Convolución de distribuciones de probabilidad

Distribución de probabilidad de la suma de variables aleatorias

La convolución/suma de distribuciones de probabilidad surge en teoría de probabilidad y estadística como la operación en términos de distribuciones de probabilidad que corresponde a la suma de variables aleatorias independientes y, por extensión, a la formación de combinaciones lineales de variables aleatorias. La operación que se presenta aquí es un caso especial de convolución en el contexto de distribuciones de probabilidad.

Introducción

La distribución de probabilidad de la suma de dos o más variables aleatorias independientes es la convolución de sus distribuciones individuales. El término está motivado por el hecho de que la función de masa de probabilidad o la función de densidad de probabilidad de una suma de variables aleatorias independientes es la convolución de sus funciones de masa de probabilidad o funciones de densidad de probabilidad correspondientes, respectivamente. Muchas distribuciones conocidas tienen convoluciones simples: consulte Lista de convoluciones de distribuciones de probabilidad .

La fórmula general para la distribución de la suma de dos variables aleatorias independientes de valor entero (y por lo tanto discretas) es ^[1] ${\displaystyle Z=X+Y}$

${\displaystyle P(Z=z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }P(X=k)P(Y=z-k)}$

Para variables aleatorias continuas e independientes con funciones de densidad de probabilidad (PDF) y funciones de distribución acumulativa (CDF) respectivamente, tenemos que la CDF de la suma es: ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle F,G}$

${\displaystyle H(z)=\int _{-\infty }^{\infty }F(z-t)g(t)dt=\int _{-\infty }^{\infty }G(t)f(z-t)dt}$

Si partimos de variables aleatorias y , relacionadas por , y sin información sobre su posible independencia, entonces: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z=X+Y}$

${\displaystyle f_{Z}(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{XY}(x,z-x)~dx}$

Sin embargo, si y son independientes, entonces: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f_{XY}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)}$

y esta fórmula se convierte en la convolución de distribuciones de probabilidad:

${\displaystyle f_{Z}(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)~f_{Y}(z-x)~dx}$

Ejemplo de derivación

Existen varias formas de derivar fórmulas para la convolución de distribuciones de probabilidad. A menudo, la manipulación de las integrales se puede evitar mediante el uso de algún tipo de función generadora . Dichos métodos también pueden ser útiles para derivar propiedades de la distribución resultante, como los momentos, incluso si no se puede derivar una fórmula explícita para la distribución en sí.

Una de las técnicas más sencillas es utilizar funciones características , que siempre existen y son exclusivas de una distribución dada. ^{[ cita requerida ]}

Convolución de distribuciones de Bernoulli

La convolución de dos variables aleatorias de Bernoulli independientes distribuidas de forma idéntica es una variable aleatoria binomial. Es decir, en notación abreviada,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{2}\mathrm {Bernoulli} (p)\sim \mathrm {Binomial} (2,p)}$

Para demostrarlo, dejemos que

${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Bernoulli} (p),\quad 0<p<1,\quad 1\leq i\leq 2}$

y definir

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{2}X_{i}}$

Además, sea Z una variable aleatoria binomial genérica:

${\displaystyle Z\sim \mathrm {Binomial} (2,p)\,\!}$

Uso de funciones de masa de probabilidad

Como son independientes, ${\displaystyle X_{1}{\text{ and }}X_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} [Y=n]&=\mathbb {P} \left[\sum _{i=1}^{2}X_{i}=n\right]\\&=\sum _{m\in \mathbb {Z} }\mathbb {P} [X_{1}=m]\times \mathbb {P} [X_{2}=n-m]\\&=\sum _{m\in \mathbb {Z} }\left[{\binom {1}{m}}p^{m}\left(1-p\right)^{1-m}\right]\left[{\binom {1}{n-m}}p^{n-m}\left(1-p\right)^{1-n+m}\right]\\&=p^{n}\left(1-p\right)^{2-n}\sum _{m\in \mathbb {Z} }{\binom {1}{m}}{\binom {1}{n-m}}\\&=p^{n}\left(1-p\right)^{2-n}\left[{\binom {1}{0}}{\binom {1}{n}}+{\binom {1}{1}}{\binom {1}{n-1}}\right]\\&={\binom {2}{n}}p^{n}\left(1-p\right)^{2-n}=\mathbb {P} [Z=n]\end{aligned}}}$

Aquí, utilizamos el hecho de que k > n en la penúltima igualdad, y de la regla de Pascal en la segunda última igualdad. ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}=0}$

Uso de funciones características

La función característica de cada uno y de es ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \varphi _{X_{k}}(t)=1-p+pe^{it}\qquad \varphi _{Z}(t)=\left(1-p+pe^{it}\right)^{2}}$

donde t está dentro de algún vecindario de cero.

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{Y}(t)&=\operatorname {E} \left(e^{it\sum _{k=1}^{2}X_{k}}\right)=\operatorname {E} \left(\prod _{k=1}^{2}e^{itX_{k}}\right)\\&=\prod _{k=1}^{2}\operatorname {E} \left(e^{itX_{k}}\right)=\prod _{k=1}^{2}\left(1-p+pe^{it}\right)\\&=\left(1-p+pe^{it}\right)^{2}=\varphi _{Z}(t)\end{aligned}}}$

La expectativa del producto es el producto de las expectativas ya que cada una es independiente. Como y tienen la misma función característica, deben tener la misma distribución. ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

Véase también

• Lista de convoluciones de distribuciones de probabilidad

Referencias

1. Susan Holmes (1998). Sumas de variables aleatorias: Estadística 116. Stanford. http://statweb.stanford.edu/~susan/courses/s116/node114.html

• Hogg, Robert V. ; McKean, Joseph W.; Craig, Allen T. (2004). Introducción a la estadística matemática (6.ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. pág. 692. ISBN 978-0-13-008507-8.Sr. 0467974  .