Lista de convoluciones de distribuciones de probabilidad

En teoría de la probabilidad , la distribución de probabilidad de la suma de dos o más variables aleatorias independientes es la convolución de sus distribuciones individuales. El término está motivado por el hecho de que la función de masa de probabilidad o la función de densidad de probabilidad de una suma de variables aleatorias independientes es la convolución de sus funciones de masa de probabilidad o funciones de densidad de probabilidad correspondientes, respectivamente. Muchas distribuciones conocidas tienen convoluciones simples. La siguiente es una lista de estas convoluciones. Cada enunciado tiene la forma

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim Y}$

donde son variables aleatorias independientes, y es la distribución que resulta de la convolución de . En lugar de y se han indicado los nombres de las distribuciones correspondientes y sus parámetros. ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y}$

Distribuciones discretas

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Bernoulli} (p)\sim \mathrm {Binomial} (n,p)\qquad 0<p<1\quad n=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Binomial} (n_{i},p)\sim \mathrm {Binomial} \left(\sum _{i=1}^{n}n_{i},p\right)\qquad 0<p<1\quad n_{i}=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {NegativeBinomial} (n_{i},p)\sim \mathrm {NegativeBinomial} \left(\sum _{i=1}^{n}n_{i},p\right)\qquad 0<p<1\quad n_{i}=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Geometric} (p)\sim \mathrm {NegativeBinomial} (n,p)\qquad 0<p<1\quad n=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {Poisson} (\lambda _{i})\sim \mathrm {Poisson} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)\qquad \lambda _{i}>0}$

Distribuciones continuas

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Stable} \left(\alpha ,\beta _{i},c_{i},\mu _{i}\right)=\operatorname {Stable} \left(\alpha ,{\frac {\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}c_{i}^{\alpha }}{\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{\alpha }}},\left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{\alpha }\right)^{1/\alpha },\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}\right)}$

${\displaystyle \qquad 0<\alpha _{i}\leq 2\quad -1\leq \beta _{i}\leq 1\quad c_{i}>0\quad \infty <\mu _{i}<\infty }$

Las tres afirmaciones siguientes son casos especiales de la afirmación anterior:

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Normal} (\mu _{i},\sigma _{i}^{2})\sim \operatorname {Normal} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)\qquad -\infty <\mu _{i}<\infty \quad \sigma _{i}^{2}>0\quad (\alpha =2,\beta _{i}=0)}$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Cauchy} (a_{i},\gamma _{i})\sim \operatorname {Cauchy} \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i},\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}\right)\qquad -\infty <a_{i}<\infty \quad \gamma _{i}>0\quad (\alpha =1,\beta _{i}=0)}$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Levy} (\mu _{i},c_{i})\sim \operatorname {Levy} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},\left(\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {c_{i}}}\right)^{2}\right)\qquad -\infty <\mu _{i}<\infty \quad c_{i}>0\quad (\alpha =1/2,\beta _{i}=1)}$

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Gamma} (\alpha _{i},\beta )\sim \operatorname {Gamma} \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i},\beta \right)\qquad \alpha _{i}>0\quad \beta >0}$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Voigt} (\mu _{i},\gamma _{i},\sigma _{i})\sim \operatorname {Voigt} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i},{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}}}\right)\qquad -\infty <\mu _{i}<\infty \quad \gamma _{i}>0\quad \sigma _{i}>0}$^[1]
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {VarianceGamma} (\mu _{i},\alpha ,\beta ,\lambda _{i})\sim \operatorname {VarianceGamma} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},\alpha ,\beta ,\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)\qquad -\infty <\mu _{i}<\infty \quad \lambda _{i}>0\quad {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}>0}$^[2]
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Exponential} (\theta )\sim \operatorname {Erlang} (n,\theta )\qquad \theta >0\quad n=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Exponential} (\lambda _{i})\sim \operatorname {Hypoexponential} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})\qquad \lambda _{i}>0}$^[3]
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\chi ^{2}(r_{i})\sim \chi ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}\right)\qquad r_{i}=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}N^{2}(0,1)\sim \chi _{r}^{2}\qquad r=1,2,\dots }$
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2},\quad }$ ¿De dónde es una muestra aleatoria y de dónde proviene? ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}.}$

Distribuciones mixtas:

• ${\displaystyle \operatorname {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})+\operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma )\sim \operatorname {Voigt} (\mu +x_{0},\sigma ,\gamma )\qquad -\infty <\mu <\infty \quad -\infty <x_{0}<\infty \quad \gamma >0\quad \sigma >0}$

Véase también

• Álgebra de variables aleatorias
• Relaciones entre distribuciones de probabilidad
• Divisibilidad infinita (probabilidad)
• Distribución de Bernoulli
• Distribución binomial
• Distribución de Cauchy
• Distribución de Erlang
• Distribución exponencial
• Distribución gamma
• Distribución geométrica
• Distribución hipoexponencial
• Distribución de Lévy
• Distribución de Poisson
• Distribución estable
• Distribución de mezcla
• Suma de variables aleatorias distribuidas normalmente

Referencias

1. "VoigtDistribution". Documentación de Wolfram Language . 2016 [2012] . Consultado el 8 de abril de 2021 .
2. "Distribución de la varianza gamma". Documentación de Wolfram Language (publicada en 2016). 2012 . Consultado el 9 de abril de 2021 .
3. Yanev, George P. (15 de diciembre de 2020). "Distribuciones exponenciales e hipoexponenciales: algunas caracterizaciones". Matemáticas . 8 (12): 2207. arXiv : 2012.08498 . doi : 10.3390/math8122207 .

Fuentes

• Hogg, Robert V. ; McKean, Joseph W.; Craig, Allen T. (2004). Introducción a la estadística matemática (6.ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. pág. 692. ISBN 978-0-13-008507-8.Sr. 0467974  .