área vectorial

En geometría tridimensional y cálculo vectorial , un vector de área es un vector que combina una cantidad de área con una dirección , representando así un área orientada en tres dimensiones.

Cada superficie acotada en tres dimensiones se puede asociar con un vector de área único llamado su vector de área . Es igual a la integral de superficie de la normal de superficie y distinta del área de superficie habitual ( escalar ) .

El área vectorial puede verse como la generalización tridimensional del área con signo en dos dimensiones.

Definición

Para una superficie plana finita de área escalar S y unidad normal n̂ , el área vectorial S se define como la unidad normal escalada por el área:

$${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} S}$$

Para una superficie orientable S compuesta por un conjunto _Si de áreas de facetas planas , el área vectorial de la superficie viene dada por

$${\displaystyle \mathbf {S} =\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}S_{i}}$$

n̂ _iárea Si

Para superficies curvas orientadas y delimitadas que se comportan suficientemente bien , aún podemos definir el área vectorial. Primero, dividimos la superficie en elementos infinitesimales, cada uno de los cuales es efectivamente plano. Para cada elemento infinitesimal de área, tenemos un vector de área, también infinitesimal.

$${\displaystyle d\mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} dS}$$

n̂dS

$${\displaystyle \mathbf {S} =\int d\mathbf {S} }$$

Propiedades

El área vectorial de una superficie se puede interpretar como el área proyectada (con signo) o "sombra" de la superficie en el plano en el que es mayor; su dirección está dada por la normal de ese avión.

Para una superficie curva o facetada (es decir, no plana), el área del vector es menor en magnitud que el área de la superficie real . Como ejemplo extremo, una superficie cerrada puede poseer un área arbitrariamente grande, pero su área vectorial es necesariamente cero. ^[1] Las superficies que comparten un límite pueden tener áreas muy diferentes, pero deben tener la misma área vectorial; el área vectorial está completamente determinada por el límite. Estas son consecuencias del teorema de Stokes .

El área vectorial de un paralelogramo viene dada por el producto cruzado de los dos vectores que lo abarcan; es el doble del área (vectorial) del triángulo formado por los mismos vectores. En general, el área vectorial de cualquier superficie cuyo límite consista en una secuencia de segmentos de línea recta (análoga a un polígono en dos dimensiones) se puede calcular utilizando una serie de productos cruzados correspondientes a una triangularización de la superficie. Esta es la generalización de la fórmula Shoelace a tres dimensiones.

Utilizando el teorema de Stokes aplicado a un campo vectorial elegido apropiadamente, se puede derivar una integral de frontera para el área del vector:

$${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\oint _{\partial S}\mathbf {r} \times d\mathbf {r} }$$

Scurvasutilizando el teorema de Green ${\displaystyle \partial S}$

Aplicaciones

Los vectores de área se utilizan al calcular integrales de superficie , como cuando se determina el flujo de un campo vectorial a través de una superficie. El flujo viene dado por la integral del producto escalar del campo y el vector de área (infinitesimal). Cuando el campo es constante sobre la superficie, la integral se simplifica al producto escalar del campo y el área vectorial de la superficie.

Proyección de área en planos.

El área proyectada sobre un plano viene dada por el producto escalar del área del vector S y la unidad normal del plano objetivo m̂ :

$${\displaystyle A_{\parallel }=\mathbf {S} \cdot {\hat {\mathbf {m} }}}$$

xyz

$${\displaystyle \mathbf {S} _{z}=\left|\mathbf {S} \right|\cos \theta }$$

θn̂z

Ver también

• Bivector , que representa un área orientada en cualquier número de dimensiones
• Teorema de De Gua , sobre la descomposición del área vectorial en componentes ortogonales
• Producto cruzado
• Superficie normal
• Integral de superficie

Notas

1. Spiegel, Murray R. (1959). Teoría y problemas del análisis vectorial . Serie de esquemas de Schaum. McGraw-Hill. pag. 25.