En matemáticas , un simplectomorfismo o mapa simpléctico es un isomorfismo en la categoría de variedades simplécticas . En mecánica clásica , un simplectomorfismo representa una transformación del espacio de fases que preserva el volumen y preserva la estructura simpléctica del espacio de fases, y se llama transformación canónica .
Un difeomorfismo entre dos variedades simplécticas se llama simplectomorfismo si
¿ Dónde está el retroceso de ? Los difeomorfismos simplécticos de a son un (pseudo) grupo, llamado grupo de simplectomorfismos (ver más abajo).
La versión infinitesimal de los simplectomorfismos da los campos vectoriales simplécticos. Un campo vectorial se llama simpléctico si
Además, es simpléctico si el flujo de es un simplectomorfismo para cada . Estos campos vectoriales construyen una subálgebra de Lie de . Aquí, es el conjunto de campos vectoriales suaves en y es la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial.
Ejemplos de simplectomorfismos incluyen las transformaciones canónicas de la mecánica clásica y la física teórica , el flujo asociado a cualquier función hamiltoniana, el mapa sobre haces cotangentes inducido por cualquier difeomorfismo de variedades y la acción coadjunta de un elemento de un grupo de Lie en una órbita coadjunta .
Cualquier función suave en una variedad simpléctica da lugar, por definición, a un campo vectorial hamiltoniano y el conjunto de todos esos campos vectoriales forman una subálgebra del álgebra de Lie de campos vectoriales simplécticos . La integración del flujo de un campo vectorial simpléctico es un simplectomorfismo. Dado que los simplectomorfismos conservan la forma 2 simpléctica y, por tanto, la forma de volumen simpléctica , se sigue el teorema de Liouville en mecánica hamiltoniana . Los simplectomorfismos que surgen de campos vectoriales hamiltonianos se conocen como simplectomorfismos hamiltonianos.
Dado que { H , H } = X H ( H ) = 0, el flujo de un campo vectorial hamiltoniano también conserva H. En física esto se interpreta como la ley de conservación de la energía .
Si el primer número de Betti de una variedad simpléctica conectada es cero, los campos vectoriales simplécticos y hamiltonianos coinciden, por lo que las nociones de isotopía hamiltoniana e isotopía simpléctica de simplectomorfismos coinciden.
Se puede demostrar que las ecuaciones para una geodésica se pueden formular como un flujo hamiltoniano, ver Geodésicas como flujos hamiltonianos .
Los simplectomorfismos de una variedad sobre sí misma forman un pseudogrupo de dimensión infinita . El álgebra de Lie correspondiente consta de campos vectoriales simplécticos. Los simplectomorfismos hamiltonianos forman un subgrupo, cuyo álgebra de Lie viene dada por los campos vectoriales hamiltonianos. Este último es isomorfo al álgebra de Lie de funciones suaves en la variedad con respecto al soporte de Poisson , módulo de las constantes.
El grupo de simplectomorfismos hamiltonianos de generalmente se denota como .
Los grupos de difeomorfismos hamiltonianos son simples , según un teorema de Banyaga . [1] Tienen geometría natural dada por la norma Hofer. El tipo de homotopía del grupo de simplectomorfismo para ciertas variedades simplécticas simples , como el producto de esferas , se puede calcular utilizando la teoría de curvas pseudoholomórficas de Gromov .
A diferencia de las variedades de Riemann , las variedades simplécticas no son muy rígidas: el teorema de Darboux muestra que todas las variedades simplécticas de la misma dimensión son localmente isomorfas. Por el contrario, las isometrías en la geometría de Riemann deben preservar el tensor de curvatura de Riemann , que es, por tanto, un invariante local de la variedad de Riemann. Además, cada función H en una variedad simpléctica define un campo vectorial hamiltoniano X H , que se exponencia a un grupo de un parámetro de difeomorfismos hamiltonianos. De ello se deduce que el grupo de simplectomorfismos es siempre muy grande y, en particular, de dimensión infinita. Por otro lado, el grupo de isometrías de una variedad de Riemann es siempre un grupo de Lie (de dimensión finita) . Además, las variedades de Riemann con grandes grupos de simetría son muy especiales, y una variedad de Riemann genérica no tiene simetrías no triviales.
Las representaciones de subgrupos de dimensión finita del grupo de simplectomorfismos (después de las deformaciones ħ, en general) en espacios de Hilbert se denominan cuantizaciones . Cuando el grupo de Lie es el definido por un hamiltoniano, se denomina "cuantización por energía". El operador correspondiente del álgebra de Lie al álgebra de Lie de operadores lineales continuos también se denomina a veces cuantificación ; esta es una forma más común de verlo en física.
Una célebre conjetura de Vladimir Arnold relaciona el número mínimo de puntos fijos para un simplectomorfismo hamiltoniano , en caso de que sea una variedad simpléctica compacta , con la teoría de Morse (ver [2] ). Más precisamente, la conjetura establece que tiene al menos tantos puntos fijos como puntos críticos debe tener una función suave . Se ha demostrado cierta versión más débil de esta conjetura: cuando es "no degenerada", el número de puntos fijos está limitado desde abajo por la suma de los números de Betti de (ver, [3] [4] ). El desarrollo más importante en geometría simpléctica desencadenado por esta famosa conjetura es el nacimiento de la homología de Floer (ver [5] ), que lleva el nombre de Andreas Floer .
"Simplectomorfismo" es una palabra que aparece en un crucigrama del episodio 1 del anime Spy × Family . [6]
