Transformación canónica

Transformación de coordenadas que preserva la forma de las ecuaciones de Hamilton.

En la mecánica hamiltoniana , una transformación canónica es un cambio de coordenadas canónicas ( q , p ) → ( Q , P ) que preserva la forma de las ecuaciones de Hamilton . Esto a veces se conoce como invariancia de forma . Aunque se conservan las ecuaciones de Hamilton , no es necesario que conserven la forma explícita del propio hamiltoniano . Las transformaciones canónicas son útiles por derecho propio y también forman la base de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi (un método útil para calcular cantidades conservadas ) y el teorema de Liouville (en sí mismo, la base de la mecánica estadística clásica ).

Dado que la mecánica lagrangiana se basa en coordenadas generalizadas , las transformaciones de las coordenadas q → Q no afectan la forma de las ecuaciones de Lagrange y, por lo tanto, no afectan la forma de las ecuaciones de Hamilton si el impulso cambia simultáneamente mediante una transformación de Legendre en

$${\displaystyle P_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}\ ,}$$

grados de libertad ${\displaystyle \left\{\ (P_{1},Q_{1}),\ (P_{2},Q_{2}),\ (P_{3},Q_{3}),\ \ldots \ \right\}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle Q_{i},}$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots \ N,}$ ${\displaystyle N}$

Por tanto, las transformaciones de coordenadas (también llamadas transformaciones puntuales ) son un tipo de transformación canónica. Sin embargo, la clase de transformaciones canónicas es mucho más amplia, ya que las antiguas coordenadas generalizadas, los momentos e incluso el tiempo pueden combinarse para formar las nuevas coordenadas y momentos generalizados. Las transformaciones canónicas que no incluyen explícitamente el tiempo se denominan transformaciones canónicas restringidas (muchos libros de texto consideran solo este tipo).

Las descripciones matemáticas modernas de transformaciones canónicas se consideran bajo el tema más amplio del simplectomorfismo , que cubre el tema con prerrequisitos matemáticos avanzados como paquetes cotangentes , derivadas exteriores y variedades simplécticas .

Notación

Las variables en negrita como q representan una lista de N coordenadas generalizadas que no necesitan transformarse como un vector bajo rotación y, de manera similar, p representa el momento generalizado correspondiente , por ejemplo,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &\equiv \left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N}\right)\\\mathbf {p} &\equiv \left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N-1},p_{N}\right).\end{aligned}}}$$

Un punto sobre una variable o lista significa la derivada del tiempo, por ejemplo,

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}\equiv {\frac {d\mathbf {q} }{dt}}}$$

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {q} }}\quad \Longleftrightarrow \quad {\dot {p_{i}}}=-{\frac {\partial f}{\partial {q_{i}}}}\quad (\forall i).}$$

La notación del producto escalar entre dos listas del mismo número de coordenadas es una abreviatura de la suma de los productos de los componentes correspondientes, por ejemplo,

$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} \equiv \sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.}$$

El producto escalar (también conocido como "producto interno") asigna las dos listas de coordenadas en una variable que representa un único valor numérico. Las coordenadas después de la transformación están etiquetadas de manera similar con Q para coordenadas generalizadas transformadas y P para impulso generalizado transformado.

Condiciones para la transformación canónica restringida

Las transformaciones canónicas restringidas son transformaciones de coordenadas donde las coordenadas transformadas Q y P no tienen una dependencia temporal explícita, es decir. y . La forma funcional de las ecuaciones de Hamilton es ${\textstyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ ${\textstyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {p} }}&=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\\{\dot {\mathbf {q} }}&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\end{aligned}}}$$

( q , p ) → ( Q , P )las ecuaciones de Hamilton^[1]

$${\displaystyle K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(q(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ),p(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ),t)+{\frac {\partial G}{\partial t}}(t)}$$

Además de dejar la forma del hamiltoniano sin cambios, también permite el uso del hamiltoniano sin cambios en las ecuaciones de movimiento de Hamilton debido a la forma anterior como:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}&&=-\left({\frac {\partial H}{\partial \mathbf {Q} }}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}&&=\,\,\,\,\,\left({\frac {\partial H}{\partial \mathbf {P} }}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\end{alignedat}}}$$

Aunque las transformaciones canónicas se refieren a un conjunto más general de transformaciones del espacio de fases correspondientes a transformaciones menos permisivas del hamiltoniano, proporcionan condiciones más simples para obtener resultados que pueden generalizarse aún más. Todas las condiciones siguientes, con excepción de la condición de invariancia bilineal, se pueden generalizar para transformaciones canónicas, incluida la dependencia del tiempo.

Condiciones indirectas

Dado que las transformaciones restringidas no tienen una dependencia temporal explícita (por definición), la derivada temporal de una nueva coordenada generalizada Q _m es

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {Q}}_{m}&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}\\&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\\&=\lbrace Q_{m},H\rbrace \end{aligned}}}$$

{⋅, ⋅}corchete de Poisson

De manera similar, para la identidad del momento conjugado, P _m usando la forma kamiltoniana se sigue que:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}{\partial P_{m}}}\\&={\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\&={\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\end{aligned}}}$$

Debido a la forma de las ecuaciones de movimiento hamiltonianas,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\end{aligned}}}$$

si la transformación es canónica, los dos resultados derivados deben ser iguales, dando como resultado las ecuaciones:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}}$$

El argumento análogo a favor de los momentos generalizados P _m conduce a otros dos conjuntos de ecuaciones:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}}$$

Estas son las condiciones indirectas para comprobar si una transformación determinada es canónica.

Condición simpléctica

A veces las relaciones hamiltonianas se representan como:

$${\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H}$$

Dónde ${\textstyle J:={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},}$

y . De manera similar, dejemos . ${\textstyle \mathbf {\eta } ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{n}\\p_{1}\\\vdots \\p_{n}\\\end{bmatrix}}}$ ${\textstyle \mathbf {\varepsilon } ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{n}\\P_{1}\\\vdots \\P_{n}\\\end{bmatrix}}}$

A partir de la relación de derivadas parciales, la conversión de la relación en términos de derivadas parciales con nuevas variables da donde . De manera similar para , ${\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H}$ ${\displaystyle {\dot {\eta }}=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)}$ ${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$ ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H}$$

Debido a la forma de las ecuaciones hamiltonianas para , ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=J\nabla _{\varepsilon }H}$$

donde se puede utilizar debido a la forma del kamiltoniano. Al equiparar las dos ecuaciones se obtiene la condición simpléctica como: ^[2] ${\textstyle \nabla _{\varepsilon }K=\nabla _{\varepsilon }H}$

$${\displaystyle MJM^{T}=J}$$

^[3]grupo simpléctico ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\textstyle {\mathcal {L}}(\eta )=M^{T}JM}$ ${\textstyle M^{T}JM=J}$ ${\textstyle J^{-1}=-J}$ ${\textstyle M}$ ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }H}$

Invariancia del soporte de Poisson

El corchete de Poisson que se define como:

$${\displaystyle \{u,v\}_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial q_{i}}}\right)}$$

$${\displaystyle \{u,v\}_{\eta }:=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)}$$

^[4]

$${\displaystyle \{u,v\}_{\eta }=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)=(M^{T}\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}MJM^{T}(\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(\nabla _{\varepsilon }v)=\{u,v\}_{\varepsilon }}$$

La condición simpléctica también se puede recuperar tomando y que muestra que . Por tanto, estas condiciones son equivalentes a condiciones simplécticas. Además, se puede ver que , que también es el resultado de calcular explícitamente el elemento de la matriz expandiéndolo. ^[3] ${\textstyle u=\varepsilon _{i}}$ ${\textstyle v=\varepsilon _{j}}$ ${\textstyle (MJM^{T})_{ij}=J_{ij}}$ ${\textstyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=(MJM^{T})_{ij}}$

Invariancia del soporte de Lagrange

El corchete de Lagrange que se define como:

$${\displaystyle [u,v]_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right)}$$

se puede representar en forma matricial como:

$${\displaystyle [u,v]_{\eta }:=\left({\frac {\partial \eta }{\partial u}}\right)^{T}J\left({\frac {\partial \eta }{\partial v}}\right)}$$

Utilizando una derivación similar, se obtiene:

$${\displaystyle [u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=[u,v]_{\eta }}$$

^[3] ${\textstyle u=\eta _{i}}$ ${\textstyle v=\eta _{j}}$ ${\textstyle (M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}}$ ${\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}}$

Condiciones de invariancia bilineal

Este conjunto de condiciones solo se aplica a transformaciones canónicas restringidas o transformaciones canónicas que son independientes de la variable temporal.

Consideremos variaciones arbitrarias de dos tipos, en un solo par de coordenadas generalizadas y el momento correspondiente: ^[5]

${\textstyle d\varepsilon =(dq_{1},dp_{1},0,0,\ldots ),\quad \delta \varepsilon =(\delta q_{1},\delta p_{1},0,0,\ldots ).}$

El área del paralelogramo infinitesimal viene dada por:

${\textstyle \delta a(12)=dq_{1}\delta p_{1}-\delta q_{1}dp_{1}={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon .}$

De la condición simpléctica se deduce que el área infinitesimal se conserva bajo transformación canónica: ${\textstyle M^{T}JM=J}$

${\textstyle \delta a(12)={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon ={(M\delta \eta )}^{T}\,J\,Md\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,M^{T}JM\,d\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,J\,d\eta =\delta A(12).}$

Tenga en cuenta que no es necesario que las nuevas coordenadas estén completamente orientadas en un plano de momento coordenado.

Por lo tanto, la condición se expresa de manera más general como una invariancia de la forma bajo transformación canónica, ampliada como: ${\textstyle {(d\varepsilon )}^{T}\,J\,\delta \varepsilon }$

$${\displaystyle \sum \delta q\cdot dp-\delta p\cdot dq=\sum \delta Q\cdot dP-\delta P\cdot dQ}$$

^{[6] [7][8]} ${\textstyle {v}^{T}\,J\,w}$ ${\textstyle {v}}$ ${\textstyle w}$

teorema de liouville

Las condiciones indirectas nos permiten probar el teorema de Liouville , que establece que el volumen en el espacio de fases se conserva bajo transformaciones canónicas, es decir,

$${\displaystyle \int \mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} =\int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} }$$

Por cálculo , la última integral debe ser igual a la anterior multiplicada por el determinante del jacobiano M.

$${\displaystyle \int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} =\int \det(M)\,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} }$$

${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$

La explotación de la propiedad de "división" de los jacobianos produce

$${\displaystyle M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\right.}$$

Eliminando las variables repetidas se obtiene

$${\displaystyle M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} )}{\partial (\mathbf {q} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {P} )}}\right.}$$

La aplicación de las condiciones indirectas anteriores produce . ^[9] ${\displaystyle \operatorname {det} (M)=1}$

Enfoque de función generadora

Para garantizar una transformación válida entre ( q , p , H ) y ( Q , P , K ) , podemos recurrir a un enfoque de función generadora directa . Ambos conjuntos de variables deben obedecer el principio de Hamilton . Esa es la integral de acción sobre la lagrangiana y , respectivamente, obtenida por la hamiltoniana mediante la transformación de Legendre ("inversa") , ambas deben ser estacionarias (para que se puedan usar las ecuaciones de Euler-Lagrange para llegar a las ecuaciones de movimiento hamiltonianas de la forma designada ; como se muestra por ejemplo aquí ): ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{qp}=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{QP}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]dt&=0\\\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt&=0\end{aligned}}}$$

Una forma de satisfacer ambas igualdades integrales variacionales es tener

$${\displaystyle \lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}}$$

Los lagrangianos no son únicos: siempre se puede multiplicar por una constante λ y sumar una derivada temporal totaldG/dty produce las mismas ecuaciones de movimiento (como se analiza en Wikilibros). En general, el factor de escala λ se establece en uno; Las transformaciones canónicas para las cuales λ ≠ 1 se denominan transformaciones canónicas extendidas .dG/dtse mantiene, de lo contrario el problema se volvería trivial y no habría mucha libertad para que las nuevas variables canónicas difieran de las antiguas.

Aquí G es una función generadora de una coordenada canónica antigua ( q o p ), una coordenada canónica nueva ( Q o P ) y (posiblemente) el tiempo t . Por tanto, existen cuatro tipos básicos de funciones generadoras (aunque pueden existir mezclas de estos cuatro tipos), dependiendo de la elección de las variables. Como se mostrará a continuación, la función generadora definirá una transformación de coordenadas canónicas antiguas a nuevas , y se garantiza que cualquier transformación de este tipo ( q , p ) → ( Q , P ) será canónica.

Las diversas funciones generadoras y sus propiedades tabuladas a continuación se analizan en detalle:

Función generadora tipo 1

La función generadora de tipo 1 G ₁ depende únicamente de las coordenadas generalizadas antiguas y nuevas

$${\displaystyle G\equiv G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$$

$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}$$

Dado que las coordenadas nuevas y antiguas son independientes, las siguientes 2 N + 1 ecuaciones deben cumplirse

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}\end{aligned}}}$$

Estas ecuaciones definen la transformación ( q , p ) → ( Q , P ) de la siguiente manera: El primer conjunto de N ecuaciones

$${\displaystyle \ \mathbf {p} ={\frac {\ \partial G_{1}\ }{\partial \mathbf {q} }}\ }$$

coordenadas generalizadas Qcoordenadas canónicas ( q , p )Q _kQsegundoN

$${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}}$$

Pcoordenadas canónicas ( q , p )antiguas coordenadas canónicas ( q , p )nuevas coordenadas canónicas ( Q , P )

$${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}}$$

Kcoordenadas canónicas ( Q , P )

En la práctica, este procedimiento es más sencillo de lo que parece, porque la función generadora suele ser sencilla. Por ejemplo, dejemos

$${\displaystyle G_{1}\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {Q} }$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} \\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} \end{aligned}}}$$

K = H

Función generadora tipo 2

La función generadora de tipo 2 depende sólo de las antiguas coordenadas generalizadas y de los nuevos momentos generalizados. ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$

$${\displaystyle G\equiv G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$$

transformación de Legendre ${\displaystyle -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$

$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}}$$

Dado que las antiguas coordenadas y los nuevos momentos son independientes, las siguientes 2 N + 1 ecuaciones deben cumplirse

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\end{aligned}}}$$

Estas ecuaciones definen la transformación ( q , p ) → ( Q , P ) de la siguiente manera: El primer conjunto de N ecuaciones

$${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}}$$

Pcoordenadas canónicas ( q , p )P _kPsegundoN

$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}}$$

Qcoordenadas canónicas ( q , p )antiguas coordenadas canónicas ( q , p )nuevas coordenadas canónicas ( Q , P )

$${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}}$$

Kcoordenadas canónicas ( Q , P )

En la práctica, este procedimiento es más sencillo de lo que parece, porque la función generadora suele ser sencilla. Por ejemplo, dejemos

$${\displaystyle G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)\cdot \mathbf {P} }$$

gN

$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)}$$

Función generadora tipo 3

La función generadora de tipo 3 depende sólo de los antiguos momentos generalizados y de las nuevas coordenadas generalizadas. ${\displaystyle G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)}$

$${\displaystyle G\equiv G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} }$$

transformación de Legendre ${\displaystyle \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} }$

$${\displaystyle -\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}$$

Dado que las coordenadas nuevas y antiguas son independientes, las siguientes 2 N + 1 ecuaciones deben cumplirse

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}\end{aligned}}}$$

Estas ecuaciones definen la transformación ( q , p ) → ( Q , P ) de la siguiente manera: El primer conjunto de N ecuaciones

$${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}}$$

coordenadas generalizadas Qcoordenadas canónicas ( q , p )Q _kQsegundoN

$${\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}}$$

Pcoordenadas canónicas ( q , p )antiguas coordenadas canónicas ( q , p )nuevas coordenadas canónicas ( Q , P )

$${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}}$$

Kcoordenadas canónicas ( Q , P )

En la práctica, este procedimiento es más sencillo de lo que parece, porque la función generadora suele ser sencilla.

Función generadora tipo 4

La función generadora de tipo 4 depende sólo de los viejos y nuevos momentos generalizados. ${\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}$

$${\displaystyle G\equiv G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$$

transformación de Legendre ${\displaystyle \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} }$

$${\displaystyle -\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}}$$

Dado que las coordenadas nuevas y antiguas son independientes, las siguientes 2 N + 1 ecuaciones deben cumplirse

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}\end{aligned}}}$$

Estas ecuaciones definen la transformación ( q , p ) → ( Q , P ) de la siguiente manera: El primer conjunto de N ecuaciones

$${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}}$$

Pcoordenadas canónicas ( q , p )P _kPsegundoN

$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}}$$

Qcoordenadas canónicas ( q , p )antiguas coordenadas canónicas ( q , p )nuevas coordenadas canónicas ( Q , P )

$${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}}$$

Kcoordenadas canónicas ( Q , P )

Restricciones a la generación de funciones.

Por ejemplo, utilizando una función generadora de segundo tipo: y , el primer conjunto de ecuaciones que consta de variables , y debe invertirse para obtener . Este proceso es posible cuando la matriz definida por no es singular. ^[11] ${\textstyle {p}_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial {q}_{i}}}}$ ${\textstyle {Q}_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial {P}_{i}}}}$ ${\textstyle \mathbf {p} }$ ${\textstyle \mathbf {q} }$ ${\textstyle \mathbf {P} }$ ${\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ ${\textstyle a_{ij}={\frac {\partial {p}_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}{\partial P_{j}}}}$

$${\displaystyle \left|{\begin{array}{l l l}{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{1}\partial q_{1}}}}&{\cdots }&{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{1}\partial q_{n}}}}\\{\quad \vdots }&{\ddots }&{\quad \vdots }\\{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{n}\partial q_{1}}}}&{\cdots }&{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{n}\partial q_{n}}}}\end{array}}\right|{\neq 0}}$$

Por lo tanto, se imponen restricciones a la generación de funciones para que las matrices: , y , no sean singulares. ^{[12] [13]} ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{1}}{\partial Q_{j}\partial q_{i}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{j}\partial q_{i}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{3}}{\partial p_{j}\partial Q_{i}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{4}}{\partial p_{j}\partial P_{i}}}\right]}$

Limitaciones de las funciones generadoras.

Como no es singular, implica que tampoco lo es. Dado que la matriz es inversa de , las transformaciones de funciones generadoras de tipo 2 siempre tienen una matriz no singular . De manera similar, se puede afirmar que las funciones generadoras de tipo 1 y 4 siempre tienen una matriz no singular, mientras que las funciones generadoras de tipo 2 y 3 siempre tienen una matriz no singular . Por tanto, las transformaciones canónicas resultantes de estas funciones generadoras no son completamente generales. ^[14] ${\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{j}\partial q_{i}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial {p}_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}{\partial P_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial {p}_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}{\partial P_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}$

En otras palabras, dado que ( Q , P ) y ( q , p ) son cada una 2 N funciones independientes, se deduce que para tener una función generadora de la forma and or and , las matrices jacobianas correspondientes están restringidas a no ser singulares, lo que garantiza que la función generadora es función de 2 N + 1 variables independientes. Sin embargo, como característica de las transformaciones canónicas, siempre es posible elegir 2 N funciones independientes de conjuntos ( q , p ) o ( Q , P ) , para formar una representación de función generadora de transformaciones canónicas, incluida la variable de tiempo. Por tanto, se puede demostrar que toda transformación canónica finita puede darse como una forma cerrada pero implícita que es una variante de las cuatro formas simples dadas. ^[15] ${\textstyle G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$ ${\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}$ ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$ ${\displaystyle G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}$

Condiciones de transformación canónica

Relaciones de transformación canónicas

A partir de: , calcular : ${\displaystyle K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}={\frac {\partial K}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\left({\frac {\partial t}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}={\dot {Q}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\={\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial Q}{\partial q}}\cdot {\dot {q}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\cdot {\dot {p}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\={\dot {q}}\left({\frac {\partial Q}{\partial q}}-{\frac {\partial p}{\partial P}}\right)+{\dot {p}}\left({\frac {\partial q}{\partial P}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)+{\frac {\partial Q}{\partial t}}\end{aligned}}}$$

${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial }{\partial P}}\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right){\bigg |}_{Q,P,t}}$ ${\textstyle {\dot {q}}}$ ${\textstyle {\dot {p}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}$

Similarmente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}\right)_{Q,P,t}={\frac {\partial K}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\left({\frac {\partial t}{\partial Q}}\right)_{Q,P,t}=-{\dot {P}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}\\=-{\frac {\partial P}{\partial t}}-{\frac {\partial P}{\partial q}}\cdot {\dot {q}}-{\frac {\partial P}{\partial p}}\cdot {\dot {p}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}\\=-\left({\dot {q}}\left({\frac {\partial P}{\partial q}}+{\frac {\partial p}{\partial Q}}\right)+{\dot {p}}\left({\frac {\partial P}{\partial p}}-{\frac {\partial q}{\partial Q}}\right)+{\frac {\partial P}{\partial t}}\right)\end{aligned}}}$$

${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}=-{\frac {\partial P}{\partial t}}}$

Las dos relaciones anteriores se pueden combinar en forma matricial como: (que también conservará la misma forma para la transformación canónica extendida) donde se ha utilizado el resultado. Por lo tanto, se dice que las relaciones de transformación canónicas son equivalentes a en este contexto. ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-H}$ ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$

Las relaciones de transformación canónicas ahora se pueden reformular para incluir la dependencia del tiempo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}$$

QP ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}=-{\frac {\partial P}{\partial t}}}$ ${\textstyle K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}(t)}$

Condición simpléctica

Aplicando la fórmula de transformación de coordenadas para , en las ecuaciones hamiltonianas se obtiene: ${\displaystyle \nabla _{\eta }H=M^{T}\nabla _{\varepsilon }H}$

$${\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)}$$

De manera similar para : ${\textstyle {\dot {\varepsilon }}}$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=J\nabla _{\varepsilon }H+J\nabla _{\varepsilon }\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right)}$$

${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$ ${\textstyle MJM^{T}=J}$ ${\textstyle M^{T}JM=J}$ ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$

Invariancia del soporte de Poisson y Lagrange

Desde y donde se utiliza la condición simpléctica en las últimas igualdades. Utilizando , se obtienen las igualdades y que implican la invariancia de los corchetes de Poisson y Lagrange. ${\textstyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=(MJM^{T})_{ij}=J_{ij}}$ ${\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}}$ ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }=J_{ij}}$ ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }}$ ${\textstyle [\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }}$

Transformación canónica extendida

Relaciones de transformación canónicas

Resolviendo para:

$${\displaystyle \lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}}$$

${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$ ${\textstyle \lambda =1}$

Todos los resultados presentados a continuación también se pueden obtener reemplazando y a partir de soluciones conocidas, ya que conserva la forma de las ecuaciones de Hamilton . Por lo tanto, se dice que las transformaciones canónicas extendidas son el resultado de una transformación canónica ( ) y una transformación canónica trivial ( ) que tiene (para el ejemplo dado, que satisface la condición). ^[dieciséis] ${\textstyle q\rightarrow {\sqrt {\lambda }}q}$ ${\textstyle p\rightarrow {\sqrt {\lambda }}p}$ ${\textstyle H\rightarrow {\lambda }H}$ ${\textstyle \lambda =1}$ ${\textstyle \lambda \neq 1}$ ${\textstyle MJM^{T}=\lambda J}$ ${\textstyle M={\sqrt {\lambda }}I}$

Utilizando los mismos pasos utilizados anteriormente en la generalización anterior, en el caso general, y conservando la ecuación , las relaciones diferenciales parciales de transformación canónica extendida se obtienen como: ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$ ${\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial g}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\lambda \left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\lambda \left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\lambda \left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\lambda \left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}$$

Condición simpléctica

Siguiendo los mismos pasos para derivar las condiciones simplécticas, como:

$${\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)}$$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}$$

donde usar en su lugar da: ${\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}$

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=\lambda J\nabla _{\varepsilon }H+J\nabla _{\varepsilon }\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right)}$$

^[17] ${\textstyle MJM^{T}=\lambda J}$

Soportes de Poisson y Lagrange

Los corchetes de Poisson se cambian de la siguiente manera:

$${\displaystyle \{u,v\}_{\eta }=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)=(M^{T}\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}MJM^{T}(\nabla _{\varepsilon }v)=\lambda (\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(\nabla _{\varepsilon }v)=\lambda \{u,v\}_{\varepsilon }}$$

$${\displaystyle [u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=\lambda (\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=\lambda [u,v]_{\eta }}$$

^[18] ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \lambda }$

Transformación canónica infinitesimal

Considere la transformación canónica que depende de un parámetro continuo , de la siguiente manera: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&Q(q,p,t;\alpha )\quad \quad \quad &Q(q,p,t;0)=q\\&P(q,p,t;\alpha )\quad \quad {\text{with}}\quad &P(q,p,t;0)=p\\\end{aligned}}}$

Para valores infinitesimales de , las transformaciones correspondientes se denominan transformaciones canónicas infinitesimales que también se conocen como transformaciones canónicas diferenciales. ${\displaystyle \alpha }$

Considere la siguiente función generadora:

${\displaystyle G_{2}(q,P,t)=qP+\alpha G(q,P,t)}$

Dado que para , tiene la transformación canónica resultante, y , este tipo de función generadora se puede utilizar para una transformación canónica infinitesimal restringiéndola a un valor infinitesimal. De las condiciones de los generadores del segundo tipo: ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle G_{2}=qP}$ ${\displaystyle Q=q}$ ${\displaystyle P=p}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{p}&={\frac {\partial G_{2}}{\partial {q}}}=P+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {q}}}(q,P,t)\\{Q}&={\frac {\partial G_{2}}{\partial {P}}}=q+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {P}}}(q,P,t)\\\end{aligned}}}$$

^[19] ${\displaystyle P=P(q,p,t;\alpha )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(q,p,t)}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{p}&=P+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {q}}}(q,p,t)\\{Q}&=q+\alpha {\frac {\partial G}{\partial p}}(q,p,t)\\\end{aligned}}}$$

^[20]

Transformaciones canónicas activas

En la visión pasiva de las transformaciones, el sistema de coordenadas cambia sin que cambie el sistema físico, mientras que en la visión activa de la transformación, el sistema de coordenadas se conserva y se dice que el sistema físico sufre transformaciones. Por lo tanto, utilizando las relaciones de transformaciones canónicas infinitesimales, se dice que el cambio en los estados del sistema bajo la visión activa de la transformación canónica es:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\delta q=\alpha {\frac {\partial G}{\partial p}}(q,p,t)\quad {\text{and}}\quad \delta p=-\alpha {\frac {\partial G}{\partial q}}(q,p,t),\\\end{aligned}}}$

o como en forma matricial. ${\displaystyle \delta \eta =\alpha J\nabla _{\eta }G}$

Para cualquier función , cambia bajo la vista activa de la transformación según: ${\displaystyle u(\eta )}$

${\displaystyle \delta u=u(\eta +\delta \eta )-u(\eta )=(\nabla _{\eta }u)^{T}\delta \eta =\alpha (\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }G)=\alpha \{u,G\}.}$

Considerando el cambio de los hamiltonianos en la visión activa , es decir. para un punto fijo,

$${\displaystyle K(Q=q_{0},P=p_{0},t)-H(q=q_{0},p=p_{0},t)=\left(H(q_{0}',p_{0}',t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\right)-H(q_{0},p_{0},t)=-\delta H+\alpha {\frac {\partial G}{\partial t}}=\alpha \left(\{G,H\}+{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)=\alpha {\frac {dG}{dt}}}$$

${\textstyle (q=q_{0}',p=p_{0}')}$ ${\textstyle (Q=q_{0},P=p_{0})}$ ${\displaystyle G(q,P,t)}$ ${\displaystyle G(q,p,t)}$ ${\displaystyle \alpha }$

Ejemplos de TIC

Evolución del tiempo

Tomando y , entonces . Por tanto, la aplicación continua de dicha transformación asigna las coordenadas a . Por lo tanto, si el hamiltoniano es invariante en la traducción del tiempo, es decir. no tiene una dependencia explícita del tiempo, su valor se conserva para el movimiento. ${\displaystyle G(q,p,t)=H(q,p,t)}$ ${\displaystyle \alpha =dt}$ ${\displaystyle \delta \eta =(J\nabla _{\eta }H)dt={\dot {\eta }}dt=d\eta }$ ${\displaystyle \eta (\tau )}$ ${\displaystyle \eta (\tau +t)}$

Traducción

Tomando , y . Por tanto, el momento canónico genera un desplazamiento en la coordenada generalizada correspondiente y si el hamiltoniano es invariante de traslación, el momento es una constante de movimiento. ${\displaystyle G(q,p,t)=p_{k}}$ ${\displaystyle \delta p_{i}=0}$ ${\displaystyle \delta q_{i}=\alpha \delta _{ik}}$

Rotación

Considere un sistema ortogonal para un sistema de N-partículas:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\mathbf {q} =\left(x_{1},y_{1},z_{1},\ldots ,x_{n},y_{n},z_{n}\right),}\\{\mathbf {p} =\left(p_{1x},p_{1y},p_{1z},\ldots ,p_{nx},p_{ny},p_{nz}\right).}\end{array}}}$

Eligiendo que el generador sea: y el valor infinitesimal de , entonces el cambio en las coordenadas viene dado para x por: ${\displaystyle G=L_{z}=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}p_{iy}-y_{i}p_{ix}\right)}$ ${\displaystyle \alpha =\delta \phi }$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\delta x_{i}=\{x_{i},G\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}\{x_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}(\underbrace {\{x_{i},x_{j}p_{jy}\}} _{=0}-{\{x_{i},y_{j}p_{jx}\}}})\delta \phi \\{=\displaystyle -\sum _{j}y_{j}\underbrace {\{x_{i},p_{jx}\}} _{=\delta _{ij}}\delta \phi =-y_{i}\delta \phi }\end{array}}}$

y de manera similar para y:

${\displaystyle {\begin{array}{c}\delta y_{i}=\{y_{i},G\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}\{y_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}(\{y_{i},x_{j}p_{jy}\}-\underbrace {\{y_{i},y_{j}p_{jx}\}} _{=0})\delta \phi \\{=\displaystyle \sum _{j}x_{j}\underbrace {\{y_{i},p_{jy}\}} _{=\delta _{ij}}\delta \phi =x_{i}\delta \phi \,,}\end{array}}}$

mientras que la componente z de todas las partículas no cambia: . ${\displaystyle \delta z_{i}=\left\{z_{i},G\right\}\delta \phi =\sum _{j}\left\{z_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\right\}\delta \phi =0}$

Estas transformaciones corresponden a la rotación alrededor del eje z por ángulo en su aproximación de primer orden. Por tanto, la aplicación repetida de la transformación canónica infinitesimal genera una rotación del sistema de partículas alrededor del eje z. Si el hamiltoniano es invariante bajo rotación según el eje z, el generador, el componente del momento angular a lo largo del eje de rotación, es un invariante de movimiento. ^[20] ${\displaystyle \delta \phi }$

El movimiento como transformación canónica

El movimiento en sí (o, de manera equivalente, un cambio en el origen del tiempo) es una transformación canónica. Si y , entonces el principio de Hamilton se cumple automáticamente ${\displaystyle \mathbf {Q} (t)\equiv \mathbf {q} (t+\tau )}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (t)\equiv \mathbf {p} (t+\tau )}$

$${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt=\delta \int _{t_{1}+\tau }^{t_{2}+\tau }\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t+\tau )\right]dt=0}$$

el principio de Hamilton ${\displaystyle (\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))}$

Ejemplos

• La traslación donde hay dos vectores constantes es una transformación canónica. En efecto, la matriz jacobiana es la identidad, que es simpléctica: . ${\displaystyle \mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {q} +\mathbf {a} ,\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ ${\displaystyle I^{\text{T}}JI=J}$
• Conjunto y , la transformación donde hay una matriz de rotación de orden 2 es canónica. Teniendo en cuenta que obedecen matrices ortogonales especiales, es fácil ver que el jacobiano es simpléctico. Sin embargo, este ejemplo sólo funciona en la dimensión 2: es el único grupo ortogonal especial en el que cada matriz es simpléctica. Tenga en cuenta que la rotación aquí actúa sobre y no sobre e independientemente, por lo que no son lo mismo que una rotación física de un sistema de coordenadas espaciales ortogonal. ${\displaystyle \mathbf {x} =(q,p)}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =(Q,P)}$ ${\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {x} )=R\mathbf {x} }$ ${\displaystyle R\in SO(2)}$ ${\displaystyle R^{\text{T}}R=I}$ ${\displaystyle SO(2)}$ ${\displaystyle (q,p)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$
• La transformación , donde es una función arbitraria de , es canónica. De hecho, la matriz jacobiana está dada por ${\displaystyle (Q(q,p),P(q,p))=(q+f(p),p)}$ ${\displaystyle f(p)}$ ${\displaystyle p}$
  $${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}={\begin{bmatrix}1&f'(p)\\0&1\end{bmatrix}}}$$
  lo cual es simplético.

Descripción matemática moderna

En términos matemáticos, las coordenadas canónicas son cualquier coordenada en el espacio de fase ( haz cotangente ) del sistema que permite escribir la forma única canónica como

$${\displaystyle \sum _{i}p_{i}\,dq^{i}}$$

forma exactatransformación canónicacoordenadas generalizadas qsuperíndicesubíndicepropiedades de transformación contravariantenosobre simplectomorfismo ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$

Historia

La primera gran aplicación de la transformación canónica fue en 1846, por Charles Delaunay , en el estudio del sistema Tierra-Luna-Sol . Este trabajo dio lugar a la publicación de un par de grandes volúmenes como Mémoires por la Academia de Ciencias de Francia , en 1860 y 1867.

Ver también

• simplectomorfismo
• Ecuación de Hamilton-Jacobi
• Teorema de Liouville (hamiltoniano)
• Transformación de Mathieu
• Transformación canónica lineal

Notas

1. Goldstein, Poole y Safko 2007, pág. 370
2. Goldstein, Poole y Safko 2007, pág. 381-384
3. Giacaglia 1972, pag. 8-9
4. Lemos 2018, pag. 255
5. Mano y pinzón 1999, pag. 250-251
6. Lanczos 2012, pag. 121
7. Gupta y Gupta 2008, pág. 304
8. Lurie 2002, pag. 337
9. Lurie 2002, pag. 548-550
10. Goldstein, Poole y Safko 2007, pág. 373
11. Juan 2005, pag. 438
12. Lurie 2002, pag. 547
13. Sudarshan y Mukunda 2010, pág. 58
14. Juan 2005, pag. 437-439
15. Sudarshan y Mukunda 2010, págs. 58–60
16. Giacaglia 1972, pag. 18-19
17. Goldstein, Poole y Safko 2007, pág. 383
18. Giacaglia 1972, pag. 16-17
19. Juan 2005, pag. 452-454
20. Hergert, Heiko (10 de diciembre de 2021). "PHY422/820: Mecánica clásica" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 22 de diciembre de 2023 . Consultado el 22 de diciembre de 2023 .

Referencias

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• Giacaglia, Georgio Eugenio Oscare (1972). Métodos de perturbación en sistemas no lineales . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-90054-3. LCCN  72-87714.
• Lanczos, Cornelio (24 de abril de 2012). Los principios variacionales de la mecánica. Corporación de mensajería. ISBN 978-0-486-13470-3.
• Lurie, Anatolii I. (2002). Mecánica analítica (1ª ed.). Springer-Verlag Berlín. ISBN 978-3-642-53650-2.
• Gupta, Praveen P.; Gupta, Sanjay (2008). Dinámica rígida (10ª ed.). Medios de Krishna Prakashan.
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• Lemos, Nivaldo A (2018). Mecánica analítica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-108-41658-0.
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• Sudarshan, EC George; Mukunda, N (2010). Dinámica clásica: una perspectiva moderna. Wiley. ISBN 9780471835400.