Segunda derivada

Operación matemática

La segunda derivada de una función cuadrática es constante .

En cálculo , la segunda derivada , o la derivada de segundo orden , de una función f es la derivada de la derivada de f . De manera informal, la segunda derivada puede expresarse como "la tasa de cambio de la tasa de cambio"; por ejemplo, la segunda derivada de la posición de un objeto con respecto al tiempo es la aceleración instantánea del objeto, o la tasa a la que la velocidad del objeto está cambiando con respecto al tiempo. En notación de Leibniz : donde a es aceleración, v es velocidad, t es tiempo, x es posición y d es el "delta" o cambio instantáneo. La última expresión es la segunda derivada de la posición ( x ) con respecto al tiempo. $${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}$$ ${\displaystyle {\tfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$

En la gráfica de una función , la segunda derivada corresponde a la curvatura o concavidad de la gráfica. La gráfica de una función con una segunda derivada positiva es cóncava hacia arriba, mientras que la gráfica de una función con una segunda derivada negativa se curva en sentido opuesto.

Regla de potencia de la segunda derivada

La regla de potencia para la primera derivada, si se aplica dos veces, producirá la regla de potencia de la segunda derivada como sigue: $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}x^{n}={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left(nx^{n-1}\right)=n{\frac {d}{dx}}x^{n-1}=n(n-1)x^{n-2}.}$$

Notación

La segunda derivada de una función se denota usualmente como . ^{[1] [2]} Es decir: Cuando se utiliza la notación de Leibniz para derivadas, la segunda derivada de una variable dependiente y con respecto a una variable independiente x se escribe Esta notación se deriva de la siguiente fórmula: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f''(x)}$ $${\displaystyle f''=\left(f'\right)'}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$$

Ejemplo

Dada la función la derivada de f es la función La segunda derivada de f es la derivada de , es decir $${\displaystyle f(x)=x^{3},}$$ $${\displaystyle f'(x)=3x^{2}.}$$ ${\displaystyle f'}$ $${\displaystyle f''(x)=6x.}$$

Relación con el gráfico

Un gráfico de . La línea tangente es azul donde la curva es cóncava hacia arriba, verde donde la curva es cóncava hacia abajo y roja en los puntos de inflexión (0, /2 y ). ${\displaystyle f(x)=\sin(2x)}$ ${\displaystyle -\pi /4}$ ${\displaystyle 5\pi /4}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Concavidad

La segunda derivada de una función f se puede utilizar para determinar la concavidad de la gráfica de f . ^[2] Una función cuya segunda derivada es positiva se dice que es cóncava hacia arriba (también denominada convexa), lo que significa que la línea tangente cerca del punto donde toca la función se ubicará debajo de la gráfica de la función. De manera similar, una función cuya segunda derivada es negativa será cóncava hacia abajo (a veces simplemente llamada cóncava), y su línea tangente se ubicará encima de la gráfica de la función cerca del punto de contacto.

Puntos de inflexión

Si la segunda derivada de una función cambia de signo, la gráfica de la función cambiará de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba, o viceversa. El punto en el que esto ocurre se denomina punto de inflexión . Suponiendo que la segunda derivada es continua, debe tomar un valor de cero en cualquier punto de inflexión, aunque no todos los puntos en los que la segunda derivada es cero son necesariamente puntos de inflexión.

Prueba de la segunda derivada

La relación entre la segunda derivada y el gráfico se puede utilizar para comprobar si un punto estacionario de una función (es decir, un punto donde ) es un máximo local o un mínimo local . Específicamente, ${\displaystyle f'(x)=0}$

• Si , entonces tiene un máximo local en . ${\displaystyle f''(x)<0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$
• Si , entonces tiene un mínimo local en . ${\displaystyle f''(x)>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$
• Si la prueba de la segunda derivada no dice nada sobre el punto , un posible punto de inflexión. ${\displaystyle f''(x)=0}$ ${\displaystyle x}$

La razón por la que la segunda derivada produce estos resultados se puede ver mediante una analogía del mundo real. Consideremos un vehículo que al principio se mueve hacia adelante a gran velocidad, pero con una aceleración negativa. Claramente, la posición del vehículo en el punto donde la velocidad llega a cero será la distancia máxima desde la posición inicial; después de este tiempo, la velocidad se volverá negativa y el vehículo dará marcha atrás. Lo mismo es cierto para el mínimo, con un vehículo que al principio tiene una velocidad muy negativa pero una aceleración positiva.

Límite

Es posible escribir un único límite para la segunda derivada: $${\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$$

El límite se llama segunda derivada simétrica . ^{[3] [4]} La segunda derivada simétrica puede existir incluso cuando la segunda derivada (habitual) no existe.

La expresión de la derecha se puede escribir como un cociente de diferencias de cocientes de diferencias: Este límite se puede ver como una versión continua de la segunda diferencia para secuencias . $${\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\dfrac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.}$$

Sin embargo, la existencia del límite anterior no significa que la función tenga una segunda derivada. El límite anterior solo brinda una posibilidad para calcular la segunda derivada, pero no proporciona una definición. Un contraejemplo es la función de signo , que se define como: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$ $${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$$

La función signo no es continua en cero y, por lo tanto, la segunda derivada para no existe. Pero el límite anterior sí existe para : ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}}$$

Aproximación cuadrática

Así como la primera derivada está relacionada con las aproximaciones lineales , la segunda derivada está relacionada con la mejor aproximación cuadrática para una función f . Esta es la función cuadrática cuya primera y segunda derivadas son las mismas que las de f en un punto dado. La fórmula para la mejor aproximación cuadrática a una función f alrededor del punto x = a es Esta aproximación cuadrática es el polinomio de Taylor de segundo orden para la función centrada en x = a . $${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.}$$

Valores propios y vectores propios de la segunda derivada

Para muchas combinaciones de condiciones de contorno se pueden obtener fórmulas explícitas para valores propios y vectores propios de la segunda derivada . Por ejemplo, suponiendo condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas (es decir, donde v es el vector propio), los valores propios son y los vectores propios correspondientes (también llamados funciones propias ) son . Aquí, , para . ${\displaystyle x\in [0,L]}$ ${\displaystyle v(0)=v(L)=0}$ ${\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}$ ${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)}$ ${\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,\infty }$

Para otros casos bien conocidos, véase Valores propios y vectores propios de la segunda derivada .

Generalización a dimensiones superiores

El Hessiano

La segunda derivada se generaliza a dimensiones superiores mediante la noción de derivadas parciales segundas . Para una función f : R ³ → R , estas incluyen las tres derivadas parciales de segundo orden y las derivadas parciales mixtas. $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.}$$

Si la imagen y el dominio de la función tienen un potencial, entonces estos encajan en una matriz simétrica conocida como matriz hessiana . Los valores propios de esta matriz se pueden utilizar para implementar un análogo multivariable de la prueba de la segunda derivada. (Véase también la prueba de la segunda derivada parcial ).

El laplaciano

Otra generalización común de la segunda derivada es el laplaciano . Este es el operador diferencial (o ) definido por El laplaciano de una función es igual a la divergencia del gradiente y la traza de la matriz hessiana. ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \Delta }$ $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

Véase también

• Chirpyness , segunda derivada de la fase instantánea
• Diferencia finita , utilizada para aproximar la segunda derivada
• Prueba de la segunda derivada parcial
• Simetría de las segundas derivadas

Referencias

1. "Contenido - La segunda derivada". amsi.org.au . Consultado el 16 de septiembre de 2020 .
2. "Segundas derivadas". Math24 . Consultado el 16 de septiembre de 2020 .
3. A. Zygmund (2002). Series trigonométricas . Cambridge University Press. págs. 22-23. ISBN 978-0-521-89053-3.
4. Thomson, Brian S. (1994). Propiedades simétricas de funciones reales . Marcel Dekker. pág. 1. ISBN 0-8247-9230-0.

Lectura adicional

Imprimir

• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2 de febrero de 2005), Cálculo: trascendentales tempranos de una y varias variables (8.ª ed.), Nueva York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
• Apostol, Tom M. (junio de 1967), Cálculo, vol. 1: Cálculo de una variable con una introducción al álgebra lineal, vol. 1 (2.ª ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Apostol, Tom M. (junio de 1969), Cálculo, vol. 2: cálculo multivariable y álgebra lineal con aplicaciones , vol. 1 (2.ª ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
• Eves, Howard (2 de enero de 1990), Introducción a la historia de las matemáticas (6.ª ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (28 de febrero de 2006), Cálculo: funciones trascendentales tempranas (4.ª ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Spivak, Michael (septiembre de 1994), Cálculo (3.ª ed.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
• Stewart, James (24 de diciembre de 2002), Cálculo (5.ª ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
• Thompson, Silvanus P. (8 de septiembre de 1998), Calculus Made Easy (edición revisada, actualizada y ampliada), Nueva York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

Libros en línea

• Crowell, Benjamin (2003), Cálculo
• Garrett, Paul (2004), Notas sobre cálculo de primer año
• Hussain, Faraz (2006), Comprensión del cálculo
• Keisler, H. Jerome (2000), Cálculo elemental: un enfoque que utiliza infinitesimales
• Mauch, Sean (2004), Versión íntegra del libro de matemáticas aplicadas de Sean, archivado desde el original el 15 de abril de 2006
• Sloughter, Dan (2000), Ecuaciones diferenciales a ecuaciones diferenciales
• Strang, Gilbert (1991), Cálculo
• Stroyan, Keith D. (1997), Una breve introducción al cálculo infinitesimal, archivado desde el original el 11 de septiembre de 2005
• Wikilibros, Cálculo

Enlaces externos

• Derivada discreta de segunda variable a partir de puntos espaciados de manera desigual