Distribución log-t

En teoría de la probabilidad, una distribución log-t o distribución log-t de Student es una distribución de probabilidad de una variable aleatoria cuyo logaritmo se distribuye de acuerdo con una distribución t de Student . Si X es una variable aleatoria con una distribución t de Student, entonces Y = exp( X ) tiene una distribución log-t; de la misma manera, si Y tiene una distribución log-t, entonces X  = log( Y ) tiene una distribución t de Student. ^[1]

Caracterización

La distribución log-t tiene la función de densidad de probabilidad :

${\displaystyle p(x\mid \nu ,{\hat {\mu }},{\hat {\sigma }})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{x\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu }}{\hat {\sigma }}\,}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {\ln x-{\hat {\mu }}}{\hat {\sigma }}}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$,

donde es el parámetro de ubicación de la distribución t de Student subyacente (no estandarizada), es el parámetro de escala de la distribución t de Student subyacente (no estandarizada) y es el número de grados de libertad de la distribución t de Student subyacente. ^[1] Si y entonces la distribución subyacente es la distribución t de Student estandarizada. ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\hat {\mu }}=0}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}=1}$

Si entonces la distribución es una distribución log-Cauchy . ^[1] A medida que se acerca al infinito , la distribución se acerca a una distribución log-normal . ^{[1] [2]} Aunque la distribución log-normal tiene momentos finitos , para cualquier grado finito de libertad, la media y la varianza y todos los momentos superiores de la distribución log-t son infinitos o no existen. ^[1] ${\displaystyle \nu =1}$ ${\displaystyle \nu }$

La distribución log-t es un caso especial de la distribución beta generalizada de segundo tipo . ^{[1] [3] [4]} La distribución log-t es un ejemplo de una distribución de probabilidad compuesta entre la distribución lognormal y la distribución gamma inversa , en la que el parámetro de varianza de la distribución lognormal es una variable aleatoria distribuida según una distribución gamma inversa. ^{[3] [5]}

Aplicaciones

La distribución log-t tiene aplicaciones en finanzas. ^[3] Por ejemplo, la distribución de los rendimientos del mercado de valores a menudo muestra colas más anchas que una distribución normal y, por lo tanto, tiende a ajustarse mejor a una distribución t de Student que una distribución normal. Si bien el modelo de Black-Scholes basado en la distribución log-normal se utiliza a menudo para fijar el precio de las opciones sobre acciones , las fórmulas de fijación de precios de opciones basadas en la distribución log-t pueden ser una alternativa preferible si los rendimientos tienen colas anchas. ^[6] El hecho de que la distribución log-t tenga una media infinita es un problema cuando se utiliza para valorar opciones, pero existen técnicas para superar esa limitación, como truncar la función de densidad de probabilidad en algún valor grande arbitrario. ^{[6] [7] [8]}

La distribución log-t también tiene aplicaciones en hidrología y en el análisis de datos sobre la remisión del cáncer . ^{[1] [9]}

Distribución log-t multivariada

De manera análoga a la distribución log-normal, existen formas multivariadas de la distribución log-t. En este caso, el parámetro de ubicación se reemplaza por un vector μ y el parámetro de escala se reemplaza por una matriz Σ . ^[1]

Referencias

1. Olosunde, Akinlolu & Olofintuade, Sylvester (enero de 2022). "Algunos problemas inferenciales de la distribución T de Log Student y su extensión multivariada". Revista Colombiana de Estadística - Estadística Aplicada . 45 (1): 209–229. doi : 10.15446/rce.v45n1.90672 . Consultado el 1 de abril de 2022 .{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
2. Marshall, Albert W.; Olkin, Ingram (2007). Distribuciones de vida: Estructura de familias no paramétricas, semiparamétricas y paramétricas . Springer. pág. 445. ISBN. 978-1921209680.
3. Bookstaber, Richard M.; McDonald, James B. (julio de 1987). "Una distribución general para describir los rendimientos de los precios de los valores". The Journal of Business . 60 (3). University of Chicago Press: 401–424. doi :10.1086/296404. JSTOR  2352878 . Consultado el 5 de abril de 2022 .
4. McDonald, James B.; Butler, Richard J. (mayo de 1987). "Algunas distribuciones de mezcla generalizadas con una aplicación a la duración del desempleo". The Review of Economics and Statistics . 69 (2): 232–240. doi :10.2307/1927230. JSTOR  1927230.
5. Vanegas, Luis Hernando; Paula, Gilberto A. (2016). "Distribuciones log-simétricas: Propiedades estadísticas y estimación de parámetros". Revista Brasileña de Probabilidad y Estadística . 30 (2): 196–220. doi : 10.1214/14-BJPS272 .
6. Cassidy, Daniel T.; Hamp, Michael J.; Ouyed, Rachid (2010). "Fijación de precios de opciones europeas con una distribución t de Student logarítmica: una fórmula de Gosset". Physica A . 389 (24): 5736–5748. arXiv : 0906.4092 . Código Bibliográfico :2010PhyA..389.5736C. doi :10.1016/j.physa.2010.08.037. S2CID  100313689.
7. Kou, SG (agosto de 2022). "Un modelo de difusión por saltos para la fijación de precios de opciones". Management Science . 48 (8): 1086–1101. doi :10.1287/mnsc.48.8.1086.166. JSTOR  822677 . Consultado el 5 de abril de 2022 .
8. Basnarkov, Lasko; Stojkoski, Viktor; Utkovski, Zoran; Kocarev, Ljupco (2019). "Precios de opciones con distribuciones de cola pesada de retornos logarítmicos". Revista internacional de finanzas teóricas y aplicadas . 22 (7). arXiv : 1807.01756 . doi :10.1142/S0219024919500419. S2CID  121129552.
9. Viglione, A. (2010). "Sobre la distribución de muestreo del coeficiente de variación L para aplicaciones hidrológicas" (PDF) . Discusiones sobre hidrología y ciencias del sistema terrestre . 7 : 5467–5496. doi : 10.5194/hessd-7-5467-2010 . Consultado el 1 de abril de 2022 .