La división es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética . Las otras operaciones son la suma , la resta y la multiplicación . Lo que se divide se llama dividendo , que a su vez se divide por el divisor , y el resultado se llama cociente .
A nivel elemental la división de dos números naturales es, entre otras posibles interpretaciones , el proceso de calcular el número de veces que un número está contenido dentro de otro. [1] : 7 Por ejemplo, si se dividen 20 manzanas de manera uniforme entre 4 personas, cada uno recibe 5 manzanas (ver imagen). Sin embargo, este número de veces o el número contenido (divisor) no tienen por qué ser números enteros .
La división con resto o división euclidiana de dos números naturales proporciona un cociente entero , que es el número de veces que el segundo número está completamente contenido en el primero, y un resto , que es la parte del primer número que queda, cuando en el curso del cálculo del cociente, no se puede asignar más trozos completos del tamaño del segundo número. Por ejemplo, si se dividen 21 manzanas entre 4 personas, cada una recibe de nuevo 5 manzanas y queda 1 manzana.
Para que la división siempre dé como resultado un número en lugar de un cociente entero más un resto, los números naturales deben extenderse a números racionales o números reales . En estos sistemas numéricos ampliados , la división es la operación inversa a la multiplicación, es decir, a = c / b significa a × b = c , siempre que b no sea cero. Si b = 0 , entonces se trata de una división por cero , que no está definida. [a] [4] : 246 En el ejemplo de las 21 manzanas, cada uno recibiría 5 manzanas y un cuarto de manzana, evitando así cualquier sobra.
Ambas formas de división aparecen en diversas estructuras algebraicas , diferentes maneras de definir la estructura matemática. Aquellas en las que se define una división euclidiana (con resto) se denominan dominios euclidianos e incluyen anillos polinómicos en uno indeterminado (que definen la multiplicación y la adición sobre fórmulas de una variable). Aquellos en los que se define una división (con un único resultado) por todos los elementos distintos de cero se denominan cuerpos y anillos de división . En un anillo los elementos por los que siempre es posible la división se denominan unidades (por ejemplo, 1 y −1 en el anillo de los números enteros). Otra generalización de la división a las estructuras algebraicas es el grupo de cocientes , en el que el resultado de la "división" es un grupo en lugar de un número.
La forma más sencilla de ver la división es en términos de comillas y particiones : desde la perspectiva de las comillas, 20 / 5 significa la cantidad de 5 que se deben sumar para obtener 20. En términos de partición, 20 / 5 significa el tamaño de cada una de las 5 partes en las que se divide un conjunto de tamaño 20. Por ejemplo, 20 manzanas se dividen en cinco grupos de cuatro manzanas, lo que significa que "veinte dividido por cinco es igual a cuatro". Esto se denota como 20 / 5 = 4 , o20/5 = 4 . [2] En el ejemplo, 20 es el dividendo, 5 es el divisor y 4 es el cociente.
A diferencia de las otras operaciones básicas, al dividir números naturales a veces queda un resto que no entrará de forma uniforme en el dividendo; por ejemplo, 10 / 3 deja un resto de 1, ya que 10 no es múltiplo de 3. A veces este resto se suma al cociente como parte fraccionaria , por lo que 10 / 3 es igual a 3+1/3 o 3,33... , pero en el contexto de la división de números enteros , donde los números no tienen parte fraccionaria, el resto se mantiene por separado (o excepcionalmente, se descarta o se redondea ). [5] Cuando el resto se mantiene como fracción, conduce a un número racional . El conjunto de todos los números racionales se crea extendiendo los números enteros con todos los resultados posibles de divisiones de números enteros.
A diferencia de la multiplicación y la suma, la división no es conmutativa , lo que significa que a / b no siempre es igual a b / a . [6] La división tampoco es, en general, asociativa , lo que significa que al dividir varias veces, el orden de división puede cambiar el resultado. [7] Por ejemplo, (24/6)/2 = 2 , pero 24/(6/2) = 8 (donde el uso de paréntesis indica que las operaciones dentro de los paréntesis se realizan antes que las operaciones fuera de los paréntesis).
Tradicionalmente, la división se considera asociativa por la izquierda , es decir, si hay varias divisiones seguidas, el orden de cálculo va de izquierda a derecha: [8] [9]
La división es distributiva hacia la derecha con respecto a la suma y la resta, en el sentido de que
Lo mismo ocurre con la multiplicación , ya que . Sin embargo, la división no es distributiva por la izquierda , ya que
Esto es diferente de lo que ocurre en la multiplicación, que es tanto distributiva hacia la izquierda como hacia la derecha y, por lo tanto, distributiva .
La división se suele representar en álgebra y ciencias colocando el dividendo sobre el divisor con una línea horizontal, también llamada barra de fracción , entre ellos. Por ejemplo, " a dividido por b " se puede escribir así:
que también se puede leer en voz alta como "dividir a por b " o " a sobre b ". Una forma de expresar la división en una sola línea es escribir el dividendo (o numerador), luego una barra y luego el divisor (o denominador), de la siguiente manera:
Esta es la forma habitual de especificar la división en la mayoría de los lenguajes de programación informática , ya que se puede escribir fácilmente como una secuencia simple de caracteres ASCII . (También es la única notación utilizada para objetos cocientes en álgebra abstracta ). Algunos programas matemáticos , como MATLAB y GNU Octave , permiten escribir los operandos en orden inverso utilizando la barra invertida como operador de división:
Una variación tipográfica a medio camino entre estas dos formas utiliza una barra oblicua para indicar una fracción, pero eleva el dividendo y baja el divisor:
Cualquiera de estas formas se puede utilizar para mostrar una fracción . Una fracción es una expresión de división en la que tanto el dividendo como el divisor son números enteros (normalmente llamados numerador y denominador ), y no hay ninguna implicación de que la división deba evaluarse más a fondo. Una segunda forma de mostrar la división es utilizar el signo de división (÷, también conocido como óbelus aunque el término tiene significados adicionales), común en aritmética, de esta manera:
Esta forma es poco frecuente excepto en aritmética elemental. La norma ISO 80000-2 -9.6 establece que no debe utilizarse. Este signo de división también se utiliza solo para representar la operación de división en sí, como por ejemplo como una etiqueta en una tecla de una calculadora . El óbelo fue introducido por el matemático suizo Johann Rahn en 1659 en Teutsche Algebra . [10] : 211 El símbolo ÷ se utiliza para indicar resta en algunos países europeos, por lo que su uso puede ser malinterpretado. [11]
En algunos países donde no se habla inglés , se utilizan dos puntos para indicar una división: [12]
Esta notación fue introducida por Gottfried Wilhelm Leibniz en su Acta eruditorum de 1684. [10] : 295 A Leibniz no le gustaba tener símbolos separados para la proporción y la división. Sin embargo, en el uso inglés los dos puntos se limitan a expresar el concepto relacionado de proporciones .
Desde el siglo XIX, los libros de texto estadounidenses han utilizado o para denotar a dividido por b , especialmente cuando se habla de divisiones largas . La historia de esta notación no está del todo clara porque evolucionó con el tiempo. [13]
La división se suele introducir a través de la noción de "repartir" un conjunto de objetos, por ejemplo, una pila de caramelos, en varias porciones iguales. Distribuir los objetos de a varios a la vez en cada ronda de reparto en cada porción conduce a la idea de " fragmentación ", una forma de división en la que se restan repetidamente múltiplos del divisor del dividendo en sí.
Al permitir restar más múltiplos de los que permite el resto parcial en una etapa dada, también se pueden desarrollar métodos más flexibles, como la variante bidireccional de fragmentación.
De manera más sistemática y eficiente, dos números enteros se pueden dividir con lápiz y papel con el método de división corta , si el divisor es pequeño, o división larga , si el divisor es mayor. Si el dividendo tiene una parte fraccionaria (expresada como fracción decimal ), se puede continuar el procedimiento más allá de las unidades tanto como se desee. Si el divisor tiene una parte fraccionaria, se puede replantear el problema moviendo el decimal hacia la derecha en ambos números hasta que el divisor no tenga fracción, lo que puede hacer que el problema sea más fácil de resolver (por ejemplo, 10/2,5 = 100/25 = 4).
La división se puede calcular con un ábaco . [14]
Las tablas de logaritmos se pueden utilizar para dividir dos números, restando los logaritmos de los dos números y luego buscando el antilogaritmo del resultado.
La división se puede calcular con una regla de cálculo alineando el divisor en la escala C con el dividendo en la escala D. El cociente se puede encontrar en la escala D, donde está alineado con el índice izquierdo en la escala C. Sin embargo, el usuario es responsable de llevar un registro mental del punto decimal.
Las calculadoras y computadoras modernas calculan la división mediante métodos similares a la división larga o mediante métodos más rápidos; consulte Algoritmo de división .
En aritmética modular (módulo de un número primo) y para los números reales , los números distintos de cero tienen un inverso multiplicativo . En estos casos, una división por x puede calcularse como el producto por el inverso multiplicativo de x . Este enfoque suele asociarse con los métodos más rápidos de la aritmética informática.
La división euclidiana es la formulación matemática del resultado del proceso habitual de división de números enteros. Afirma que, dados dos números enteros, a , el dividendo , y b , el divisor , tales que b ≠ 0, existen números enteros únicos q , el cociente , y r , el resto, tales que a = bq + r y 0 ≤ r < | b |, donde | b | denota el valor absoluto de b .
Los números enteros no están cerrados a la división. Aparte de que la división por cero no está definida, el cociente no es un número entero a menos que el dividendo sea un múltiplo entero del divisor. Por ejemplo, 26 no se puede dividir por 11 para obtener un número entero. En este caso se utiliza uno de cinco enfoques:
La división de números enteros en un programa informático requiere un cuidado especial. Algunos lenguajes de programación tratan la división de números enteros como en el caso 5 anterior, por lo que el resultado es un número entero. Otros lenguajes, como MATLAB y todos los sistemas de álgebra computacional, devuelven un número racional como resultado, como en el caso 3 anterior. Estos lenguajes también proporcionan funciones para obtener los resultados de los otros casos, ya sea directamente o a partir del resultado del caso 3.
Los nombres y símbolos utilizados para la división de números enteros incluyen div, /, \ y %. Las definiciones varían en lo que respecta a la división de números enteros cuando el dividendo o el divisor es negativo: el redondeo puede ser hacia cero (la llamada división T) o hacia −∞ (división F); pueden existir estilos más raros; consulte la operación de módulo para obtener más detalles.
Las reglas de divisibilidad a veces se pueden usar para determinar rápidamente si un número entero se divide exactamente en otro.
El resultado de dividir dos números racionales es otro número racional cuando el divisor no es 0. La división de dos números racionales p / q y r / s se puede calcular como
Las cuatro cantidades son números enteros y solo p puede ser 0. Esta definición asegura que la división es la operación inversa de la multiplicación .
La división de dos números reales da como resultado otro número real (cuando el divisor no es cero). Se define de manera que a / b = c si y solo si a = cb y b ≠ 0.
Dividir dos números complejos (cuando el divisor no es cero) da como resultado otro número complejo, que se encuentra utilizando el conjugado del denominador:
Este proceso de multiplicación y división por se denomina "realización" o (por analogía) racionalización . Las cuatro cantidades p , q , r y s son números reales y es posible que r y s no sean ambas iguales a 0.
La división de números complejos expresados en forma polar es más simple que la definición anterior:
Nuevamente, las cuatro cantidades p , q , r , s son números reales y r puede no ser 0.
Se puede definir la operación de división de polinomios en una variable sobre un cuerpo . Entonces, como en el caso de los números enteros, se obtiene un resto. Véase división euclidiana de polinomios y, para cálculos escritos a mano, división larga de polinomios o división sintética .
Se puede definir una operación de división de matrices. La forma habitual de hacerlo es definir A / B = AB −1 , donde B −1 denota la inversa de B , pero es mucho más común escribir AB −1 explícitamente para evitar confusiones. Una división elemento por elemento también se puede definir en términos del producto de Hadamard .
Como la multiplicación de matrices no es conmutativa , también se puede definir una división por la izquierda o la denominada división por barra invertida como A \ B = A −1 B . Para que esto esté bien definido, no es necesario que exista B −1 , pero sí es necesario que exista A −1 . Para evitar confusiones, la división definida por A / B = AB −1 a veces se denomina división por la derecha o división por barra invertida en este contexto.
Con la división por izquierda y derecha definida de esta manera, A / ( BC ) en general no es lo mismo que ( A / B ) / C , ni ( AB ) \ C es lo mismo que A \ ( B \ C ) . Sin embargo, se cumple que A / ( BC ) = ( A / C ) / B y ( AB ) \ C = B \ ( A \ C ) .
Para evitar problemas cuando A −1 y/o B −1 no existen, la división también se puede definir como la multiplicación por la pseudoinversa . Es decir, A / B = AB + y A \ B = A + B , donde A + y B + denotan las pseudoinversas de A y B .
En álgebra abstracta , dado un magma con operación binaria ∗ (que nominalmente podría denominarse multiplicación), la división por la izquierda de b por a (escrita a \ b ) se define típicamente como la solución x de la ecuación a ∗ x = b , si esta existe y es única. De manera similar, la división por la derecha de b por a (escrita b / a ) es la solución y de la ecuación y ∗ a = b . La división en este sentido no requiere que ∗ tenga propiedades particulares (como conmutatividad, asociatividad o un elemento identidad). Un magma para el cual existen tanto a \ b como b / a y son únicos para todo a y todo b (la propiedad del cuadrado latino ) es un cuasigrupo . En un cuasigrupo, la división en este sentido siempre es posible, incluso sin un elemento identidad y, por lo tanto, sin inversas.
La "división" en el sentido de "cancelación" se puede realizar en cualquier magma por un elemento con la propiedad de cancelación . Los ejemplos incluyen álgebras matriciales , álgebras de cuaterniones y cuasigrupos. En un dominio integral , donde no todos los elementos necesitan tener una inversa, la división por un elemento cancelador a todavía se puede realizar en elementos de la forma ab o ca por cancelación izquierda o derecha, respectivamente. Si un anillo es finito y cada elemento distinto de cero es cancelador, entonces por una aplicación del principio del palomar , cada elemento distinto de cero del anillo es invertible y la división por cualquier elemento distinto de cero es posible. Para obtener información sobre cuándo las álgebras (en el sentido técnico) tienen una operación de división, consulte la página sobre álgebras de división . En particular, la periodicidad de Bott se puede utilizar para mostrar que cualquier álgebra de división normada real debe ser isomorfa a los números reales R , los números complejos C , los cuaterniones H o los octoniones O .
La derivada del cociente de dos funciones viene dada por la regla del cociente :
La división de cualquier número por cero en la mayoría de los sistemas matemáticos no está definida, porque cero multiplicado por cualquier número finito siempre da como resultado un producto de cero. [15] La introducción de una expresión de este tipo en la mayoría de las calculadoras produce un mensaje de error. Sin embargo, en ciertas matemáticas de nivel superior la división por cero es posible mediante el anillo cero y álgebras como las ruedas . [16] En estas álgebras, el significado de la división es diferente de las definiciones tradicionales.
