raíz unitaria

Característica de algunos procesos estocásticos.

En teoría de probabilidad y estadística , una raíz unitaria es una característica de algunos procesos estocásticos (como los paseos aleatorios ) que pueden causar problemas en la inferencia estadística que involucra modelos de series temporales . Un proceso estocástico lineal tiene raíz unitaria si 1 es una raíz de la ecuación característica del proceso . Este proceso no es estacionario pero no siempre tiene una tendencia.

Si las otras raíces de la ecuación característica se encuentran dentro del círculo unitario, es decir, tienen un módulo ( valor absoluto ) menor que uno, entonces la primera diferencia del proceso será estacionaria; de lo contrario, será necesario diferenciar el proceso varias veces para que se vuelva estacionario. ^[1] Si hay d raíces unitarias, el proceso tendrá que diferenciarse d veces para volverlo estacionario. ^[2] Debido a esta característica, los procesos de raíz unitaria también se denominan estacionarios en diferencias. ^{[3] [4]}

Los procesos de raíz unitaria a veces pueden confundirse con procesos de tendencia estacionaria ; Si bien comparten muchas propiedades, son diferentes en muchos aspectos. Es posible que una serie temporal no sea estacionaria, pero no tenga raíz unitaria y sea estacionaria en términos de tendencia. Tanto en los procesos de raíz unitaria como en los de tendencia estacionaria, la media puede crecer o disminuir con el tiempo; sin embargo, en presencia de un shock, los procesos de tendencia estacionaria revierten la media (es decir, son transitorios, la serie temporal convergerá nuevamente hacia la media creciente, que no se vio afectada por el shock), mientras que los procesos de raíz unitaria tienen un impacto permanente en la media (es decir, sin convergencia en el tiempo). ^[5]

Si una raíz de la ecuación característica del proceso es mayor que 1, entonces se llama proceso explosivo , aunque a veces estos procesos se denominan incorrectamente procesos de raíces unitarias.

La presencia de una raíz unitaria se puede comprobar mediante una prueba de raíz unitaria .

Definición

Considere un proceso estocástico de tiempo discreto y suponga que puede escribirse como un proceso autorregresivo de orden  p : ${\displaystyle (y_{t},t=1,2,3,\ldots )}$

${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{p}y_{t-p}+\varepsilon _{t}.}$

Aquí hay un proceso estocástico de media cero, no correlacionado en serie y con varianza constante . Por conveniencia, supongamos . Si es raíz de la ecuación característica , de multiplicidad 1: ${\displaystyle (\varepsilon _{t},t=0,1,2,\ldots ,)}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle y_{0}=0}$ ${\displaystyle m=1}$

${\displaystyle m^{p}-m^{p-1}a_{1}-m^{p-2}a_{2}-\cdots -a_{p}=0}$

entonces el proceso estocástico tiene raíz unitaria o, alternativamente, está integrado de orden uno, denotado . Si m = 1 es una raíz de multiplicidad r , entonces el proceso estocástico es integrado de orden r , denotado I ( r ). ${\displaystyle I(1)}$

Ejemplo

El modelo autorregresivo de primer orden, tiene una raíz unitaria cuando . En este ejemplo, la ecuación característica es . La raíz de la ecuación es . ${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle a_{1}=1}$ ${\displaystyle m-a_{1}=0}$ ${\displaystyle m=1}$

Si el proceso tiene raíz unitaria, entonces es una serie temporal no estacionaria. Es decir, los momentos del proceso estocástico dependen de . Para ilustrar el efecto de una raíz unitaria, podemos considerar el caso de primer orden, comenzando con y ₀  = 0: ${\displaystyle t}$

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+\varepsilon _{t}.}$

Mediante sustitución repetida, podemos escribir . Entonces la varianza de está dada por: ${\displaystyle y_{t}=y_{0}+\sum _{j=1}^{t}\varepsilon _{j}}$ ${\displaystyle y_{t}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{t})=\sum _{j=1}^{t}\sigma ^{2}=t\sigma ^{2}.}$

La varianza depende de t desde , mientras . La varianza de la serie diverge hasta el infinito con  t . ${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{1})=\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{2})=2\sigma ^{2}}$

Existen diversas pruebas para comprobar la existencia de una raíz unitaria, algunas de ellas vienen dadas por:

1. La prueba de Dickey-Fuller (DF) o las pruebas de Dickey-Fuller aumentadas (ADF)
2. Probar la importancia de más de un coeficiente (prueba f)
3. La prueba de Phillips-Perron (PP)
4. Prueba de Dickey Pantula

Modelos relacionados

Además de los modelos autorregresivos (AR) y autorregresivos de media móvil (ARMA), surgen otros modelos importantes en el análisis de regresión en los que los errores del modelo pueden tener en sí mismos una estructura de series de tiempo y, por lo tanto, pueden necesitar ser modelados mediante un proceso AR o ARMA que puede tener una raíz unitaria, como se analizó anteriormente. Se han analizado las propiedades de muestras finitas de modelos de regresión con errores ARMA de primer orden, incluidas las raíces unitarias. ^{[6] [7]}

Estimación de cuándo puede estar presente una raíz unitaria

A menudo, se utilizan mínimos cuadrados ordinarios (MCO) para estimar los coeficientes de pendiente del modelo autorregresivo . El uso de OLS depende de que el proceso estocástico sea estacionario. Cuando el proceso estocástico no es estacionario, el uso de MCO puede producir estimaciones no válidas. Granger y Newbold llamaron a tales estimaciones resultados de “regresión espuria”: ^[8] altos valores de R ² y altos ratios t arrojan resultados sin significado real (en su contexto, económico).

Para estimar los coeficientes de pendiente, primero se debe realizar una prueba de raíz unitaria , cuya hipótesis nula es que existe una raíz unitaria. Si se rechaza esa hipótesis, se puede utilizar MCO. Sin embargo, si no se rechaza la presencia de una raíz unitaria, entonces se debe aplicar el operador de diferencia a la serie. Si otra prueba de raíz unitaria muestra que la serie temporal diferenciada es estacionaria, se puede aplicar MCO a esta serie para estimar los coeficientes de pendiente.

Por ejemplo, en el caso AR(1), es estacionario. ${\displaystyle \Delta y_{t}=y_{t}-y_{t-1}=\varepsilon _{t}}$

En el caso AR(2), se puede escribir como donde L es un operador de retraso que disminuye el índice de tiempo de una variable en un período: . Si , el modelo tiene raíz unitaria y podemos definir ; entonces ${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle (1-\lambda _{1}L)(1-\lambda _{2}L)y_{t}=\varepsilon _{t}}$ ${\displaystyle Ly_{t}=y_{t-1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=1}$ ${\displaystyle z_{t}=\Delta y_{t}}$

${\displaystyle z_{t}=\lambda _{1}z_{t-1}+\varepsilon _{t}}$

es estacionario si . MCO se puede utilizar para estimar el coeficiente de pendiente, . ${\displaystyle |\lambda _{1}|<1}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$

Si el proceso tiene varias raíces unitarias, el operador de diferencia se puede aplicar varias veces.

Propiedades y características de los procesos de raíz unitaria.

• Los impactos en un proceso de raíz unitaria tienen efectos permanentes que no decaen como lo harían si el proceso fuera estacionario.
• Como se señaló anteriormente, un proceso de raíz unitaria tiene una varianza que depende de t y diverge hasta el infinito.
• Si se sabe que una serie tiene raíz unitaria, la serie se puede diferenciar para hacerla estacionaria. Por ejemplo, si una serie es I(1), la serie es I(0) (estacionaria). Por eso se le llama serie estacionaria en diferencias . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle \Delta Y_{t}=Y_{t}-Y_{t-1}}$

Hipótesis de raíz unitaria

El diagrama anterior muestra un ejemplo de una raíz unitaria potencial. La línea roja representa una caída observada en la producción. El verde muestra el camino de recuperación si la serie tiene raíz unitaria. El azul muestra la recuperación si no hay raíz unitaria y la serie es de tendencia estacionaria. La línea azul vuelve a encontrarse y seguir la línea de tendencia discontinua mientras que la línea verde permanece permanentemente por debajo de la tendencia. La hipótesis de la raíz unitaria también sostiene que un aumento en la producción conducirá a niveles de producción superiores a la tendencia pasada.

Los economistas debaten si varias estadísticas económicas, especialmente la producción , tienen una raíz unitaria o son de tendencia estacionaria . ^[9] Un proceso de raíz unitaria con deriva viene dado en el caso de primer orden por

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+c+e_{t}}$

donde c es un término constante denominado término de "deriva" y es ruido blanco. Cualquier valor distinto de cero del término de ruido, que ocurra solo durante un período, afectará permanentemente el valor de como se muestra en el gráfico, por lo que las desviaciones de la línea no son estacionarias; no hay reversión a ninguna línea de tendencia. Por el contrario, un proceso de tendencia estacionaria viene dado por ${\displaystyle e_{t}}$ ${\displaystyle y_{t}}$ ${\displaystyle y_{t}=a+ct}$

${\displaystyle y_{t}=k\cdot t+u_{t}}$

donde k es la pendiente de la tendencia y es el ruido (ruido blanco en el caso más simple; más generalmente, ruido que sigue su propio proceso autorregresivo estacionario). Aquí cualquier ruido transitorio no alterará la tendencia a largo plazo para estar en la línea de tendencia, como también se muestra en el gráfico. Se dice que este proceso es estacionario en términos de tendencia porque las desviaciones de la línea de tendencia son estacionarias. ${\displaystyle u_{t}}$ ${\displaystyle y_{t}}$

El tema es particularmente popular en la literatura sobre ciclos económicos. ^{[10] [11]} La investigación sobre el tema comenzó con Nelson y Plosser, cuyo artículo sobre el PNB y otros agregados de producción no logró rechazar la hipótesis de la raíz unitaria para estas series. ^[12] Desde entonces, se ha producido un debate, entrelazado con disputas técnicas sobre métodos estadísticos. Algunos economistas ^[13] sostienen que el PIB tiene una raíz unitaria o ruptura estructural , lo que implica que las recesiones económicas dan como resultado niveles de PIB permanentemente más bajos en el largo plazo. Otros economistas sostienen que el PIB tiene una tendencia estacionaria: es decir, cuando el PIB cae por debajo de la tendencia durante una desaceleración, luego regresa al nivel implícito en la tendencia, de modo que no hay una disminución permanente en la producción. Si bien la literatura sobre la hipótesis de la raíz unitaria puede consistir en un debate arcano sobre métodos estadísticos, la hipótesis conlleva importantes implicaciones prácticas para los pronósticos y las políticas económicas.

Ver también

• Prueba de Dickey-Fuller
• Prueba de Dickey-Fuller aumentada
• Prueba ADF-GLS
• Prueba de raíz unitaria
• Prueba de Phillips-Perron
• Cointegración , determinación de la relación entre dos variables que tienen raíces unitarias
• Prueba de raíz unitaria simétrica ponderada (WS)
• Prueba de Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin, conocida como prueba KPSS

Notas

1. "Procesos estacionarios de tendencia versus procesos estacionarios de diferencia - MATLAB y Simulink". reino unido.mathworks.com . Archivado desde el original el 8 de junio de 2016 . Consultado el 5 de junio de 2016 .
2. "Ayuda de EViews". Archivado desde el original el 27 de mayo de 2020 . Consultado el 28 de mayo de 2020 .
3. "Pruebas de diferenciación y raíz unitaria" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 18 de octubre de 2016.
4. "Serie no estacionaria" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 11 de junio de 2014.
5. Heino Bohn-Nielsen. "Pruebas de raíces unitarias y series temporales no estacionarias" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 30 de noviembre de 2016.
6. Sargan, JD ; Bhargava, Alok (1983). "Prueba de residuos de regresiones de mínimos cuadrados para determinar si son generados por el paseo aleatorio gaussiano". Econométrica . 51 (1): 153-174. doi :10.2307/1912252. JSTOR  1912252.
7. Sargan, JD; Bhargava, Alok (1983). "Estimación de máxima verosimilitud de modelos de regresión con errores de media móvil de primer orden cuando la raíz se encuentra en el círculo unitario". Econométrica . 51 (3): 799–820. doi :10.2307/1912159. JSTOR  1912159.
8. Granger, CWJ; Newbold, P. (1974). "Regresiones espurias en econometría". Revista de Econometría . 2 (2): 111–120. CiteSeerX 10.1.1.353.2946 . doi :10.1016/0304-4076(74)90034-7. 
9. Krugman, Paul (3 de marzo de 2009). "Raíces del mal (wonkish)". Los New York Times . Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2015 . Consultado el 7 de febrero de 2017 .
10. Hegwood, Natalie; Papell, David H. (2007). "¿Son estacionarios los niveles de PIB real, tendencia, diferencia o tendencia del régimen? Evidencia de pruebas de datos de panel que incorporan cambios estructurales" (PDF) . Revista Económica del Sur . 74 (1): 104-113. doi :10.1002/j.2325-8012.2007.tb00829.x. JSTOR  20111955. Archivado (PDF) desde el original el 14 de junio de 2022 . Consultado el 14 de agosto de 2021 .
11. Lucke, Bernd (2005). "¿Es estacionaria la tendencia del PIB de Alemania? Un enfoque de medición con teoría" (PDF) . Jahrbücher für Nationalökonomie und Statistik . 225 (1): 60–76. doi :10.1515/jbnst-2005-0105. S2CID  209856533. Archivado (PDF) desde el original el 24 de diciembre de 2013 . Consultado el 29 de julio de 2013 .
12. Nelson, Charles R.; Plosser, Carlos I. (1982). "Tendencias y paseos aleatorios en series temporales macroeconómicas: algunas pruebas e implicaciones". Revista de economía monetaria . 10 (2): 139–162. doi :10.1016/0304-3932(82)90012-5.
13. Olivier Blanchard Archivado el 26 de agosto de 2009 en Wayback Machine con el Fondo Monetario Internacional afirma que después de una crisis bancaria "en promedio, la producción no vuelve a su antigua tendencia, sino que permanece permanentemente por debajo de ella".