivalente de una línea de transmisión no balanceada (como un cable coaxial) donde: 2/ Z _o es la transadmitancia de VCCS (fuente de corriente controlada por voltaje), x es la longitud de la línea de transmisión, Z ( s ) ≡ Z _o ( s ) es la impedancia característica, T ( s ) es la función de propagación, γ ( s ) es la "constante" de propagación, s ≡ j ω y j ² ≡ −1 .

Las soluciones de las ecuaciones del telegrafista se pueden insertar directamente en un circuito como componentes. El circuito de la figura implementa las soluciones de las ecuaciones del telegrafista. ^[14]

La solución de las ecuaciones del telegrafista se puede expresar como una red ABCD de dos puertos con las siguientes ecuaciones definitorias ^{[11] : 5–14, 44}

$${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}&=V_{2}\cosh(\gamma x)+I_{2}Z_{\mathsf {o}}\sinh(\gamma x)\,,\\[1ex]I_{1}&={\frac {V_{2}}{Z_{\mathsf {o}}}}\sinh(\gamma x)+I_{2}\cosh(\gamma x)\,.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle Z_{\mathsf {o}}\equiv {\sqrt {\frac {R_{\omega }+j\omega L_{\omega }}{G_{\omega }+j\omega C_{\omega }}}},}$$

$${\displaystyle \gamma \equiv {\sqrt {\left(R_{\omega }+j\omega L_{\omega }\right)\left(G_{\omega }+j\omega C_{\omega }\right)}},}$$

R _ωL _ωG _ωC _ωω

El tipo ABCD de dos puertos proporciona y como funciones de y . Las relaciones de voltaje y corriente son simétricas: ambas ecuaciones mostradas arriba, cuando se resuelven para y como funciones de y producen exactamente las mismas relaciones, simplemente con los subíndices "1" y "2" invertidos y los signos de los términos hechos negativos (" La dirección 1"→"2" se invierte "1"←"2", de ahí el cambio de signo). ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle I_{2}\,}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle \sinh }$

Cada línea de transmisión balanceada o de dos hilos tiene un tercer cable implícito (o en algunos casos explícito) que se llama blindaje , funda, común, tierra o tierra. Entonces, cada línea de transmisión balanceada de dos hilos tiene dos modos que nominalmente se denominan modo diferencial y modo común . El circuito que se muestra en el diagrama inferior solo puede modelar el modo diferencial.

En el circuito superior, los duplicadores de voltaje, los amplificadores diferenciales y las impedancias Z _o ( s ) explican la interacción de la línea de transmisión con el circuito externo. Este circuito es un equivalente útil para una línea de transmisión no balanceada como un cable coaxial .

Estos no son únicos: son posibles otros circuitos equivalentes.

Ver también

• Reflexiones de señales en líneas conductoras.
• Ley de los cuadrados , trabajo preliminar de Lord Kelvin sobre este tema

Referencias

1. Hayt, William H. (1989). Ingeniería Electromagnética (5ª ed.). McGraw-Hill. págs. 381–392. ISBN 0070274061– a través de Internet Archive (archive.org).
2. Johnson, Howard; Graham, Martín (2003). Propagación de señales de alta velocidad (1ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-084408-X.
3. Caza, Bruce J. (2005). Los maxwellianos . Ithaca, Nueva York, Estados Unidos: Cornell University Press . págs. 66–67. ISBN 0-80148234-8.
4. Reeve, Whitman D. (1995). Manual de transmisión y señalización de bucle de abonado. Prensa IEEE . pag. 558.ISBN​ 0-7803-0440-3.
5. Terman, Frederick Emmons (1943). Manual de ingenieros de radio (1ª ed.). McGraw-Hill . pag. 112.
6. Chen, Walter Y. (2004). Conceptos básicos de redes domésticas . Prentice Hall . pag. 26.ISBN​ 0-13-016511-5.
7. Kraus, John D. (1984). Electromagnética (3ª ed.). McGraw-Hill. págs. 380–419. ISBN 0-07-035423-5.
8. Marshall, Stanley V.; Skitek, Gabriel G. (1987). Conceptos y aplicaciones electromagnéticos (2ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-249004-8.
9. Sadiku, Mateo NO (1989). Elementos de electromagnética (1ª ed.). Publicaciones de Saunders College. ISBN 0-03-013484-6.
10. Harrington, Roger F. (1961). Campos electromagnéticos armónicos de tiempo (1ª ed.). McGraw-Hill. págs. 61–65. ISBN 0-07-026745-6.
11. Karakash, John J. (1950). Líneas de transmisión y redes de filtros (1ª ed.). Macmillan. págs. 5-14.
12. Metzger, Georges; Vabre, Jean-Paul (1969). Líneas de transmisión con excitación por pulsos (1ª ed.). Prensa académica. págs. 1–10. LCCN  69-18342.
13. Miano, Giovanni; Maffucci, Antonio (2001). Líneas de Transmisión y Circuitos Agrupados . Prensa académica . pag. 130.ISBN​ 0-12-189710-9.El libro utiliza el símbolo μ en lugar de α .
14. McCammon, Roy (junio de 2010). "Simulación SPICE de líneas de transmisión mediante el método del telégrafo" (PDF) . cmpnet.com . Línea de diseño RF . Consultado el 22 de octubre de 2010 ;también = microondas-rf-design "Parte 1 de 3". Simulación SPICE de líneas de transmisión por el método del telegrafista . Diseño de microondas y RF: a través de EE Times . {{cite book}}: Comprobar |section-url=valor ( ayuda )