Paquete cotangente

Haz vectorial de espacios cotangentes en cada punto de una variedad

En matemáticas , especialmente en geometría diferencial , el paquete cotangente de una variedad suave es el paquete vectorial de todos los espacios cotangentes en cada punto de la variedad. Puede describirse también como el paquete dual al paquete tangente . Esto se puede generalizar a categorías con más estructura que las variedades suaves, como las variedades complejas o (en forma de haz cotangente) variedades o esquemas algebraicos . En el caso suave, cualquier forma métrica o simpléctica de Riemann da un isomorfismo entre el paquete cotangente y el paquete tangente, pero en general no son isomórficos en otras categorías.

Definición formal mediante morfismo diagonal.

Hay varias formas equivalentes de definir el paquete cotangente. Una forma es mediante un mapeo diagonal Δ y gérmenes .

Sea M una variedad suave y sea M × M el producto cartesiano de M consigo mismo. El mapeo diagonal Δ envía un punto p en M al punto ( p , p ) de M × M. La imagen de Δ se llama diagonal. Sea el haz de gérmenes de funciones suaves en M × M que desaparecen en la diagonal. Entonces, el haz de cocientes consta de clases de equivalencia de funciones que desaparecen en los términos de orden superior del módulo diagonal. La gavilla cotangente se define como el retroceso de esta gavilla a M : ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$

${\displaystyle \Gamma T^{*}M=\Delta ^{*}\left({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\right).}$

Según el teorema de Taylor , se trata de un haz de módulos localmente libre con respecto al haz de gérmenes de funciones suaves de M. Por tanto, define un paquete vectorial en M : el paquete cotangente .

Las secciones suaves del haz cotangente se denominan formas unidireccionales (diferenciales) .

Propiedades de contravarianza

Un morfismo suave de variedades induce una gavilla de retroceso en M . Hay un mapa inducido de haces de vectores . ${\displaystyle \phi \colon M\to N}$ ${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$ ${\displaystyle \phi ^{*}(T^{*}N)\to T^{*}M}$

Ejemplos

El paquete tangente del espacio vectorial es y el paquete cotangente es , donde denota el espacio dual de covectores, funciones lineales . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T\,\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times (\mathbb {R} ^{n})^{*}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{*}}$ ${\displaystyle v^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

Dada una variedad suave incrustada como una hipersuperficie representada por el lugar de fuga de una función con la condición de que el paquete tangente sea ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle \nabla f\neq 0,}$

${\displaystyle TM=\{(x,v)\in T\,\mathbb {R} ^{n}\ :\ f(x)=0,\ \,df_{x}(v)=0\},}$

¿ Dónde está la derivada direccional ? Por definición, el paquete cotangente en este caso es ${\displaystyle df_{x}\in T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle df_{x}(v)=\nabla \!f(x)\cdot v}$

${\displaystyle T^{*}M={\bigl \{}(x,v^{*})\in T^{*}\mathbb {R} ^{n}\ :\ f(x)=0,\ v^{*}\in T_{x}^{*}M{\bigr \}},}$

donde Dado que cada covector corresponde a un vector único para el cual para un arbitrario ${\displaystyle T_{x}^{*}M=\{v\in T_{x}\mathbb {R} ^{n}\ :\ df_{x}(v)=0\}^{*}.}$ ${\displaystyle v^{*}\in T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle v\in T_{x}M}$ ${\displaystyle v^{*}(u)=v\cdot u,}$ ${\displaystyle u\in T_{x}M,}$

${\displaystyle T^{*}M={\bigl \{}(x,v^{*})\in T^{*}\mathbb {R} ^{n}\ :\ f(x)=0,\ v\in T_{x}\mathbb {R} ^{n},\ df_{x}(v)=0{\bigr \}}.}$

El paquete cotangente como espacio de fase.

Dado que el paquete cotangente X = T * M es un paquete vectorial , puede considerarse como una variedad por derecho propio. Debido a que en cada punto las direcciones tangentes de M pueden emparejarse con sus covectores duales en la fibra, X posee una forma única canónica θ llamada forma única tautológica , que se analiza a continuación. La derivada exterior de θ es una forma 2 simpléctica , a partir de la cual se puede construir una forma de volumen no degenerada para X. Por ejemplo, como resultado X es siempre una variedad orientable (el paquete tangente TX es un paquete vectorial orientable). Se puede definir un conjunto especial de coordenadas en el paquete cotangente; éstas se denominan coordenadas canónicas . Debido a que los paquetes cotangentes pueden considerarse variedades simplécticas , cualquier función real en el paquete cotangente puede interpretarse como un hamiltoniano ; por tanto, se puede entender que el paquete cotangente es un espacio de fase en el que se desarrolla la mecánica hamiltoniana .

La forma única tautológica

El paquete cotangente lleva una forma única canónica θ también conocida como potencial simpléctico , forma Poincaré 1 o forma Liouville 1 . Esto significa que si consideramos T * M como una variedad por derecho propio, hay una sección canónica del paquete de vectores T *( T * M ) sobre T * M .

Esta sección se puede construir de varias maneras. El método más elemental utiliza coordenadas locales. Supongamos que x ⁱ son coordenadas locales en la variedad base M. En términos de estas coordenadas base, existen coordenadas de fibra p _i  : una forma única en un punto particular de T * M tiene la forma ^p i _dxi  ( convención de suma de Einstein implícita). Entonces, la variedad T * M lleva coordenadas locales ( x ⁱ , p _i ) donde las x son coordenadas en la base y las p son coordenadas en la fibra. La forma única canónica está dada en estas coordenadas por

${\displaystyle \theta _{(x,p)}=\sum _{{\mathfrak {i}}=1}^{n}p_{i}\,dx^{i}.}$

Intrínsecamente, el valor de la forma única canónica en cada punto fijo de T*M se da como un retroceso . Específicamente, supongamos que π : T*M → M es la proyección del paquete. Tomar un punto en T _x * M es lo mismo que elegir un punto x en M y una forma única ω en x , y la forma única tautológica θ asigna al punto ( x , ω) el valor

${\displaystyle \theta _{(x,\omega )}=\pi ^{*}\omega .}$

Es decir, para un vector v en el paquete tangente del paquete cotangente, la aplicación de la forma única tautológica θ a v en ( x , ω) se calcula proyectando v en el paquete tangente en x usando d π : T ( T * M ) → TM y aplicando ω a esta proyección. Tenga en cuenta que la forma única tautológica no es un retroceso de una forma única en la base M.

forma simpléctica

El paquete cotangente tiene una forma 2 simpléctica canónica , como derivado exterior de la forma única tautológica , el potencial simpléctico . Se puede demostrar que esta forma es, de hecho, simpléctica observando que ser simpléctica es una propiedad local: dado que el paquete cotangente es localmente trivial, esta definición sólo necesita verificarse . Pero allí la única forma definida es la suma de , y el diferencial es la forma simpléctica canónica, la suma de . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle y_{i}\,dx_{i}}$ ${\displaystyle dy_{i}\land dx_{i}}$

Espacio de fase

Si la variedad representa el conjunto de posiciones posibles en un sistema dinámico , entonces el paquete cotangente puede considerarse como el conjunto de posiciones y momentos posibles . Por ejemplo, ésta es una forma de describir el espacio de fases de un péndulo. El estado del péndulo está determinado por su posición (un ángulo) y su momento (o equivalentemente, su velocidad, ya que su masa es constante). Todo el espacio de estados parece un cilindro, que es el paquete cotangente del círculo. La construcción simpléctica anterior, junto con una función energética apropiada , proporciona una determinación completa de la física del sistema. Consulte la mecánica hamiltoniana y el artículo sobre flujo geodésico para obtener una construcción explícita de las ecuaciones de movimiento hamiltonianas. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \!\,T^{*}\!M}$

Ver también

• Transformación de Legendre

Referencias

• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de la Mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
• Jost, Jürgen (2002). Geometría Riemanniana y Análisis Geométrico . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-63654-4.
• Cantante, Stephanie Frank (2001). Simetría en mecánica: una suave introducción moderna . Boston: Birkhäuser.