Oscilador armónico cuántico

Modelo de mecánica cuántica importante y bien comprendido

Algunas trayectorias de un oscilador armónico según las leyes de la mecánica clásica de Newton (A – B) y según la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica (C – H). En A–B, la partícula (representada como una bola unida a un resorte ) oscila hacia adelante y hacia atrás. En C–H, se muestran algunas soluciones a la ecuación de Schrödinger, donde el eje horizontal es la posición y el eje vertical es la parte real (azul) o la parte imaginaria (roja) de la función de onda . C, D, E, F, pero no G, H, son estados propios de energía . H es un estado coherente , un estado cuántico que se aproxima a la trayectoria clásica.

El oscilador armónico cuántico es el análogo mecánico-cuántico del oscilador armónico clásico . Debido a que un potencial suave arbitrario generalmente puede aproximarse como un potencial armónico en las proximidades de un punto de equilibrio estable , es uno de los sistemas modelo más importantes en mecánica cuántica. Además, es uno de los pocos sistemas mecánico-cuánticos para los que se conoce una solución analítica exacta. ^{[1] [2] [3]}

Oscilador armónico unidimensional

Estados propios hamiltonianos y energéticos

Representaciones de funciones de onda para los primeros ocho estados propios vinculados, n = 0 a 7. El eje horizontal muestra la posición x .

Densidades de probabilidad correspondientes.

El hamiltoniano de la partícula es: donde m es la masa de la partícula, k es la constante de fuerza, es la frecuencia angular del oscilador, es el operador de posición (dado por x en la base de coordenadas) y es el operador de momento (dado por en la base de coordenadas). El primer término en el hamiltoniano representa la energía cinética de la partícula, y el segundo término representa su energía potencial, como en la ley de Hooke . ^[4] $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}k{\hat {x}}^{2}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}\,,}$$ ${\textstyle \omega ={\sqrt {k/m}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \,\partial /\partial x}$

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es donde denota un número real (que debe determinarse) que especificará un nivel de energía o valor propio independiente del tiempo , y la solución denota el estado propio de energía de ese nivel . ^[5] $${\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle ~,}$$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Luego resuelve la ecuación diferencial que representa este problema de valores propios en la base de coordenadas, para la función de onda , usando un método espectral . Resulta que existe una familia de soluciones. En este sentido, equivalen a funciones de Hermite , ^{[6] [7]} ${\displaystyle \langle x|\psi \rangle =\psi (x)}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}\,n!}}}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad n=0,1,2,\ldots .}$$

Las funciones H _n son los polinomios de Hermite de los físicos , $${\displaystyle H_{n}(z)=(-1)^{n}~e^{z^{2}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left(e^{-z^{2}}\right).}$$

Los niveles de energía correspondientes son ^[8] Los valores esperados de posición y momento combinados con la varianza de cada variable se pueden derivar de la función de onda para comprender el comportamiento de los mercados propios de energía. Se demuestra que son y debido a la simetría del problema, mientras que: $${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega {\bigl (}n+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$$ ${\textstyle \langle {\hat {x}}\rangle =0}$ ${\textstyle \langle {\hat {p}}\rangle =0}$

${\displaystyle \langle {\hat {x}}^{2}\rangle =(2n+1){\frac {\hbar }{2m\omega }}=\sigma _{x}^{2}}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}^{2}\rangle =(2n+1){\frac {m\hbar \omega }{2}}=\sigma _{p}^{2}}$

Se observa que la variación tanto en la posición como en el impulso aumenta para niveles de energía más altos. El nivel de energía más bajo tiene un valor cuyo valor es mínimo debido a la relación de incertidumbre y también corresponde a una función de onda gaussiana. ^[9] ${\textstyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}}$

Este espectro energético es digno de mención por tres razones. Primero, las energías están cuantificadas, lo que significa que sólo son posibles valores de energía discretos (múltiplos enteros más mitades de ħω ); ésta es una característica general de los sistemas mecánico-cuánticos cuando una partícula está confinada. En segundo lugar, estos niveles de energía discretos están igualmente espaciados, a diferencia del modelo de Bohr del átomo o de la partícula en una caja . En tercer lugar, la energía más baja alcanzable (la energía del estado n = 0 , llamado estado fundamental ) no es igual al mínimo del pozo potencial, sino ħω /2 por encima de él; esto se llama energía de punto cero . Debido a la energía del punto cero, la posición y el momento del oscilador en el estado fundamental no son fijos (como lo serían en un oscilador clásico), sino que tienen un pequeño rango de variación, de acuerdo con el principio de incertidumbre de Heisenberg .

La densidad de probabilidad del estado fundamental se concentra en el origen, lo que significa que la partícula pasa la mayor parte de su tiempo en el fondo del pozo potencial, como cabría esperar de un estado con poca energía. A medida que aumenta la energía, la densidad de probabilidad alcanza su punto máximo en los "puntos de inflexión" clásicos, donde la energía del estado coincide con la energía potencial. (Véase la discusión a continuación sobre los estados altamente excitados.) Esto es consistente con el oscilador armónico clásico, en el que la partícula pasa más tiempo (y por lo tanto es más probable que se encuentre) cerca de los puntos de inflexión, donde mueve el eje. el más lento. Se cumple así el principio de correspondencia . Además, los paquetes de ondas especiales no dispersivos , con una incertidumbre mínima, llamados estados coherentes, oscilan de forma muy parecida a los objetos clásicos, como se ilustra en la figura; no son estados propios del hamiltoniano.

Método del operador de escalera

Densidades de probabilidad | ψ _norte ( x )| ² para los estados propios ligados, comenzando con el estado fundamental ( n = 0) en la parte inferior y aumentando en energía hacia la parte superior. El eje horizontal muestra la posición x y los colores más brillantes representan densidades de probabilidad más altas.

El método del " operador de escalera ", desarrollado por Paul Dirac , permite extraer los valores propios de energía sin resolver directamente la ecuación diferencial. ^[10] Es generalizable a problemas más complicados, especialmente en la teoría cuántica de campos . Siguiendo este enfoque, definimos los operadores a y su adjunto a ^† . Tenga en cuenta que estos operadores clásicamente son exactamente los generadores de rotación normalizada en el espacio de fase de y , es decir, describen la evolución hacia adelante y hacia atrás en el tiempo de un oscilador armónico clásico. ^{[ se necesita aclaración ]} $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\a^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m{\frac {dx}{dt}}}$

Estos operadores conducen a la siguiente representación de y , ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a^{\dagger }+a)\\{\hat {p}}&=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}(a^{\dagger }-a)~.\end{aligned}}}$$

El operador a no es hermitiano , ya que él mismo y su adjunto a ^† no son iguales. Los estados propios de la energía | n ⟩ , cuando lo operen estos operadores de escalera, dé $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\a|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}}$$

A partir de las relaciones anteriores, también podemos definir un operador numérico N , que tiene la siguiente propiedad: $${\displaystyle {\begin{aligned}N&=a^{\dagger }a\\N\left|n\right\rangle &=n\left|n\right\rangle .\end{aligned}}}$$

Los siguientes conmutadores se pueden obtener fácilmente sustituyendo la relación de conmutación canónica , $${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=1,\qquad [N,a^{\dagger }]=a^{\dagger },\qquad [N,a]=-a,}$$

y el operador de Hamilton se puede expresar como $${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right),}$$

entonces los estados propios de N son también los estados propios de la energía. Para ver eso, podemos aplicarlo a un estado numérico : ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle |n\rangle }$

$${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =\hbar \omega \left({\hat {N}}+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle .}$$

Usando la propiedad del operador numérico : ${\displaystyle {\hat {N}}}$

$${\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle ,}$$

obtenemos:

$${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle .}$$

Así, dado que resuelve el TISE para el operador hamiltoniano , también es uno de sus estados propios con el valor propio correspondiente: ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right).}$$

QED.

La propiedad de conmutación produce $${\displaystyle {\begin{aligned}Na^{\dagger }|n\rangle &=\left(a^{\dagger }N+[N,a^{\dagger }]\right)|n\rangle \\&=\left(a^{\dagger }N+a^{\dagger }\right)|n\rangle \\&=(n+1)a^{\dagger }|n\rangle ,\end{aligned}}}$$

y de manera similar, $${\displaystyle Na|n\rangle =(n-1)a|n\rangle .}$$

Esto significa que a actúa sobre | n ⟩ para producir, hasta una constante multiplicativa, | n –1⟩ y a ^† actúa sobre | n ⟩ producir | norte +1⟩ . Por esta razón, a se denomina operador de aniquilación ("operador de descenso") y a ^† operador de creación ("operador de aumento"). Los dos operadores juntos se denominan operadores de escalera .

Dado cualquier estado propio de energía, podemos actuar sobre él con el operador reductor, a , para producir otro estado propio con ħω menos energía. Mediante la aplicación repetida del operador decreciente, parece que podemos producir estados propios de energía hasta E = −∞ . Sin embargo, desde $${\displaystyle n=\langle n|N|n\rangle =\langle n|a^{\dagger }a|n\rangle ={\Bigl (}a|n\rangle {\Bigr )}^{\dagger }a|n\rangle \geqslant 0,}$$

el valor propio más pequeño del operador numérico es 0, y $${\displaystyle a\left|0\right\rangle =0.}$$

En este caso, las aplicaciones posteriores del operador de reducción simplemente producirán cero, en lugar de estados propios de energía adicionales. Además, hemos demostrado anteriormente que $${\displaystyle {\hat {H}}\left|0\right\rangle ={\frac {\hbar \omega }{2}}\left|0\right\rangle }$$

Finalmente, actuando sobre |0⟩ con el operador elevador y multiplicando por factores de normalización adecuados , podemos producir un conjunto infinito de estados propios de energía. $${\displaystyle \left\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle ,\left|2\right\rangle ,\ldots ,\left|n\right\rangle ,\ldots \right\},}$$

tal que coincida con el espectro de energía indicado en el apartado anterior. $${\displaystyle {\hat {H}}\left|n\right\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left|n\right\rangle ,}$$

Los estados propios arbitrarios se pueden expresar en términos de |0⟩, ^[11] $${\displaystyle |n\rangle ={\frac {(a^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0\rangle .}$$

Prueba

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle n|aa^{\dagger }|n\rangle &=\langle n|\left([a,a^{\dagger }]+a^{\dagger }a\right)\left|n\right\rangle =\langle n|\left(N+1\right)|n\rangle =n+1\\[1ex]\Rightarrow a^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\[1ex]\Rightarrow |n\rangle &={\frac {1}{\sqrt {n}}}a^{\dagger }\left|n-1\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n(n-1)}}}\left(a^{\dagger }\right)^{2}\left|n-2\right\rangle =\cdots ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left(a^{\dagger }\right)^{n}\left|0\right\rangle .\end{aligned}}}$$

Preguntas analíticas

El análisis anterior es algebraico y utiliza únicamente las relaciones de conmutación entre los operadores de subida y bajada. Una vez completado el análisis algebraico, se debe pasar a las preguntas analíticas. Primero, se debe encontrar el estado fundamental, es decir, la solución de la ecuación . En la representación de posición, esta es la ecuación diferencial de primer orden cuya solución se encuentra fácilmente como gaussiana ^{[nb 1].} Conceptualmente, es importante que solo haya una solución para esta ecuación; si hubiera, digamos, dos estados fundamentales linealmente independientes, obtendríamos dos cadenas independientes de vectores propios para el oscilador armónico. Una vez que se calcula el estado fundamental, se puede demostrar inductivamente que los estados excitados son polinomios de Hermite multiplicados por el estado fundamental gaussiano, utilizando la forma explícita del operador de elevación en la representación de la posición. También se puede demostrar que, como se esperaba de la unicidad del estado fundamental, los estados propios de energía de las funciones de Hermite construidos mediante el método de escalera forman un conjunto ortonormal completo de funciones. ^[12] ${\displaystyle a\psi _{0}=0}$ $${\displaystyle \left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)\psi _{0}=0,}$$ $${\displaystyle \psi _{0}(x)=Ce^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}.}$$ ${\displaystyle \psi _{n}}$

Conectándose explícitamente con la sección anterior, el estado fundamental |0⟩ en la representación de la posición está determinado por , por lo tanto , y así sucesivamente. ${\displaystyle a|0\rangle =0}$ $${\displaystyle \left\langle x\mid a\mid 0\right\rangle =0\qquad \Rightarrow \left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)\left\langle x\mid 0\right\rangle =0\qquad \Rightarrow }$$ $${\displaystyle \left\langle x\mid 0\right\rangle =\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}\exp \left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}x^{2}\right)=\psi _{0}~,}$$ $${\displaystyle \langle x\mid a^{\dagger }\mid 0\rangle =\psi _{1}(x)~,}$$ ${\displaystyle \psi _{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger }\mid 0\rangle }$

Escalas naturales de longitud y energía.

El oscilador armónico cuántico posee escalas naturales de longitud y energía, que pueden utilizarse para simplificar el problema. Estos se pueden encontrar mediante adimensionalización .

El resultado es que, si la energía se mide en unidades de ħω y la distancia en unidades de √ ħ /( mω ) , entonces el hamiltoniano se simplifica a mientras que las funciones propias y los valores propios de energía se simplifican a funciones de Hermite y números enteros desplazados a la mitad, donde H _n ( x ) son los polinomios de Hermite . $${\displaystyle H=-{\frac {1}{2}}{d^{2} \over dx^{2}}+{\frac {1}{2}}x^{2},}$$ $${\displaystyle \psi _{n}(x)=\left\langle x\mid n\right\rangle ={1 \over {\sqrt {2^{n}n!}}}~\pi ^{-1/4}\exp(-x^{2}/2)~H_{n}(x),}$$ $${\displaystyle E_{n}=n+{\tfrac {1}{2}}~,}$$

Para evitar confusión, estas "unidades naturales" en su mayoría no se adoptarán en este artículo. Sin embargo, suelen resultar útiles a la hora de realizar cálculos, evitando el desorden.

Por ejemplo, la solución fundamental ( propagador ) de H − i∂ _t , el operador de Schrödinger dependiente del tiempo para este oscilador, simplemente se reduce al núcleo de Mehler , ^{[13] [14]} donde K ( x , y ;0) = δ ( x - y ) . La solución más general para una configuración inicial dada ψ ( x ,0) es simplemente $${\displaystyle \langle x\mid \exp(-itH)\mid y\rangle \equiv K(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi i\sin t}}}\exp \left({\frac {i}{2\sin t}}\left((x^{2}+y^{2})\cos t-2xy\right)\right)~,}$$ $${\displaystyle \psi (x,t)=\int dy~K(x,y;t)\psi (y,0)\,.}$$

Estados coherentes

Evolución temporal de la distribución de probabilidad (y fase, mostrada en color) de un estado coherente con | α |=3.

Los estados coherentes (también conocidos como estados de Glauber) del oscilador armónico son paquetes de ondas especiales no dispersivos , con incertidumbre mínima σ _x σ _p = ℏ ⁄ 2 , cuyos valores esperados de los observables evolucionan como un sistema clásico. Son vectores propios del operador de aniquilación, no del hamiltoniano, y forman una base sobrecompleta que, en consecuencia, carece de ortogonalidad. ^[15]

Los estados coherentes están indexados y expresados ​​en | n ⟩ base como ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$

$${\displaystyle |\alpha \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|\alpha \rangle =e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{\alpha a^{\dagger }}e^{-{\alpha ^{*}a}}|0\rangle .}$$

Dado que los estados coherentes no son estados propios de energía, su evolución temporal no es un simple cambio en la fase de la función de onda. Sin embargo, los estados evolucionados en el tiempo también son estados coherentes, pero en su lugar tienen el parámetro de desfase α : . ${\displaystyle \alpha (t)=\alpha (0)e^{-i\omega t}=\alpha _{0}e^{-i\omega t}}$ $${\displaystyle |\alpha (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }e^{-i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\omega t}|n\rangle \langle n|\alpha \rangle =e^{\frac {-i\omega t}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha e^{-i\omega t})^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{\frac {i\omega t}{2}}}|\alpha e^{-i\omega t}\rangle }$$

Porque y a través de la identidad de Kermack-McCrae, la última forma es equivalente a un operador de desplazamiento unitario que actúa sobre el estado fundamental: . Calculando los valores esperados: ${\displaystyle a\left|0\right\rangle =0}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle }$

${\displaystyle \langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha (t)}={\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}|\alpha _{0}|\cos {(\omega t-\phi )}}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}\rangle _{\alpha (t)}=-{\sqrt {2m\hbar \omega }}|\alpha _{0}|\sin {(\omega t-\phi )}}$

donde es la fase aportada por el complejo α . Estas ecuaciones confirman el comportamiento oscilante de la partícula. ${\displaystyle \phi }$

Las incertidumbres calculadas mediante el método numérico son:

${\displaystyle \sigma _{x}(t)={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}}$

${\displaystyle \sigma _{p}(t)={\sqrt {\frac {m\hbar \omega }{2}}}}$

lo que da . Dado que la única función de onda que puede tener una incertidumbre de posición-momento más baja, es una función de onda gaussiana, y dado que la función de onda de estado coherente tiene una incertidumbre de posición-momento mínima, observamos que la función de onda gaussiana general en mecánica cuántica tiene la forma: Sustituyendo los valores esperados en función del tiempo, da la función de onda variable en el tiempo requerida. ${\textstyle \sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}}$ ${\textstyle {\frac {\hbar }{2}}}$ $${\displaystyle \psi _{\alpha }(x')=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {i}{\hbar }}\langle {\hat {p}}\rangle _{\alpha }(x'-{\frac {\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha }}{2}})-{\frac {m\omega }{2\hbar }}(x'-\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha })^{2}}.}$$

La probabilidad de cada estado propio de energía se puede calcular para encontrar la distribución de energía de la función de onda:

${\displaystyle P(E_{n})=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}={\frac {e^{-|\alpha |^{2}}|\alpha |^{2n}}{n!}}}$

que corresponde a la distribución de Poisson .

Estados muy emocionados

Función de onda (arriba) y densidad de probabilidad (abajo) para el estado excitado n = 30 del oscilador armónico cuántico. Las líneas discontinuas verticales indican los puntos de inflexión clásicos, mientras que la línea de puntos representa la densidad de probabilidad clásica.

Cuando n es grande, los estados propios se localizan en la región clásica permitida, es decir, la región en la que una partícula clásica con energía E _n puede moverse. Los estados propios tienen su punto máximo cerca de los puntos de inflexión: los puntos en los extremos de la región clásicamente permitida donde la partícula clásica cambia de dirección. Este fenómeno se puede verificar mediante asintóticas de los polinomios de Hermite , y también mediante la aproximación WKB .

La frecuencia de oscilación en x es proporcional al momento p ( x ) de una partícula clásica de energía En _y posición x . Además, el cuadrado de la amplitud (que determina la densidad de probabilidad) es inversamente proporcional a p ( x ) , lo que refleja el tiempo que la partícula clásica pasa cerca de x . El comportamiento del sistema en una pequeña zona del punto de inflexión no tiene una explicación clásica sencilla, pero puede modelarse utilizando una función de Airy . Utilizando las propiedades de la función de Airy, se puede estimar que la probabilidad de encontrar la partícula fuera de la región clásicamente permitida es aproximadamente. Esto también viene dado, asintóticamente, por la integral $${\displaystyle {\frac {2}{n^{1/3}3^{2/3}\Gamma ^{2}({\tfrac {1}{3}})}}={\frac {1}{n^{1/3}\cdot 7.46408092658...}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{(2n+1)\left(x-{\tfrac {1}{2}}\sinh(2x)\right)}dx~.}$$

Soluciones de espacio de fase

En la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica, los estados propios del oscilador armónico cuántico en varias representaciones diferentes de la distribución de cuasiprobabilidad se pueden escribir en forma cerrada. El más utilizado de ellos es la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner .

La distribución de cuasiprobabilidad de Wigner para el estado propio de energía | n ⟩ es, en las unidades naturales descritas anteriormente, ^{[ cita necesaria ]} donde L _n son los polinomios de Laguerre . Este ejemplo ilustra cómo se vinculan los polinomios de Hermite y Laguerre a través del mapa de Wigner . $${\displaystyle F_{n}(x,p)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar }}L_{n}\left(2(x^{2}+p^{2})\right)e^{-(x^{2}+p^{2})}\,,}$$

Mientras tanto, la función Husimi Q de los estados propios del oscilador armónico tiene una forma aún más simple. Si trabajamos en las unidades naturales descritas anteriormente, tenemos Esta afirmación se puede verificar utilizando la transformada de Segal-Bargmann . Específicamente, dado que el operador elevador en la representación de Segal-Bargmann es simplemente una multiplicación por y el estado fundamental es la función constante 1, los estados del oscilador armónico normalizados en esta representación son simplemente . En este punto, podemos apelar a la fórmula de la función Q de Husimi en términos de la transformada de Segal-Bargmann. $${\displaystyle Q_{n}(x,p)={\frac {(x^{2}+p^{2})^{n}}{n!}}{\frac {e^{-(x^{2}+p^{2})}}{\pi }}}$$ ${\displaystyle z=x+ip}$ ${\displaystyle z^{n}/{\sqrt {n!}}}$

norte-oscilador armónico isotrópico dimensional

El oscilador armónico unidimensional es fácilmente generalizable a N dimensiones, donde N = 1, 2, 3,… . En una dimensión, la posición de la partícula estaba especificada por una sola coordenada , x . En N dimensiones, esto se reemplaza por N coordenadas de posición, que etiquetamos x ₁ ,…, x _N . A cada coordenada de posición le corresponde un impulso; los etiquetamos p ₁ ,…, p _N . Las relaciones de conmutación canónicas entre estos operadores son $${\displaystyle {\begin{aligned}{[}x_{i},p_{j}{]}&=i\hbar \delta _{i,j}\\{[}x_{i},x_{j}{]}&=0\\{[}p_{i},p_{j}{]}&=0\end{aligned}}}$$

El hamiltoniano de este sistema es $${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}\left({p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x_{i}^{2}\right).}$$

Como deja claro la forma de este hamiltoniano, el oscilador armónico N -dimensional es exactamente análogo a N osciladores armónicos unidimensionales independientes con la misma masa y constante de resorte. En este caso, las cantidades x ₁ , ..., x _N se referirían a las posiciones de cada una de las N partículas. Esta es una propiedad conveniente del potencial r ² , que permite separar la energía potencial en términos dependiendo de una coordenada cada uno.

Esta observación hace que la solución sea sencilla. Para un conjunto particular de números cuánticos, las funciones propias de energía para el oscilador N -dimensional se expresan en términos de funciones propias unidimensionales como: ${\displaystyle \{n\}\equiv \{n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}\}}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\psi _{\{n\}}\rangle =\prod _{i=1}^{N}\langle x_{i}\mid \psi _{n_{i}}\rangle }$$

En el método del operador de escalera, definimos N conjuntos de operadores de escalera,

$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{i}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}+{i \over m\omega }p_{i}\right),\\a_{i}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}-{i \over m\omega }p_{i}\right).\end{aligned}}}$$

Mediante un procedimiento análogo al caso unidimensional, podemos demostrar que cada uno de los operadores a _i y a ^† _i reduce y aumenta la energía en ℏω respectivamente. El hamiltoniano es Este hamiltoniano es invariante bajo el grupo de simetría dinámica U ( N ) (el grupo unitario en N dimensiones), definido por dónde es un elemento en la representación matricial definitoria de U ( N ) . $${\displaystyle H=\hbar \omega \,\sum _{i=1}^{N}\left(a_{i}^{\dagger }\,a_{i}+{\frac {1}{2}}\right).}$$ $${\displaystyle U\,a_{i}^{\dagger }\,U^{\dagger }=\sum _{j=1}^{N}a_{j}^{\dagger }\,U_{ji}\quad {\text{for all}}\quad U\in U(N),}$$ ${\displaystyle U_{ji}}$

Los niveles de energía del sistema son $${\displaystyle E=\hbar \omega \left[(n_{1}+\cdots +n_{N})+{N \over 2}\right].}$$ $${\displaystyle n_{i}=0,1,2,\dots \quad ({\text{the energy level in dimension }}i).}$$

Como en el caso unidimensional, la energía está cuantificada. La energía del estado fundamental es N veces la energía fundamental unidimensional, como esperaríamos usando la analogía con N osciladores unidimensionales independientes. Hay otra diferencia: en el caso unidimensional, cada nivel de energía corresponde a un estado cuántico único. En N dimensiones, excepto en el estado fundamental, los niveles de energía están degenerados , lo que significa que hay varios estados con la misma energía.

La degeneración se puede calcular con relativa facilidad. Como ejemplo, considere el caso tridimensional: defina n = n ₁ + n ₂ + n ₃ . Todos los estados con la misma n tendrán la misma energía. Para un n dado , elegimos un n ₁ particular . Entonces norte ₂ + norte ₃ = norte - norte ₁ . Hay n − n ₁ + 1 pares posibles { n ₂ , n ₃ } . n ₂ puede tomar los valores 0 an − n ₁ , y para cada n ₂ el valor de n ₃ es fijo. El grado de degeneración, por lo tanto, es: Fórmula para N y n generales [ siendo g _n la dimensión de la representación simétrica irreducible de n -ésima potencia del grupo unitario U ( N ) ]: El caso especial N = 3, dado anteriormente, se sigue directamente de esta ecuación general. Sin embargo, esto sólo es cierto para partículas distinguibles, o una partícula en N dimensiones (ya que las dimensiones son distinguibles). Para el caso de N bosones en una trampa armónica unidimensional, la degeneración se escala como el número de formas de dividir un número entero n usando números enteros menores o iguales que N. $${\displaystyle g_{n}=\sum _{n_{1}=0}^{n}n-n_{1}+1={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$$ $${\displaystyle g_{n}={\binom {N+n-1}{n}}}$$

$${\displaystyle g_{n}=p(N_{-},n)}$$

Esto surge debido a la restricción de poner N cuantos en un estado ket donde y , que son las mismas restricciones que en la partición de enteros. ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }kn_{k}=n}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }n_{k}=N}$

Ejemplo: oscilador armónico isotrópico 3D

Soluciones de orbitales armónicos esféricos 3D de Schrödinger en gráficos de densidad 2D; el código fuente de Mathematica que se utilizó para generar los gráficos está en la parte superior

La ecuación de Schrödinger para una partícula en un oscilador armónico tridimensional esféricamente simétrico se puede resolver explícitamente mediante la separación de variables. Este procedimiento es análogo a la separación realizada en el problema del átomo similar al hidrógeno , pero con un potencial esféricamente simétrico diferente donde μ es la masa de la partícula. Debido a que m se utilizará a continuación para el número cuántico magnético, la masa se indica con μ , en lugar de m , como anteriormente en este artículo. $${\displaystyle V(r)={1 \over 2}\mu \omega ^{2}r^{2},}$$

La solución a la ecuación es: ^[16] donde $${\displaystyle \psi _{klm}(r,\theta ,\phi )=N_{kl}r^{l}e^{-\nu r^{2}}L_{k}^{\left(l+{1 \over 2}\right)}(2\nu r^{2})Y_{lm}(\theta ,\phi )}$$

${\displaystyle N_{kl}={\sqrt {{\sqrt {\frac {2\nu ^{3}}{\pi }}}{\frac {2^{k+2l+3}\;k!\;\nu ^{l}}{(2k+2l+1)!!}}}}~~}$es una constante de normalización; ; ${\displaystyle \nu \equiv {\mu \omega \over 2\hbar }~}$

${\displaystyle {L_{k}}^{(l+{1 \over 2})}(2\nu r^{2})}$

son polinomios de Laguerre generalizados ; El orden k del polinomio es un número entero no negativo;

• ${\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )\,}$es una función armónica esférica ;
• ħ es la constante de Planck reducida : ${\displaystyle \hbar \equiv {\frac {h}{2\pi }}~.}$

El valor propio de la energía es La energía generalmente se describe mediante un único número cuántico. $${\displaystyle E=\hbar \omega \left(2k+l+{\frac {3}{2}}\right).}$$ $${\displaystyle n\equiv 2k+l\,.}$$

Debido a que k es un entero no negativo, para cada n par tenemos ℓ = 0, 2,…, n − 2, n y para cada n impar tenemos ℓ = 1, 3,…, n − 2, n . El número cuántico magnético m es un número entero que satisface − ℓ ≤ m ≤ ℓ , por lo que para cada n y ℓ hay 2 ℓ + 1 estados cuánticos  diferentes , etiquetados por m . Así, la degeneración en el nivel n es donde la suma comienza desde 0 o 1, según si n es par o impar. Este resultado está de acuerdo con la fórmula de dimensión anterior y equivale a la dimensionalidad de una representación simétrica de SU(3) , ^[17] el grupo de degeneración relevante. $${\displaystyle \sum _{l=\ldots ,n-2,n}(2l+1)={(n+1)(n+2) \over 2}\,,}$$

Aplicaciones

Red de osciladores armónicos: fonones

La notación de un oscilador armónico se puede extender a una red unidimensional de muchas partículas. Considere una cadena armónica de mecánica cuántica unidimensional de N átomos idénticos. Este es el modelo mecánico cuántico más simple de una red, y veremos cómo surgen los fonones a partir de él. El formalismo que desarrollaremos para este modelo es fácilmente generalizable a dos y tres dimensiones.

Como en la sección anterior, denotamos las posiciones de las masas por x ₁ , x ₂ ,… , medidas desde sus posiciones de equilibrio (es decir, x _i = 0 si la partícula i está en su posición de equilibrio). En dos o más dimensiones, las x _i son cantidades vectoriales. El hamiltoniano de este sistema es

$${\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{i=1}^{N}{p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(nn)}(x_{i}-x_{j})^{2}\,,}$$donde m es la masa (supuestamente uniforme) de cada átomo, y x _i y p _i son los operadores de posición y momento para el i -ésimo átomo y la suma se realiza sobre los vecinos más cercanos (nn). Sin embargo, es habitual reescribir el hamiltoniano en términos de los modos normales del vector de onda en lugar de en términos de las coordenadas de las partículas, de modo que se pueda trabajar en el espacio de Fourier, que es más conveniente .

Superposición de tres dipolos oscilantes: ilustra la propagación temporal de la función de onda común para diferentes n,l,m

Introducimos, entonces, un conjunto de N "coordenadas normales" Q _k , definidas como las transformadas discretas de Fourier de x s, y N "momentos conjugados" Π definidos como las transformadas de Fourier de p s, $${\displaystyle Q_{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}}$$ $${\displaystyle \Pi _{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}\,.}$$

La cantidad k _n resultará ser el número de onda del fonón, es decir, 2 π dividido por la longitud de onda . Toma valores cuantificados, porque el número de átomos es finito.

Esto preserva las relaciones de conmutación deseadas ya sea en el espacio real o en el espacio vectorial de onda.

Otra ilustración de la propagación temporal de la función de onda común para tres átomos diferentes enfatiza el efecto del momento angular en el comportamiento de distribución.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={1 \over N}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}[x_{l},p_{m}]\\&={i\hbar \over N}\sum _{m}e^{iam(k-k')}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0~.\end{aligned}}}$$

Del resultado general es fácil demostrar, mediante trigonometría elemental, que el término de energía potencial es donde $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={1 \over N}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}~,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{j}(x_{j}-x_{j+1})^{2}={1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={1 \over 2}m\sum _{k}{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}~,}$$ $${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}(1-\cos(ka))}}~.}$$

El hamiltoniano puede escribirse en el espacio vectorial de onda como $${\displaystyle \mathbf {H} ={1 \over {2m}}\sum _{k}\left({\Pi _{k}\Pi _{-k}}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)~.}$$

Tenga en cuenta que los acoplamientos entre las variables de posición se han transformado; si Q s y Π s fueran hermitianos (que no lo son), el hamiltoniano transformado describiría N osciladores armónicos desacoplados .

La forma de la cuantificación depende de la elección de las condiciones de contorno; Para simplificar, imponemos condiciones de contorno periódicas , definiendo el ( N + 1) -ésimo átomo como equivalente al primer átomo. Físicamente esto corresponde a unir la cadena por sus extremos. La cuantificación resultante es

$${\displaystyle k=k_{n}={2n\pi \over Na}\quad {\hbox{for}}\ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm {N \over 2}.}$$

El límite superior de n proviene de la longitud de onda mínima, que es el doble del espaciado de la red a , como se analizó anteriormente.

Los valores propios del oscilador armónico o niveles de energía para el modo ω _k son $${\displaystyle E_{n}=\left({1 \over 2}+n\right)\hbar \omega _{k}\quad {\hbox{for}}\quad n=0,1,2,3,\ldots }$$

Si ignoramos la energía del punto cero, entonces los niveles están espaciados uniformemente en $${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {7}{2}}\hbar \omega \ \cdots }$$

Por lo tanto, se debe suministrar una cantidad exacta de energía ħω a la red del oscilador armónico para empujarla al siguiente nivel de energía. En analogía con el caso del fotón, cuando el campo electromagnético está cuantificado, el cuanto de energía vibratoria se llama fonón .

Todos los sistemas cuánticos muestran propiedades ondulatorias y partículares. Las propiedades similares a partículas del fonón se comprenden mejor utilizando los métodos de segunda cuantificación y técnicas de operador descritos en otra parte. ^[18]

En el límite continuo , a  → 0 , N  → ∞ , mientras que Na se mantiene fijo. Las coordenadas canónicas Q _k pasan a los modos de impulso desacoplados de un campo escalar, mientras que el índice de ubicación i ( no la variable dinámica de desplazamiento ) se convierte en el parámetro x argumento del campo escalar . ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle \phi (x,t)}$

Vibraciones moleculares

• Las vibraciones de una molécula diatómica son un ejemplo de una versión de dos cuerpos del oscilador armónico cuántico. En este caso, la frecuencia angular viene dada por dónde está la masa reducida y y son las masas de los dos átomos. ^[19] $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{\mu }}}}$$ ${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$
• El átomo de Hooke es un modelo simple del átomo de helio que utiliza el oscilador armónico cuántico.
• Modelado de fonones, como se analizó anteriormente.
• Una carga con masa en un campo magnético uniforme es un ejemplo de oscilador armónico cuántico unidimensional: cuantización de Landau . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Ver también

• Péndulo cuántico
• Máquina cuántica  : dispositivo creado por el hombre cuyo movimiento colectivo sigue las leyes de la mecánica cuántica.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Gas en una trampa armónica  – Modelo mecánico cuántico
• Operadores de creación y aniquilación  – Operadores útiles en mecánica cuántica
• Estado coherente  : estado cuántico específico de un oscilador armónico cuántico
• Potencial Morse  : modelo para la energía potencial de una molécula diatómica.
• Teorema de Bertrand  – Teorema de la física
• Núcleo de Mehler
• Vibración molecular  : movimiento periódico de los átomos de una molécula.

Notas

1. La constante de normalización es y satisface la condición de normalización . ${\displaystyle C=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{{1}/{4}}}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}(x)^{*}\psi _{0}(x)dx=1}$

Referencias

1. Griffiths 2004.
2. Liboff 2002.
3. Rashid, Muneer A. (2006). "Amplitud de transición para oscilador armónico lineal dependiente del tiempo con términos lineales dependientes del tiempo agregados al hamiltoniano" (PDF) . MA Rashid - Centro de Física y Matemáticas Avanzadas . Centro Nacional de Física . Archivado desde el original ( PDF - Microsoft PowerPoint ) el 3 de marzo de 2016 . Consultado el 19 de octubre de 2010 .
4. Zwiebach (2022), págs. 233-234.
5. Zwiebach (2022), pág. 234.
6. Zwiebach (2022), pág. 241.
7. Gbur, Gregory J. (2011). Métodos Matemáticos para Física e Ingeniería Óptica . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 631–633. ISBN 978-0-521-51610-5.
8. Zwiebach (2022), pág. 240.
9. Zwiebach (2022), págs. 249-250.
10. Zwiebach (2022), págs. 246-249.
11. Zwiebach (2022), pág. 248.
12. Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, Teorema 11.4, Bibcode : 2013qtm..libro.....H, ISBN 978-1461471158
13. Pauli, W. (2000), Mecánica de ondas: Volumen 5 de Pauli Lectures on Physics (Dover Books on Physics). ISBN 978-0486414621  ; Artículo 44. 
14. Condon, UE (1937). "Inmersión de la transformada de Fourier en un grupo continuo de transformaciones funcionales", Proc. Nacional. Acad. Ciencia. Estados Unidos 23 , 158–164. en línea
15. Zwiebach (2022), págs. 481–492.
16. Albert Messiah , Mecánica cuántica , 1967, Holanda Septentrional, capítulo XII, § 15, p 456.online
17. Fradkin, DM (1965). "Oscilador armónico isotrópico tridimensional y SU3". Revista Estadounidense de Física . 33 (3): 207–211. doi :10.1119/1.1971373.
18. Mahan, GD (1981). Mucha física de partículas . Nueva York: Springer. ISBN 978-0306463389.
19. "Oscilador armónico cuántico". Hiperfísica . Consultado el 24 de septiembre de 2009 .

Bibliografía

• Griffiths, David J. (2004). Introducción a la mecánica cuántica (2ª ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0.
• Liboff, Richard L. (2002). Introducción a la mecánica cuántica . Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-8714-8.
• Zwiebach, Barton (2022). Dominar la mecánica cuántica: conceptos básicos, teoría y aplicaciones . Prensa del MIT. ISBN 978-0-262-04613-8.

enlaces externos

• Oscilador armónico cuántico
• Justificación para elegir a los operadores de escalera
• Gráficos de intensidad en 3D en vivo del oscilador armónico cuántico Archivado el 12 de julio de 2011 en Wayback Machine.
• Oscilador armónico cuántico accionado y amortiguado (notas del curso "óptica cuántica en circuitos eléctricos")