Distribución de cola pesada

Distribución de probabilidad

En teoría de la probabilidad , las distribuciones de colas pesadas son distribuciones de probabilidad cuyas colas no están acotadas exponencialmente: ^[1] es decir, tienen colas más pesadas que la distribución exponencial . En muchas aplicaciones lo que interesa es la cola derecha de la distribución, pero una distribución puede tener una cola izquierda pesada o ambas colas pueden ser pesadas.

Hay tres subclases importantes de distribuciones de cola pesada: las distribuciones de cola gruesa , las distribuciones de cola larga y las distribuciones subexponenciales . En la práctica, todas las distribuciones de cola pesada comúnmente utilizadas pertenecen a la clase subexponencial, introducida por Jozef Teugels . ^[2]

Todavía existe cierta discrepancia sobre el uso del término de cola pesada . Hay otras dos definiciones en uso. Algunos autores utilizan el término para referirse a aquellas distribuciones que no tienen todos sus momentos de potencia finitos; y algunas otras a aquellas distribuciones que no tienen una varianza finita . La definición dada en este artículo es la más general en uso e incluye todas las distribuciones abarcadas por las definiciones alternativas, así como aquellas distribuciones como log-normal que poseen todos sus momentos de potencia, pero que generalmente se consideran de cola pesada. . (Ocasionalmente, la cola pesada se utiliza para cualquier distribución que tenga colas más pesadas que la distribución normal).

Definiciones

Definición de distribución de cola pesada

Se dice que la distribución de una variable aleatoria X con función de distribución F tiene una cola pesada (derecha) si la función generadora de momento de X , M _X ( t ), es infinita para todo t  > 0. ^[3]

Eso significa

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)=\infty \quad {\mbox{for all }}t>0.}$ ^[4]

Esto también se escribe en términos de la función de distribución de cola.

${\displaystyle {\overline {F}}(x)\equiv \Pr[X>x]\,}$

como

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }e^{tx}{\overline {F}}(x)=\infty \quad {\mbox{for all }}t>0.\,}$

Definición de distribución de cola larga

Se dice que la distribución de una variable aleatoria X con función de distribución F tiene una cola derecha larga ^[1] si para todo t  > 0,

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\Pr[X>x+t\mid X>x]=1,\,}$

o equivalente

${\displaystyle {\overline {F}}(x+t)\sim {\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .\,}$

Esto tiene la interpretación intuitiva para una cantidad distribuida de cola larga y de cola derecha de que si la cantidad de cola larga excede algún nivel alto, la probabilidad se acerca a 1 de que exceda cualquier otro nivel superior.

Todas las distribuciones de cola larga son de cola pesada, pero lo contrario es falso y es posible construir distribuciones de cola pesada que no lo sean.

Distribuciones subexponenciales

La subexponencialidad se define en términos de convoluciones de distribuciones de probabilidad . Para dos variables aleatorias independientes, distribuidas idénticamente y con una función de distribución común , la convolución de consigo misma, escrita y denominada cuadrado de convolución, se define mediante la integración de Lebesgue-Stieltjes mediante: ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{*2}}$

${\displaystyle \Pr[X_{1}+X_{2}\leq x]=F^{*2}(x)=\int _{0}^{x}F(x-y)\,dF(y),}$

y la convolución n veces se define inductivamente mediante la regla: ${\displaystyle F^{*n}}$

${\displaystyle F^{*n}(x)=\int _{0}^{x}F(x-y)\,dF^{*n-1}(y).}$

La función de distribución de cola se define como . ${\displaystyle {\overline {F}}}$ ${\displaystyle {\overline {F}}(x)=1-F(x)}$

Una distribución en la media línea positiva es subexponencial ^{[1] [5] [2]} si ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\overline {F^{*2}}}(x)\sim 2{\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .}$

Esto implica ^[6] que, para cualquier , ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle {\overline {F^{*n}}}(x)\sim n{\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .}$

La interpretación probabilística ^[6] de esto es que, para una suma de variables aleatorias independientes con distribución común , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \Pr[X_{1}+\cdots +X_{n}>x]\sim \Pr[\max(X_{1},\ldots ,X_{n})>x]\quad {\text{as }}x\to \infty .}$

Esto se conoce a menudo como principio del gran salto único ^[7] o principio de catástrofe. ^[8]

Una distribución en toda la línea real es subexponencial si la distribución lo es. ^[9] Aquí está la función indicadora de la media línea positiva. Alternativamente, una variable aleatoria apoyada en la recta real es subexponencial si y sólo si es subexponencial. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle FI([0,\infty ))}$ ${\displaystyle I([0,\infty ))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{+}=\max(0,X)}$

Todas las distribuciones subexponenciales son de cola larga, pero se pueden construir ejemplos de distribuciones de cola larga que no son subexponenciales.

Distribuciones comunes de cola pesada

Todas las distribuciones de cola pesada utilizadas habitualmente son subexponenciales. ^[6]

Los que son de una cola incluyen:

• la distribución de Pareto ;
• la distribución Log-normal ;
• el reparto de Lévy ;
• la distribución de Weibull con parámetro de forma mayor que 0 pero menor que 1;
• la distribución de Burr ;
• la distribución logística ;
• la distribución log-gamma;
• la distribución Fréchet ;
• la distribución q-gaussiana
• la distribución log-Cauchy , a veces descrita como de "cola súper pesada" porque exhibe una desintegración logarítmica que produce una cola más pesada que la distribución de Pareto. ^{[10] [11]}

Los que tienen dos colas incluyen:

• La distribución de Cauchy , en sí misma un caso especial tanto de la distribución estable como de la distribución t;
• La familia de distribuciones estables , ^[12] excepto el caso especial de la distribución normal dentro de esa familia. Algunas distribuciones estables son unilaterales (o están respaldadas por una media línea), véase, por ejemplo, la distribución de Lévy . Véase también modelos financieros con distribuciones de cola larga y agrupación de volatilidad .
• La distribución t .
• La distribución en cascada lognormal sesgada. ^[13]

Relación con las distribuciones de cola gruesa

Una distribución de cola gruesa es una distribución para la cual la función de densidad de probabilidad, para x grande, llega a cero como potencia . Dado que dicha potencia siempre está limitada por la función de densidad de probabilidad de una distribución exponencial, las distribuciones de cola gruesa siempre lo son. Algunas distribuciones, sin embargo, tienen una cola que llega a cero más lentamente que una función exponencial (lo que significa que tienen cola pesada), pero más rápido que una potencia (lo que significa que no tienen cola gruesa). Un ejemplo es la distribución log-normal ^{[ contradictoria ]} . Sin embargo , muchas otras distribuciones de cola pesada, como la logística logarítmica y la distribución de Pareto , también lo son. ${\displaystyle x^{-a}}$

Estimando el índice de cola

Existen enfoques paramétricos ^[6] y no paramétricos ^[14] para el problema de la estimación del índice de cola. ^{[ cuando se define como? ]}

Para estimar el índice de cola utilizando el enfoque paramétrico, algunos autores emplean la distribución GEV o la distribución de Pareto ; pueden aplicar el estimador de máxima verosimilitud (MLE).

Estimador del índice de cola de Pickand

Con una secuencia aleatoria de función de densidad igual e independiente , el dominio de atracción máxima ^[15] de la densidad de valor extremo generalizado , donde . Si y , entonces la estimación del índice de cola de Pickands es ^{[6] [15]} ${\displaystyle (X_{n},n\geq 1)}$ ${\displaystyle F\in D(H(\xi ))}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }k(n)=\infty }$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {k(n)}{n}}=0}$

${\displaystyle \xi _{(k(n),n)}^{\text{Pickands}}={\frac {1}{\ln 2}}\ln \left({\frac {X_{(n-k(n)+1,n)}-X_{(n-2k(n)+1,n)}}{X_{(n-2k(n)+1,n)}-X_{(n-4k(n)+1,n)}}}\right),}$

dónde . Este estimador converge en probabilidad a . ${\displaystyle X_{(n-k(n)+1,n)}=\max \left(X_{n-k(n)+1},\ldots ,X_{n}\right)}$ ${\displaystyle \xi }$

Estimador del índice de cola de Hill

Sea una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución , el dominio máximo de atracción de la distribución de valores extremos generalizada , donde . La ruta de muestra es donde está el tamaño de la muestra. Si es una secuencia de orden intermedio, es decir , y , entonces el estimador del índice de cola de Hill es ^[16] ${\displaystyle (X_{t},t\geq 1)}$ ${\displaystyle F\in D(H(\xi ))}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {X_{t}:1\leq t\leq n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{k(n)\}}$ ${\displaystyle k(n)\in \{1,\ldots ,n-1\},}$ ${\displaystyle k(n)\to \infty }$ ${\displaystyle k(n)/n\to 0}$

${\displaystyle \xi _{(k(n),n)}^{\text{Hill}}=\left({\frac {1}{k(n)}}\sum _{i=n-k(n)+1}^{n}\ln(X_{(i,n)})-\ln(X_{(n-k(n)+1,n)})\right)^{-1},}$

¿Dónde está el estadístico de -ésimo orden de ? Este estimador converge en probabilidad a , y es asintóticamente normal siempre que esté restringido en función de una propiedad de variación regular de orden superior ^[17] . ^[18] La coherencia y la normalidad asintótica se extienden a una gran clase de secuencias dependientes y heterogéneas, ^{[19] [20]} independientemente de si se observan, se calculan datos residuales o se filtran de una gran clase de modelos y estimadores, incluidos los mal especificados. Modelos y modelos con errores que son dependientes. ^{[21] [22] [23]} Tenga en cuenta que tanto los estimadores del índice de cola de Pickand como los de Hill suelen utilizar estadísticas de logaritmo del orden. ^[24] ${\displaystyle X_{(i,n)}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle k(n)\to \infty }$ ${\displaystyle X_{t}}$

Estimador de ratio del índice de cola.

Goldie y Smith introdujeron el estimador de ratio (estimador RE) del índice de cola. ^[25] Está construido de manera similar al estimador de Hill, pero utiliza un "parámetro de ajuste" no aleatorio.

En Novak se puede encontrar una comparación de los estimadores de tipo Hill y RE. ^[14]

Software

• aest Archivado el 25 de noviembre de 2020 en Wayback Machine , herramienta C para estimar el índice de cola pesada. ^[26]

Estimación de la densidad de colas pesadas.

En Markovich se dieron enfoques no paramétricos para estimar funciones de densidad de probabilidad de colas pesadas y superpesadas. ^[27] Estos son enfoques basados ​​en ancho de banda variable y estimadores de kernel de cola larga; en los datos preliminares se transforman a una nueva variable aleatoria a intervalos finitos o infinitos, lo cual es más conveniente para la estimación y luego se transforma inversamente la estimación de densidad obtenida; y "enfoque de unión", que proporciona un determinado modelo paramétrico para la cola de la densidad y un modelo no paramétrico para aproximar la moda de la densidad. Los estimadores no paramétricos requieren una selección adecuada de parámetros de ajuste (suavizado), como el ancho de banda de los estimadores del núcleo y el ancho del contenedor del histograma. Los métodos bien conocidos de dicha selección basados ​​en datos son la validación cruzada y sus modificaciones, métodos basados ​​en la minimización del error cuadrático medio (MSE) y sus límites asintóticos y superiores. ^[28] Un método de discrepancia que utiliza estadísticas no paramétricas conocidas como las de Kolmogorov-Smirnov, von Mises y Anderson-Darling como métrica en el espacio de funciones de distribución (dfs) y cuantiles de las estadísticas posteriores como una incertidumbre conocida o una discrepancia. El valor se puede encontrar en. ^[27] Bootstrap es otra herramienta para encontrar parámetros de suavizado utilizando aproximaciones de MSE desconocido mediante diferentes esquemas de selección de remuestras; consulte, por ejemplo, ^[29].

Ver también

• Distribución leptocúrtica
• Distribución generalizada de valores extremos.
• Distribución de Pareto generalizada
• Parte aislada
• Cola larga
• Ley de potencia
• Siete estados de aleatoriedad
• Distribución de cola gruesa
  • Distribución de Taleb y distribución del Santo Grial

Referencias

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3. Rolski, Schmidli, Scmidt, Teugels, Procesos estocásticos para seguros y finanzas , 1999
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