Distribución log-cauchy

En teoría de la probabilidad, una distribución log-Cauchy es una distribución de probabilidad de una variable aleatoria cuyo logaritmo se distribuye de acuerdo con una distribución de Cauchy . Si X es una variable aleatoria con una distribución de Cauchy, entonces Y = exp( X ) tiene una distribución log-Cauchy; de la misma manera, si Y tiene una distribución log-Cauchy, entonces X  = log( Y ) tiene una distribución de Cauchy. ^[1]

Caracterización

La distribución log-Cauchy es un caso especial de la distribución log-t donde el parámetro de grados de libertad es igual a 1. ^[2]

Función de densidad de probabilidad

La distribución log-Cauchy tiene la función de densidad de probabilidad :

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\mu ,\sigma )&={\frac {1}{x\pi \sigma \left[1+\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right]}},\ \ x>0\\&={1 \over x\pi }\left[{\sigma \over (\ln x-\mu )^{2}+\sigma ^{2}}\right],\ \ x>0\end{aligned}}}$

donde es un número real y . ^{[1] [3]} Si se conoce, el parámetro de escala es . ^[1] y corresponden al parámetro de ubicación y al parámetro de escala de la distribución de Cauchy asociada. ^{[1] [4]} Algunos autores definen y como los parámetros de ubicación y escala, respectivamente, de la distribución log-Cauchy. ^[4] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle e^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

Para y , correspondientes a una distribución de Cauchy estándar, la función de densidad de probabilidad se reduce a: ^[5] ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \sigma =1}$

${\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{x\pi [1+(\ln x)^{2}]}},\ \ x>0}$

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa ( cdf ) cuando y es: ^[5] ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \sigma =1}$

${\displaystyle F(x;0,1)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x),\ \ x>0}$

Función de supervivencia

La función de supervivencia cuando y es: ^[5] ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \sigma =1}$

${\displaystyle S(x;0,1)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x),\ \ x>0}$

Tasa de riesgo

La tasa de riesgo cuando y es: ^[5] ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \sigma =1}$

${\displaystyle \lambda (x;0,1)=\left\{{\frac {1}{x\pi \left[1+\left(\ln x\right)^{2}\right]}}\left[{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x)\right]\right\}^{-1},\ \ x>0}$

La tasa de riesgo disminuye al principio y al final de la distribución, pero puede haber un intervalo en el que la tasa de riesgo aumenta. ^[5]

Propiedades

La distribución log-Cauchy es un ejemplo de una distribución de cola pesada . ^[6] Algunos autores la consideran una distribución de "cola superpesada", porque tiene una cola más pesada que una cola pesada de tipo distribución Pareto , es decir, tiene una cola que decae logarítmicamente . ^{[6] [7] Al igual que con la distribución de Cauchy, ninguno de los} momentos no triviales de la distribución log-Cauchy es finito. ^[5] La media es un momento por lo que la distribución log-Cauchy no tiene una media o desviación estándar definida . ^{[8] [9]}

La distribución log-Cauchy es infinitamente divisible para algunos parámetros pero no para otros. ^[10] Al igual que la distribución log-normal , log-t o log-Student y la distribución Weibull , la distribución log-Cauchy es un caso especial de la distribución beta generalizada de segundo tipo . ^{[11] [12]} La distribución log-Cauchy es en realidad un caso especial de la distribución log-t, similar a la distribución de Cauchy que es un caso especial de la distribución t de Student con 1 grado de libertad. ^{[13] [14]}

Dado que la distribución de Cauchy es una distribución estable , la distribución log-Cauchy es una distribución log-estable. ^[15] Las distribuciones log-estables tienen polos en x=0. ^[14]

Estimación de parámetros

La mediana de los logaritmos naturales de una muestra es un estimador robusto de . ^[1] La desviación absoluta mediana de los logaritmos naturales de una muestra es un estimador robusto de . ^[1] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

Usos

En las estadísticas bayesianas , la distribución log-Cauchy se puede utilizar para aproximar la densidad de Jeffreys -Haldane impropia , 1/k, que a veces se sugiere como la distribución previa para k donde k es un parámetro positivo que se está estimando. ^{[16] [17]} La ​​distribución log-Cauchy se puede utilizar para modelar ciertos procesos de supervivencia donde pueden ocurrir valores atípicos significativos o resultados extremos. ^{[3] [4] [18]} Un ejemplo de un proceso donde una distribución log-Cauchy puede ser un modelo apropiado es el tiempo entre que alguien se infecta con VIH y muestra síntomas de la enfermedad, que puede ser muy largo para algunas personas. ^[4] También se ha propuesto como un modelo para patrones de abundancia de especies . ^[19]

Referencias

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6. Falk, M.; Hüsler, J. y Reiss, R. (2010). Leyes de los números pequeños: extremos y eventos raros . Springer. pág. 80. ISBN 978-3-0348-0008-2.
7. Alves, MIF; de Haan, L. y Neves, C. (10 de marzo de 2006). "Inferencia estadística para distribuciones de colas pesadas y superpesadas" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 23 de junio de 2007.
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19. Zuo-Yun, Y.; et al. (junio de 2005). "Distribuciones log-Cauchy, log-sech y lognormal de la abundancia de especies en comunidades forestales". Ecological Modelling . 184 (2–4): 329–340. doi :10.1016/j.ecolmodel.2004.10.011.