La relatividad numérica es una de las ramas de la relatividad general que utiliza métodos y algoritmos numéricos para resolver y analizar problemas. Con este fin, a menudo se emplean supercomputadores para estudiar agujeros negros , ondas gravitacionales , estrellas de neutrones y muchos otros fenómenos descritos por la teoría de la relatividad general de Einstein . Un campo de investigación actualmente activo en relatividad numérica es la simulación de binarias relativistas y sus ondas gravitacionales asociadas.
Un objetivo principal de la relatividad numérica es estudiar los espacios-tiempos cuya forma exacta se desconoce. Los espacio-tiempos así encontrados computacionalmente pueden ser completamente dinámicos , estacionarios o estáticos y pueden contener campos de materia o vacío. En el caso de soluciones estacionarias y estáticas, también se pueden utilizar métodos numéricos para estudiar la estabilidad de los espacio-tiempos de equilibrio. En el caso de los espacios-tiempos dinámicos, el problema se puede dividir en el problema del valor inicial y la evolución, cada uno de los cuales requiere métodos diferentes.
La relatividad numérica se aplica a muchas áreas, como los modelos cosmológicos , los fenómenos críticos , los agujeros negros perturbados y las estrellas de neutrones , y la coalescencia de agujeros negros y estrellas de neutrones, por ejemplo. En cualquiera de estos casos, las ecuaciones de Einstein se pueden formular de varias formas que nos permitan evolucionar la dinámica. Si bien los métodos de Cauchy han recibido la mayor parte de la atención, también se han utilizado métodos basados en el cálculo característico y de Regge . Todos estos métodos comienzan con una instantánea de los campos gravitacionales en alguna hipersuperficie , los datos iniciales, y evolucionan estos datos a hipersuperficies vecinas. [1]
Como todos los problemas de análisis numérico, se presta especial atención a la estabilidad y convergencia de las soluciones numéricas. En esta línea, se presta mucha atención a las condiciones de calibre , las coordenadas y las diversas formulaciones de las ecuaciones de Einstein y el efecto que tienen sobre la capacidad de producir soluciones numéricas precisas.
La investigación de la relatividad numérica se diferencia del trabajo sobre teorías de campo clásicas, ya que muchas técnicas implementadas en estas áreas no son aplicables en la relatividad. Sin embargo, muchas facetas se comparten con problemas a gran escala en otras ciencias computacionales como la dinámica de fluidos computacional , el electromagnetismo y la mecánica de sólidos. Los relativistas numéricos a menudo trabajan con matemáticos aplicados y obtienen conocimientos del análisis numérico , la computación científica , las ecuaciones diferenciales parciales y la geometría , entre otras áreas matemáticas de especialización.
Albert Einstein publicó su teoría de la relatividad general en 1915. [2] Al igual que su anterior teoría de la relatividad especial , describía el espacio y el tiempo como un espaciotiempo unificado sujeto a lo que ahora se conoce como las ecuaciones de campo de Einstein . Estos forman un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales (PDE) no lineales acopladas [ se necesita desambiguación ] . Después de más de 100 años desde la primera publicación de la teoría, se conocen relativamente pocas soluciones de forma cerrada para las ecuaciones de campo y, de ellas, la mayoría son soluciones cosmológicas que asumen una simetría especial para reducir la complejidad de las ecuaciones.
El campo de la relatividad numérica surgió del deseo de construir y estudiar soluciones más generales a las ecuaciones de campo resolviendo aproximadamente numéricamente las ecuaciones de Einstein. Un precursor necesario para tales intentos fue una descomposición del espacio-tiempo en espacio y tiempo separados. Esto fue publicado por primera vez por Richard Arnowitt , Stanley Deser y Charles W. Misner a finales de la década de 1950 en lo que se conoce como el formalismo ADM . [3] Aunque por razones técnicas las ecuaciones precisas formuladas en el artículo original de ADM rara vez se utilizan en simulaciones numéricas, la mayoría de los enfoques prácticos de la relatividad numérica utilizan una "descomposición 3+1" del espacio-tiempo en espacio tridimensional y tiempo unidimensional que está estrechamente relacionado con la formulación ADM, porque el procedimiento ADM reformula las ecuaciones de campo de Einstein en un problema de valor inicial restringido que puede abordarse utilizando metodologías computacionales .
En el momento en que ADM publicó su artículo original, la tecnología informática no habría permitido la solución numérica de sus ecuaciones en ningún problema de tamaño sustancial. El primer intento documentado de resolver numéricamente las ecuaciones de campo de Einstein parece ser el de Hahn y Lindquist en 1964, [4] seguido poco después por Smarr [5] [6] y por Eppley. [7] Estos primeros intentos se centraron en la evolución de los datos de Misner en ejesimetría (también conocida como "dimensiones 2+1"). Aproximadamente al mismo tiempo, Tsvi Piran escribió el primer código que desarrolló un sistema con radiación gravitacional utilizando una simetría cilíndrica. [8] En este cálculo, Piran ha sentado las bases para muchos de los conceptos utilizados hoy en día en la evolución de las ecuaciones ADM, como "evolución libre" versus "evolución restringida", [ se necesita aclaración ] que abordan el problema fundamental de tratar las ecuaciones de restricción que surgen en el formalismo ADM. La aplicación de la simetría redujo los requisitos computacionales y de memoria asociados al problema, lo que permitió a los investigadores obtener resultados en las supercomputadoras disponibles en ese momento.
Los primeros cálculos realistas del colapso giratorio fueron realizados a principios de los años ochenta por Richard Stark y Tsvi Piran [9], en los que se calcularon por primera vez las formas de ondas gravitacionales resultantes de la formación de un agujero negro en rotación. Durante casi 20 años después de los resultados iniciales, hubo bastantes otros resultados publicados en relatividad numérica, probablemente debido a la falta de computadoras lo suficientemente potentes para abordar el problema. A finales de la década de 1990, la Binary Black Hole Grand Challenge Alliance simuló con éxito una colisión frontal de un agujero negro binario . Como paso de posprocesamiento, el grupo calculó el horizonte de sucesos para el espacio-tiempo. Este resultado aún requirió imponer y explotar la ejesimetría en los cálculos. [10]
Algunos de los primeros intentos documentados de resolver las ecuaciones de Einstein en tres dimensiones se centraron en un único agujero negro de Schwarzschild , que se describe mediante una solución estática y esféricamente simétrica a las ecuaciones de campo de Einstein. Esto proporciona un excelente caso de prueba en relatividad numérica porque tiene una solución de forma cerrada para que los resultados numéricos se puedan comparar con una solución exacta, porque es estática y porque contiene una de las características numéricamente más desafiantes de la teoría de la relatividad, una singularidad física . Uno de los primeros grupos en intentar simular esta solución fue Anninos et al. en 1995. [11] En su artículo señalan que
En los años siguientes, no sólo las computadoras se volvieron más poderosas, sino que varios grupos de investigación desarrollaron técnicas alternativas para mejorar la eficiencia de los cálculos. Con respecto a las simulaciones de agujeros negros específicamente, se idearon dos técnicas para evitar problemas asociados a la existencia de singularidades físicas en las soluciones de las ecuaciones: (1) la escisión, y (2) el método de "punción". Además, el grupo de Lazarus desarrolló técnicas para utilizar los primeros resultados de una simulación de corta duración que resuelve las ecuaciones no lineales de ADM, con el fin de proporcionar datos iniciales para un código más estable basado en ecuaciones linealizadas derivadas de la teoría de la perturbación . De manera más general, las técnicas de refinamiento de mallas adaptativas , ya utilizadas en dinámica de fluidos computacional, se introdujeron en el campo de la relatividad numérica.
En la técnica de escisión, que se propuso por primera vez a finales de la década de 1990, [12] una porción del espacio-tiempo dentro del horizonte de sucesos que rodea la singularidad de un agujero negro simplemente no evoluciona. En teoría, esto no debería afectar la solución de las ecuaciones fuera del horizonte de sucesos debido al principio de causalidad y las propiedades del horizonte de sucesos (es decir, nada físico dentro del agujero negro puede influir en la física fuera del horizonte). Por lo tanto, si uno simplemente no resuelve las ecuaciones dentro del horizonte, aún debería poder obtener soluciones válidas fuera. Uno "extirpa" el interior imponiendo condiciones de frontera entrantes en un límite que rodea la singularidad pero dentro del horizonte. Si bien la implementación de la escisión ha sido muy exitosa, la técnica tiene dos problemas menores. La primera es que hay que tener cuidado con las condiciones de las coordenadas. Si bien los efectos físicos no pueden propagarse del interior al exterior, los efectos coordinados sí pueden hacerlo. Por ejemplo, si las condiciones de las coordenadas fueran elípticas, los cambios de coordenadas en el interior podrían propagarse instantáneamente a través del horizonte. Esto significa entonces que se necesitan condiciones de coordenadas de tipo hiperbólico con velocidades características menores que las de la luz para la propagación de efectos de coordenadas (por ejemplo, utilizando condiciones de coordenadas de coordenadas armónicas). El segundo problema es que a medida que los agujeros negros se mueven, es necesario ajustar continuamente la ubicación de la región de escisión para que se mueva con el agujero negro.
La técnica de escisión se desarrolló durante varios años, incluido el desarrollo de nuevas condiciones de calibre que aumentaron la estabilidad y un trabajo que demostró la capacidad de las regiones de escisión para moverse a través de la cuadrícula computacional. [13] [14] [15] [16] [17] [18] La primera evolución estable a largo plazo de la órbita y fusión de dos agujeros negros utilizando esta técnica se publicó en 2005. [19]
En el método de punción, la solución se descompone en una parte analítica, [20] que contiene la singularidad del agujero negro, y una parte construida numéricamente, que luego está libre de singularidades. Esta es una generalización de la prescripción de Brill-Lindquist [21] para datos iniciales de agujeros negros en reposo y puede generalizarse a la prescripción de Bowen-York [22] para datos iniciales de agujeros negros en rotación y movimiento. Hasta 2005, todos los usos publicados del método de punción requerían que la posición coordinada de todos los pinchazos permaneciera fija durante el transcurso de la simulación. Por supuesto, los agujeros negros próximos entre sí tenderán a moverse bajo la fuerza de la gravedad, por lo que el hecho de que la posición coordinada del pinchazo permaneciera fija significaba que los propios sistemas de coordenadas se "estiraban" o "retorcían", y esto normalmente conducía a a inestabilidades numéricas en alguna etapa de la simulación.
En 2005, un grupo de investigadores demostró por primera vez la capacidad de permitir que los pinchazos se muevan a través del sistema de coordenadas, eliminando así algunos de los problemas anteriores del método. Esto permitió evoluciones precisas a largo plazo de los agujeros negros. [19] [23] [24] Al elegir condiciones de coordenadas apropiadas y hacer suposiciones analíticas crudas sobre los campos cercanos a la singularidad (dado que ningún efecto físico puede propagarse fuera del agujero negro, la crudeza de las aproximaciones no importa), se obtienen soluciones numéricas. Se podría obtener el problema de dos agujeros negros orbitando entre sí, así como el cálculo preciso de la radiación gravitacional (ondas en el espacio-tiempo) emitida por ellos. En 2005 pasó a llamarse " annus mirabilis " de la relatividad numérica, 100 años después del annus mirabilis de la relatividad especial (1905).
El proyecto Lazarus (1998-2005) se desarrolló como una técnica posterior al Gran Desafío para extraer resultados astrofísicos de simulaciones numéricas completas de corta duración de agujeros negros binarios. Combinó técnicas de aproximación antes (trayectorias post-Newtonianas) y después (perturbaciones de agujeros negros individuales) con simulaciones numéricas completas que intentaban resolver ecuaciones de campo de la Relatividad General. [25] Todos los intentos anteriores de integrar numéricamente en supercomputadoras las ecuaciones de Hilbert-Einstein que describen el campo gravitacional alrededor de los agujeros negros binarios condujeron a fallas del software antes de que se completara una sola órbita.
The Lazarus approach, in the meantime, gave the best insight into the binary black hole problem and produced numerous and relatively accurate results, such as the radiated energy and angular momentum emitted in the latest merging state,[26][27] the linear momentum radiated by unequal mass holes,[28] and the final mass and spin of the remnant black hole.[29] The method also computed detailed gravitational waves emitted by the merger process and predicted that the collision of black holes is the most energetic single event in the Universe, releasing more energy in a fraction of a second in the form of gravitational radiation than an entire galaxy in its lifetime.
Adaptive mesh refinement (AMR) as a numerical method has roots that go well beyond its first application in the field of numerical relativity. Mesh refinement first appears in the numerical relativity literature in the 1980s, through the work of Choptuik in his studies of critical collapse of scalar fields.[30][31] The original work was in one dimension, but it was subsequently extended to two dimensions.[32] In two dimensions, AMR has also been applied to the study of inhomogeneous cosmologies,[33][34] and to the study of Schwarzschild black holes.[35] The technique has now become a standard tool in numerical relativity and has been used to study the merger of black holes and other compact objects in addition to the propagation of gravitational radiation generated by such astronomical events.[36][37]
In the past few years[when?], hundreds of research papers have been published leading to a wide spectrum of mathematical relativity, gravitational wave, and astrophysical results for the orbiting black hole problem. This technique extended to astrophysical binary systems involving neutron stars and black holes,[38] and multiple black holes.[39] One of the most surprising predictions is that the merger of two black holes can give the remnant hole a speed of up to 4000 km/s that can allow it to escape from any known galaxy.[40][41] The simulations also predict an enormous release of gravitational energy in this merger process, amounting up to 8% of its total rest mass.[42]