Proporción súper áurea

Entero algebraico, aproximadamente 1,46557

En matemáticas, la proporción superáurea es una proporción geométrica cercana a 85/58 . Su verdadero valor es la solución real de la ecuación x ³ = x ² + 1.

El nombre proporción superáurea resulta de la analogía con la proporción áurea , la solución positiva de la ecuación x ² = x + 1.

Un triángulo con lados de longitud ψ , 1 y ψ ^-1 tiene un ángulo de exactamente 120 grados opuesto al lado de longitud ψ . ^[1]

Definición

Dos cantidades a > b > 0 están en la proporción superáurea al cuadrado si

${\displaystyle \left({\frac {a+b}{a}}\right)^{2}={\frac {a}{b}}}$.

La relación se denota comúnmente ${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}}$ ${\displaystyle \psi .}$

Con base en esta definición, se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=\left({\frac {a+b}{a}}\right)^{2}{\frac {b}{a}}\\&=\left({\frac {a+b}{a}}\right)^{2}\left({\frac {a+b}{a}}-1\right)\\&\implies \psi ^{2}\left(\psi -1\right)=1\end{aligned}}}$

De ello se deduce que la proporción superáurea se encuentra como la única solución real de la ecuación cúbica. La expansión decimal de la raíz comienza como (secuencia A092526 en la OEIS ). ${\displaystyle \psi ^{3}-\psi ^{2}-1=0.}$ ${\displaystyle 1.465\,571\,231\,876\,768...}$

El polinomio mínimo para la raíz recíproca es el cúbico deprimido , ^[2] por lo tanto, la solución más simple con la fórmula de Cardano , ${\displaystyle x^{3}+x-1}$

${\displaystyle w_{1,2}=\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {31}{3}}}\right)/2}$

${\displaystyle 1/\psi ={\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}}$

o, usando el seno hiperbólico ,

${\displaystyle 1/\psi ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\sinh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right).}$

${\displaystyle 1/\psi }$es el punto fijo superestable de la iteración . ${\displaystyle x\gets (2x^{3}+1)/(3x^{2}+1)}$

La iteración da como resultado el radical continuo. ${\displaystyle x\gets {\sqrt[{3}]{1+x^{2}}}}$

${\displaystyle \psi ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3/2}]{1+{\sqrt[{3/2}]{1+\cdots }}}}}}}$ ^[3]

Dividiendo el trinomio definitorio por uno se obtiene , y los elementos conjugados de son ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-1}$ ${\displaystyle x-\psi }$ ${\displaystyle x^{2}+x/\psi ^{2}+1/\psi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle x_{1,2}=\left(-1\pm i{\sqrt {4\psi ^{2}+3}}\right)/2\psi ^{2},}$

con y ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=1-\psi \;}$ ${\displaystyle \;x_{1}x_{2}=1/\psi .}$

Propiedades

Los rectángulos en proporciones de aspecto ψ , ψ ² y ψ ³ (de izquierda a derecha) forman mosaicos en el cuadrado.

Muchas propiedades de están relacionadas con la proporción áurea . Por ejemplo, la proporción superáurea se puede expresar en términos de sí misma como la serie geométrica infinita ^[4] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \varphi }$ 

${\displaystyle \psi =\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{-3n}}$y ${\displaystyle \,\psi ^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{-7n},}$

en comparación con la identidad de la proporción áurea

${\displaystyle \varphi =\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-2n}}$y viceversa .

Además, mientras ${\displaystyle 1+\varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}=2}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{7}\psi ^{-n}=3.}$

Por cada número entero que se tiene ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ^{n}&=\psi ^{n-1}+\psi ^{n-3}\\&=\psi ^{n-2}+\psi ^{n-3}+\psi ^{n-4}\\&=\psi ^{n-2}+2\psi ^{n-4}+\psi ^{n-6}.\end{aligned}}}$

Patrón de fracción continua de unas pocas potencias bajas.

${\displaystyle \psi ^{-1}=[0;1,2,6,1,3,5,4,22,...]\approx 0.6823}$( 13/19 )

${\displaystyle \ \psi ^{0}=[1]}$

${\displaystyle \ \psi ^{1}=[1;2,6,1,3,5,4,22,1,...]\approx 1.4656}$( 22/15 )

${\displaystyle \ \psi ^{2}=[2;6,1,3,5,4,22,1,1,...]\approx 2.1479}$( 15/7 )

${\displaystyle \ \psi ^{3}=[3;6,1,3,5,4,22,1,1,...]\approx 3.1479}$( 22/7 )

${\displaystyle \ \psi ^{4}=[4;1,1,1,1,2,2,1,2,2,...]\approx 4.6135}$( 60/13 )

${\displaystyle \ \psi ^{5}=[6;1,3,5,4,22,1,1,4,...]\approx 6.7614}$( 115/17 )

En particular, la fracción continua de comienza como una permutación de los primeros seis números naturales; el siguiente término es igual a su suma + 1. ${\displaystyle \psi ^{2}}$

La proporción superáurea es el cuarto número de Pisot más pequeño . ^[5] Debido a que el valor absoluto de los conjugados algebraicos es menor que 1, las potencias de generan números casi enteros . Por ejemplo: . Después de once pasos de rotación, las fases del par conjugado en espiral hacia adentro, inicialmente cerca , casi se alinean con el eje imaginario. ${\displaystyle 1/{\sqrt {\psi }}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{11}=67.000222765...\approx 67+1/4489}$ ${\displaystyle \pm 13\pi /22}$

El polinomio mínimo de la proporción superáurea tiene discriminante . El campo de clase de Hilbert de un campo cuadrático imaginario se puede formar uniendo . Con el argumento a generador para el anillo de números enteros de , se tiene el valor especial del cociente eta de Dedekind ${\displaystyle m(x)=x^{3}-x^{2}-1}$ ${\displaystyle \Delta =-31}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {\Delta }})/2\,}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \psi ={\frac {e^{\pi i/24}\,\eta (\tau )}{{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}}}$.

Expresado en términos del invariante de clase Weber-Ramanujan G _n

${\displaystyle \psi ={\frac {{\mathfrak {f}}({\sqrt {\Delta }})}{\sqrt {2}}}={\frac {G_{31}}{\sqrt[{4}]{2}}}}$. ^[6]

"Las propiedades del invariante j de Klein relacionado dan como resultado una identidad cercana" . La diferencia es <1/143092 . ${\displaystyle j(\tau )}$ ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}\approx \left({\sqrt {2}}\,\psi \right)^{24}-24}$

El valor singular integral elíptico ^[7] para tiene una expresión en forma cerrada ${\displaystyle k_{r}=\lambda ^{*}(r)}$ ${\displaystyle r=31}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(31)=\sin(\arcsin \left(({\sqrt[{4}]{2}}\,\psi )^{-12}\right)/2)}$

(que es menos de 1/10 de la excentricidad de la órbita de Venus).

secuencia de narayana

Las vacas de Narayana es una secuencia recurrente que se origina a partir de un problema propuesto por el matemático indio del siglo XIV Narayana Pandita . ^[8] Preguntó el número de vacas y terneros en un rebaño después de 20 años, comenzando con una vaca en el primer año, donde cada vaca da a luz a un ternero cada año desde los tres años en adelante.

La secuencia de Narayana tiene una estrecha conexión con las secuencias de Fibonacci y Padovan y desempeña un papel importante en la codificación de datos, la criptografía y la combinatoria. El número de composiciones de n en las partes 1 y 3 se cuenta mediante el enésimo número de Narayana.

La secuencia de Narayana está definida por la relación de recurrencia de tercer orden.

${\displaystyle N_{n}=N_{n-1}+N_{n-3}}$para norte > 2 ,

con valores iniciales

${\displaystyle N_{0}=N_{1}=N_{2}=1}$.

Los primeros términos son 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88,... (secuencia A000930 en OEIS ). La relación límite entre términos consecutivos es la proporción superáurea.

Los primeros 11 índices n para los cuales es primo son n = 3, 4, 8, 9, 11, 16, 21, 25, 81, 6241, 25747 (secuencia A170954 en la OEIS ). El último número tiene 4274 dígitos decimales. ${\displaystyle N_{n}}$

La secuencia se puede extender a índices negativos usando

${\displaystyle N_{n}=N_{n+3}-N_{n+2}}$.

La función generadora de la secuencia de Narayana está dada por

${\displaystyle {\frac {1}{1-x-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n}x^{n}}$para ${\displaystyle x<1/\psi }$

Los números de Narayana están relacionados con sumas de coeficientes binomiales por

${\displaystyle N_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor }{n-2k \choose k}}$.

La ecuación característica de la recurrencia es . Si las tres soluciones son raíz real y par conjugado y , los números de Narayana se pueden calcular con la fórmula de Binet ^[9] ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-1=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle N_{n-2}=a\alpha ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}}$, con reales y conjugados y las raíces de . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 31x^{3}+x-1=0}$

Dado que y , el número es el entero más cercano a , con n ≥ 0 y 0,28469 30799 75318 50274 74714... ${\displaystyle \left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <1/{\sqrt {\alpha ^{n}}}}$ ${\displaystyle \alpha =\psi }$ ${\displaystyle N_{n}}$ ${\displaystyle a\,\psi ^{n+2}}$ ${\displaystyle a=\psi /(\psi ^{2}+3)=}$

Los coeficientes dan como resultado la fórmula de Binet para la secuencia relacionada . ${\displaystyle a=b=c=1}$ ${\displaystyle A_{n}=N_{n}+2N_{n-3}}$

Los primeros términos son 3, 1, 1, 4, 5, 6, 10, 15, 21, 31, 46, 67, 98, 144,... (secuencia A001609 en el OEIS ).

Esta secuencia anónima tiene la propiedad de Fermat : si p es primo ,. Lo contrario no se cumple, pero el pequeño número de pseudoprimos impares hace que la secuencia sea especial. ^[10] Los 8 números compuestos impares menores de 10 ⁸ para pasar la prueba son n = 1155, 552599, 2722611, 4822081, 10479787, 10620331, 16910355, 66342673. ${\displaystyle A_{p}\equiv A_{1}{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle \,n\mid (A_{n}-1)}$

Un fractal Rauzy superdorado de tipo a ↦ ab, con áreas como las anteriores.

Los números de Narayana se obtienen como potencias integrales n > 3 de una matriz con valor propio real ^[8] ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle Q^{n}={\begin{pmatrix}N_{n}&N_{n-2}&N_{n-1}\\N_{n-1}&N_{n-3}&N_{n-2}\\N_{n-2}&N_{n-4}&N_{n-3}\end{pmatrix}}}$

El rastro de da lo anterior . ${\displaystyle Q^{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

Alternativamente, se puede interpretar como una matriz de incidencia para un sistema D0L Lindenmayer en el alfabeto con la regla de sustitución correspondiente. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \{a,b,c\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}a\;\mapsto \;ab\\b\;\mapsto \;c\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}}$

e iniciador . La serie de palabras producida al iterar la sustitución tiene la propiedad de que el número de c, b y a son iguales a los números sucesivos de Narayana. La longitud de estas palabras es ${\displaystyle w_{0}=b}$ ${\displaystyle w_{n}}$ ${\displaystyle l(w_{n})=N_{n}.}$

Asociado a este proceso de reescritura de cadenas hay un conjunto compacto compuesto de mosaicos autosimilares llamado fractal Rauzy , que visualiza la información combinatoria contenida en una secuencia de tres letras de generación múltiple. ^[11]

rectángulo superdorado

Este diagrama muestra las longitudes de potencias decrecientes dentro de un rectángulo superáureo y el patrón de ángulos rectos que se cruzan que aparece como resultado.

Un rectángulo superáureo es un rectángulo cuyas longitudes de los lados están en una proporción. Comparado con el rectángulo áureo , que contiene proporciones lineales , el rectángulo superáureo tiene un grado más de autosemejanza . ${\displaystyle \psi :1}$ ${\displaystyle \varphi ^{2}:\varphi :1}$

Dado un rectángulo de altura 1 , largo y largo diagonal (según ). En el lado izquierdo, corte un cuadrado de lado 1 y marque la intersección con la diagonal descendente. El rectángulo restante ahora tiene relación de aspecto (según ). Divida el rectángulo original en cuatro partes mediante un segundo corte horizontal que pase por el punto de intersección. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\sqrt {\psi ^{3}}}}$ ${\displaystyle 1+\psi ^{2}=\psi ^{3}}$ ${\displaystyle \psi ^{2}:1}$ ${\displaystyle \psi -1=\psi ^{-2}}$

Numerando en sentido antihorario comenzando desde la esquina superior derecha, la primera, segunda y cuarta partes resultantes son todos rectángulos superdorados; mientras que el tercero tiene relación de aspecto . El rectángulo original y sucesivamente las partes segunda, primera y cuarta tienen longitudes diagonales en las razones o, equivalentemente, áreas . Las áreas de la primera y tercera parte diagonalmente opuestas son iguales. ^{[12] [4]} ${\displaystyle \psi ^{3}:1}$ ${\displaystyle \psi ^{3}:\psi ^{2}:\psi :1}$ ${\displaystyle \psi ^{6}:\psi ^{4}:\psi ^{2}:1}$

En la primera parte del rectángulo superdorado perpendicular al original, se puede repetir el proceso a una escala de . ${\displaystyle 1:\psi ^{2}}$

Ver también

• Soluciones de ecuaciones similares a : ${\displaystyle x^{3}=x^{2}+1}$
  • Proporción áurea : la única solución positiva de la ecuación ${\displaystyle x^{2}=x+1}$
  • Relación plástica : la única solución real de la ecuación ${\displaystyle x^{3}=x+1}$
  • Proporción de superplata : la única solución real de la ecuación ${\displaystyle x^{3}=2x^{2}+1}$

Referencias

1. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A092526". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
2. (secuencia A263719 en la OEIS )
3. ^metro/norte √ x = x ^norte/metro
4. Koshy, Thomas (2017). Números de Fibonacci y Lucas con aplicaciones (2 ed.). John Wiley e hijos. doi :10.1002/9781118033067. ISBN 978-0-471-39969-8.
5. (secuencia A092526 en la OEIS )
6. Función G de Ramanujan (en alemán)
7. Weisstein, Eric W. "Valor singular integral elíptico". MundoMatemático .
8. (secuencia A000930 en la OEIS )
9. Lin, Xin (2021). "Sobre las propiedades de recurrencia de la secuencia de las vacas de Narayana". Simetría . 13 (149): 1–12. Código Bib : 2021 Símm...13..149L. doi : 10.3390/sym13010149 .
10. Estudiado junto con la secuencia de Perrin en: Adams, William; Shanks, Daniel (1982). "Pruebas de primalidad fuertes que no son suficientes". Matemáticas. comp . 39 (159). AMS: 255–300. doi : 10.2307/2007637 . JSTOR  2007637.
11. Siegel, Ana; Asíwaldner, Jörg M. (2009). "Propiedades topológicas de los fractales de Rauzy". Mémoires de la Société Mathématique de France . 2. 118 : 1–140. doi :10.24033/msmf.430.
12. Crilly, Tony (1994). "Un rectángulo superdorado". La Gaceta Matemática . 78 (483): 320–325. doi :10.2307/3620208. JSTOR  3620208. S2CID  125782726.