Distribución de cola gorda

Distribución de probabilidad con alta asimetría o curtosis

Una distribución de cola gruesa es una distribución de probabilidad que exhibe una gran asimetría o curtosis , en relación con la de una distribución normal o una distribución exponencial . ^{[ ¿Cuándo se define como? ]} En el uso común, los términos de cola gruesa y cola pesada a veces son sinónimos; cola gruesa a veces también se define como un subconjunto de cola pesada. Diferentes comunidades de investigación favorecen una u otra en gran medida por razones históricas, y pueden tener diferencias en la definición precisa de cualquiera de ellas.

Las distribuciones de cola gruesa se han encontrado empíricamente en una variedad de áreas: física , ciencias de la tierra, economía y ciencia política. La clase de distribuciones de cola gruesa incluye aquellas cuyas colas decaen como una ley de potencia , que es un punto de referencia común en su uso en la literatura científica. Sin embargo, las distribuciones de cola gruesa también incluyen otras distribuciones de decaimiento lento, como la log-normal . ^[1]

El caso extremo: una distribución de ley de potencia

El caso más extremo de una cola gorda se da por una distribución cuya cola decae como una ley de potencia .

Diversas distribuciones de Cauchy para distintos parámetros de escala y ubicación. Las distribuciones de Cauchy son ejemplos de distribuciones de cola gruesa.

Es decir, si la distribución acumulativa complementaria de una variable aleatoria X puede expresarse como ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle \Pr \left\{\ X>x\ \right\}\sim x^{-\alpha }\quad }$para​ ${\displaystyle \quad x\to \infty \quad }$ ${\displaystyle \quad \alpha >0\;,}$

entonces se dice que la distribución tiene una cola gruesa si . Para tales valores, la varianza y la asimetría de la cola son matemáticamente indefinidas (una propiedad especial de la distribución de ley de potencia), y por lo tanto mayores que cualquier distribución normal o exponencial. Para valores de la afirmación de una cola gruesa es más ambigua, porque en este rango de parámetros, la varianza, la asimetría y la curtosis pueden ser finitas, dependiendo del valor preciso de y por lo tanto potencialmente menores que una cola normal o exponencial de alta varianza. Esta ambigüedad a menudo conduce a desacuerdos sobre qué es exactamente, o no es, una distribución de cola gruesa. Porque el momento es infinito, por lo que para cada distribución de ley de potencia, algunos momentos son indefinidos. ^[2] ${\displaystyle \alpha <2}$ ${\displaystyle \ \alpha >2\ ,}$ ${\displaystyle \ \alpha \ ,}$ ${\displaystyle \ k>\alpha -1\ ,}$ ${\displaystyle \ k^{\mathsf {th}}\ }$

Nota

Aquí la notación tilde " " significa que la cola de la distribución decae como una ley de potencia; más técnicamente, se refiere a la equivalencia asintótica de funciones , lo que significa que su relación tiende asintóticamente a una constante. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \sim }$

Colas gordas y distorsiones en la estimación del riesgo

Vuelo de Lévy desde una distribución de Cauchy en comparación con el movimiento browniano (abajo). Los eventos centrales son más comunes y los eventos raros son más extremos en la distribución de Cauchy que en el movimiento browniano. Un solo evento puede comprender el 99% de la variación total, de ahí la "varianza indefinida".

Vuelo de Lévy desde una distribución normal ( movimiento browniano ).

En comparación con las distribuciones de cola gruesa, en la distribución normal, los eventos que se desvían de la media en cinco o más desviaciones estándar ("eventos de 5 sigma") tienen una probabilidad menor, lo que significa que en la distribución normal los eventos extremos son menos probables que en las distribuciones de cola gruesa. Las distribuciones de cola gruesa, como la distribución de Cauchy (y todas las demás distribuciones estables con excepción de la distribución normal ), tienen una "sigma indefinida" (en términos más técnicos, la varianza es indefinida).

En consecuencia, cuando los datos surgen de una distribución subyacente de cola gruesa, la introducción forzada del modelo de riesgo de "distribución normal" (y la estimación de sigma basada (necesariamente) en un tamaño de muestra finito) subestimaría el verdadero grado de dificultad predictiva (y de riesgo). Muchos (en particular Benoît Mandelbrot y Nassim Taleb ) han señalado esta deficiencia del modelo de distribución normal y han propuesto que las distribuciones de cola gruesa, como las distribuciones estables, rigen los rendimientos de los activos que se encuentran con frecuencia en las finanzas . ^{[3] [4] [5]}

El modelo de Black-Scholes para la determinación del precio de las opciones se basa en una distribución normal. Si la distribución es en realidad de cola gruesa, entonces el modelo subestimará el precio de las opciones que están muy fuera del dinero , ya que un evento de 5 o 7 sigma es mucho más probable de lo que predeciría la distribución normal. ^[6]

Aplicaciones en economía

En finanzas , las colas gordas ocurren a menudo, pero se consideran indeseables debido al riesgo adicional que implican. Por ejemplo, una estrategia de inversión puede tener un rendimiento esperado, después de un año, que es cinco veces su desviación estándar. Suponiendo una distribución normal, la probabilidad de su fracaso (rendimiento negativo) es menor de una en un millón; en la práctica, puede ser mayor. Las distribuciones normales que surgen en finanzas generalmente lo hacen porque los factores que influyen en el valor o precio de un activo son matemáticamente "bien comportados", y el teorema del límite central prevé tal distribución. Sin embargo, los eventos traumáticos del "mundo real" (como un shock petrolero, una gran quiebra corporativa o un cambio abrupto en una situación política) generalmente no son matemáticamente bien comportados .

Algunos ejemplos históricos incluyen el desplome de Wall Street de 1929 , el Lunes Negro (1987) , la burbuja puntocom , la crisis financiera de 2007-2008 , el flash crash de 2010 , el desplome del mercado de valores de 2020 y la desvinculación de algunas monedas. ^[7]

Las colas gruesas en las distribuciones de retornos del mercado también tienen algunos orígenes conductuales (optimismo o pesimismo excesivo de los inversores que conduce a grandes movimientos del mercado) y, por lo tanto, se estudian en las finanzas conductuales .

En marketing , la regla 80-20 que se encuentra con frecuencia (por ejemplo, "el 20% de los clientes representa el 80% de los ingresos") es una manifestación de una distribución de cola gruesa subyacente a los datos. ^[8]

Las "colas gordas" también se observan en los mercados de materias primas o en la industria discográfica , especialmente en los mercados fonográficos . La función de densidad de probabilidad para el logaritmo de los cambios de ventas semanales de discos es altamente leptocúrtica y se caracteriza por un máximo más estrecho y más grande, y por una cola más gorda que en el caso de la distribución normal. Por otro lado, esta distribución tiene solo una cola gorda asociada con un aumento en las ventas debido a la promoción de los nuevos discos que entran en las listas. ^[9]

Véase también

• Riesgo de cola
• Teoría del cisne negro
• Siete estados de aleatoriedad
• Distribución de Taleb

Referencias

1. Bahat; Rabinovich; Frid (2005). Fracturación por tracción en rocas. Springer.
2. Thomas, Mikosch (1999). Subexponencialidad de variación regular y sus aplicaciones en la teoría de la probabilidad (PDF) . eurandom.tue.nl (Informe). Centro de talleres en el área de Estocástica, Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación. Eindhoven, NL: Universidad Tecnológica de Eindhoven .
3. Taleb, NN (2007). El cisne negro . Random House y Penguin. ISBN 9781400063512.
4. Mandelbrot, B. (1997). Fractales y escalamiento en finanzas: discontinuidad, concentración, riesgo . Springer.
5. Mandelbrot, B. (1963). "La variación de ciertos precios especulativos" (PDF) . The Journal of Business . 36 (4): 394. doi :10.1086/294632.
6. Steven R. Dunbar, Limitaciones del modelo Black-Scholes, Procesos estocásticos y finanzas matemáticas avanzadas 2009 http://www.math.unl.edu/~sdunbar1/MathematicalFinance/Lessons/BlackScholes/Limitations/limitations.xml Archivado el 26 de enero de 2014 en Wayback Machine.
7. Dash, Jan W. (2004). Finanzas cuantitativas y gestión de riesgos: el enfoque de un físico. World Scientific Pub.
8. Koch, Richard, 1950- (2008). El principio 80/20: el secreto de lograr más con menos (edición revisada y actualizada). Nueva York: Doubleday. ISBN 9780385528313.OCLC 429075591  .{{cite book}}: CS1 maint: nombres múltiples: lista de autores ( enlace ) CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
9. Buda, A. (2012). "¿Existe la música pop? Estructura jerárquica en los mercados fonográficos". Physica A . 391 (21): 5153–5159. doi :10.1016/j.physa.2012.05.057.

Enlaces externos

• Ejemplos de colas gordas en series temporales financieras
• Distribución de la cola gorda - John A. Robb Archivado el 17 de marzo de 2017 en Wayback Machine