flujo de masa

Cantidad vectorial que describe el caudal másico a través de un área determinada

En física e ingeniería , el flujo de masa es la tasa de flujo de masa por unidad de área. Sus unidades SI son kg m ⁻² s ⁻¹ . Los símbolos comunes son j , J , q , Q , φ o Φ ( Phi griega en minúscula o mayúscula ), a veces con el subíndice m para indicar que la masa es la cantidad que fluye. El flujo de masa también puede referirse a una forma alternativa de flujo en la ley de Fick que incluye la masa molecular , o en la ley de Darcy que incluye la densidad de masa . ^[1]

Con menos frecuencia, la ecuación que define el flujo másico en este artículo se usa indistintamente con la ecuación que define el caudal másico . Por ejemplo, Fluid Mechanics, Schaum's et al ^[2] utiliza la definición de flujo másico como ecuación en el artículo sobre caudal másico.

Definición

Matemáticamente, el flujo de masa se define como el límite

$${\displaystyle j_{m}=\lim _{A\to 0}{\frac {I_{m}}{A}},}$$

$${\displaystyle I_{m}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta m}{\Delta t}}={\frac {dm}{dt}}}$$

mtA

Para el flujo de masa como un vector j _m , la integral de superficie del mismo sobre una superficie S , seguida de una integral durante el tiempo t ₁ a t ₂ , da la cantidad total de masa que fluye a través de la superficie en ese tiempo ( t ₂ − t1 ₎ :

$${\displaystyle m=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA\,dt.}$$

El área requerida para calcular el flujo es real o imaginaria, plana o curva, ya sea como área de sección transversal o como superficie.

Por ejemplo, para sustancias que pasan a través de un filtro o una membrana , la superficie real es el área de la superficie (generalmente curvada) del filtro, macroscópicamente , ignorando el área abarcada por los orificios en el filtro/membrana. Los espacios serían áreas de sección transversal. Para líquidos que pasan por una tubería, el área es la sección transversal de la tubería, en la sección considerada.

El vector de área es una combinación de la magnitud del área por la que pasa la masa, A , y un vector unitario normal al área, . La relación es . ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }$

Si el flujo de masa j _m pasa a través del área formando un ángulo θ con respecto al área normal , entonces ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

$${\displaystyle \mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} =j_{m}\cos \theta }$$

·producto escalarj _m cos θj _m sen θ , en realidad noa travésúnico

Ejemplo

Considere una tubería de agua que fluye . Supongamos que la tubería tiene una sección transversal constante y consideramos una sección recta (sin curvas/uniones), y el agua fluye de manera constante a un ritmo constante, en condiciones estándar . El área A es el área de la sección transversal de la tubería. Supongamos que la tubería tiene un radio r = 2 cm = 2 × 10 ⁻² m . El área es entonces

$${\displaystyle A=\pi r^{2}.}$$

j _mV = 1,5 L = 1,5 × 10 ⁻³ m ³ en el tiempo tdensidad del aguaρ = 1000 kg m ⁻³

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta m&=\rho \Delta V\\m_{2}-m_{1}&=\rho (V_{2}-V_{1})\\m&=\rho V\\\end{aligned}}}$$

Vm

$${\displaystyle j_{m}={\frac {\Delta m}{A\Delta t}}={\frac {\rho V}{\pi r^{2}t}}.}$$

Sustituyendo los números se obtiene:

$${\displaystyle j_{m}={\frac {1000\times \left(1.5\times 10^{-3}\right)}{\pi \times \left(2\times 10^{-2}\right)^{2}\times 2}}={\frac {3}{16\pi }}\times 10^{4},}$$

⁻¹⁻²

Ecuaciones para fluidos

Ecuación alternativa

Usando la definición de vector, el flujo de masa también es igual a: ^[3]

$${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {m}}=\rho \mathbf {u} }$$

dónde:

• ρ = densidad de masa,
• u = campo de velocidad de los elementos de masa que fluyen (es decir, en cada punto del espacio la velocidad de un elemento de materia es algún vector de velocidad u ).

A veces esta ecuación se puede utilizar para definir j _m como un vector.

Flujos másicos y molares para fluidos compuestos.

flujos de masa

En el caso de que el fluido no sea puro, es decir, que sea una mezcla de sustancias (técnicamente contiene varias sustancias componentes), los flujos másicos deben considerarse por separado para cada componente de la mezcla.

Al describir el flujo de fluidos (es decir, el flujo de materia), el flujo de masa es apropiado. Al describir el transporte de partículas (movimiento de una gran cantidad de partículas), es útil utilizar una cantidad análoga, llamada flujo molar .

Usando masa, el flujo de masa del componente i es

$${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho _{i}\mathbf {u} _{i}.}$$

El flujo de masa baricéntrico del componente i es

$${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho \left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right),}$$

velocidad másica promedio ${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle }$

$${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\rho _{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}}$$

• ρ = densidad de masa de toda la mezcla,
• ρ _i = densidad de masa del componente i ,
• u _i = velocidad del componente i .

El promedio se toma de las velocidades de los componentes.

Flujos molares

Si reemplazamos la densidad ρ por la "densidad molar", concentración c , tenemos los análogos del flujo molar .

El flujo molar es el número de moles por unidad de tiempo por unidad de área, generalmente:

$${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {n}}=c\mathbf {u} .}$$

Entonces, el flujo molar del componente i es (número de moles por unidad de tiempo por unidad de área):

$${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=c_{i}\mathbf {u} _{i}}$$

flujo molar baricéntricoi

$${\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=c\left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right),}$$

velocidad molar promedio ${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle }$

$${\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{i}c_{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{c}}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}.}$$

Uso

El flujo de masa aparece en algunas ecuaciones de hidrodinámica , en particular la ecuación de continuidad :

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {m}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0,}$$

El flujo molar ocurre en la primera ley de difusión de Fick :

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {n}}=-\nabla \cdot D\nabla n}$$

Dcoeficiente de difusión

Ver también

• Fracción de flujo de masa
• Flujo
• ley de fick
• ley de darcy
• Flujo de masa de las olas y momento de las olas.
• Definición de ecuación (química física)

Referencias

1. "Tesauro: flujo masivo" . Consultado el 24 de diciembre de 2008 .^{[ enlace muerto permanente ]}
2. Mecánica de fluidos, M. Potter, DC Wiggart, esquemas de Schuam, McGraw Hill (EE. UU.), 2008, ISBN 978-0-07-148781-8 
3. Vectores, tensores y ecuaciones básicas de la mecánica de fluidos, R. Aris, Publicaciones de Dover, 1989, ISBN 0-486-66110-5