Distribución de Fréchet

Distribución de probabilidad continua

La distribución de Fréchet , también conocida como distribución inversa de Weibull , ^{[2] [3]} es un caso especial de la distribución generalizada de valores extremos . Tiene la función de distribución acumulativa

${\displaystyle \Pr(\ X\leq x\ )=e^{-x^{-\alpha }}~{\text{ if }}~x>0~.}$

donde α > 0 es un parámetro de forma . Se puede generalizar para incluir un parámetro de ubicación m (el mínimo) y un parámetro de escala s > 0 con la función de distribución acumulativa       

${\displaystyle \Pr(\ X\leq x\ )=\exp \left(\ -\left({\tfrac {\ x-m\ }{s}}\right)^{-\alpha }\ \right)~{\text{ if }}~x>m~.}$

El nombre se debe a Maurice Fréchet , quien escribió un artículo relacionado en 1927. ^[4] Fisher y Tippett realizaron trabajos adicionales en 1928 y Gumbel en 1958. ^{[5] [6]}

Características

El parámetro único de Fréchet, con parámetro tiene momento estandarizado ${\displaystyle \ \alpha \ ,}$

${\displaystyle \mu _{k}=\int _{0}^{\infty }x^{k}f(x)\ \operatorname {d} x=\int _{0}^{\infty }t^{-{\frac {k}{\alpha }}}e^{-t}\ \operatorname {d} t\ ,}$

(con ) definido solo para ${\displaystyle \ t=x^{-\alpha }\ }$ ${\displaystyle \ k<\alpha \ :}$

${\displaystyle \ \mu _{k}=\Gamma \left(1-{\frac {k}{\alpha }}\right)\ }$

¿Dónde está la función Gamma ? ${\displaystyle \ \Gamma \left(z\right)\ }$

En particular:

• Porque la expectativa es ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle E[X]=\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }})}$
• Porque la varianza es ${\displaystyle \alpha >2}$ ${\displaystyle {\text{Var}}(X)=\Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-{\big (}\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\big )}^{2}.}$

El cuantil de orden se puede expresar a través de la inversa de la distribución, ${\displaystyle q_{y}}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle q_{y}=F^{-1}(y)=\left(-\log _{e}y\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$.

En particular la mediana es:

${\displaystyle q_{1/2}=(\log _{e}2)^{-{\frac {1}{\alpha }}}.}$

El modo de distribución es ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}.}$

Especialmente para el Fréchet de 3 parámetros, el primer cuartil es y el tercer cuartil es ${\displaystyle q_{1}=m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\log(4)}}}}$ ${\displaystyle q_{3}=m+{\frac {s}{\sqrt[{\alpha }]{\log({\frac {4}{3}})}}}.}$

Además, los cuantiles para la media y la moda son:

${\displaystyle F(mean)=\exp \left(-\Gamma ^{-\alpha }\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)}$

${\displaystyle F(mode)=\exp \left(-{\frac {\alpha +1}{\alpha }}\right).}$

Aplicaciones

Distribución de Fréchet acumulada ajustada a precipitaciones extremas de un día

• En hidrología , la distribución de Fréchet se aplica a eventos extremos, como las precipitaciones máximas anuales de un día y las descargas de los ríos. ^[7] La ​​imagen azul, realizada con CumFreq , ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución de Fréchet a las precipitaciones máximas anuales de un día clasificadas en Omán, mostrando también el cinturón de confianza del 90 % basado en la distribución binomial . Las frecuencias acumuladas de los datos de precipitaciones se representan trazando posiciones como parte del análisis de frecuencia acumulada .

Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones hidrológicas, el ajuste de la distribución se realiza a través de la distribución de valores extremos generalizada , ya que esto evita imponer el supuesto de que la distribución no tiene un límite inferior (como lo requiere la distribución de Frechet). ^{[ cita requerida ]}

Análisis de curva de declive ajustada. El modelo de Duong puede considerarse como una generalización de la distribución de Frechet.

• En el análisis de la curva de declive , un patrón de declive de los datos de series temporales de la tasa de producción de petróleo o gas a lo largo del tiempo para un pozo se puede describir mediante la distribución de Fréchet. ^[8]
• Una prueba para evaluar si una distribución multivariada es asintóticamente dependiente o independiente consiste en transformar los datos en márgenes de Fréchet estándar utilizando la transformación y luego mapear de coordenadas cartesianas a coordenadas pseudopolares . Los valores de corresponden a los datos extremos para los cuales al menos un componente es grande, mientras que aproximadamente 1 o 0 corresponden a que solo un componente es extremo. ${\displaystyle Z_{i}=-1/\log F_{i}(X_{i})}$ ${\displaystyle (R,W)=(Z_{1}+Z_{2},Z_{1}/(Z_{1}+Z_{2}))}$ ${\displaystyle R\gg 1}$ ${\displaystyle W}$
• En economía se utiliza para modelar el componente idiosincrásico de las preferencias de los individuos por diferentes productos ( Organización Industrial ), ubicaciones (Economía Urbana) o empresas ( Economía Laboral ).

Distribuciones relacionadas

• La función de distribución acumulativa de la distribución de Frechet resuelve la ecuación del postulado de máxima estabilidad

Relaciones de escalamiento

• Si ( distribución uniforme continua ) entonces ${\displaystyle \ X\sim U(\ 0,1\ )\ }$ ${\displaystyle \ m+s\cdot {\Bigl (}-\log _{e}\!(X)\ {\Bigr )}^{\frac {-1\;}{\alpha }}\sim {\textsf {Frechet}}(\alpha ,s,m)\ }$

• Si entonces su recíproco está distribuido según Weibull : ${\displaystyle \ X\sim {\textsf {Frechet}}(\ \alpha ,s,m=0\ )\ }$ ${\displaystyle \ {\frac {\ 1\ }{X}}\sim {\textsf {Weibull}}\!\left(\ k=\alpha ,\lambda ={\tfrac {1}{s}}\ \right)\ }$

• Si entonces ${\displaystyle \ X\sim {\textsf {Frechet}}(\alpha ,s,m)\ }$ ${\displaystyle \ k\ X+b\sim {\textrm {Frechet}}(\ \alpha ,ks,k\ m+b\ )\ }$

• Si y entonces ${\displaystyle \ X_{i}\sim {\textsf {Frechet}}(\ \alpha ,s,m\ )\ }$ ${\displaystyle \ Y=\max\{\ X_{1},\ldots ,X_{n}\ \}\ }$ ${\displaystyle \ Y\sim {\textsf {Frechet}}(\ \alpha ,n^{\tfrac {1}{\alpha }}s,m\ )\ }$

Propiedades

• La distribución de Frechet es una distribución máxima estable.
• El negativo de una variable aleatoria que tiene una distribución de Frechet es una distribución mínimamente estable.

Véase también

• Distribución de Gumbel tipo 2
• Teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko

Referencias

1. Muraleedharan, G.; Guedes Soares, C.; Lucas, Cláudia (2011). "Funciones generadoras de características y momentos de la distribución generalizada de valores extremos (GEV)". En Wright, Linda L. (ed.). Aumento del nivel del mar, ingeniería costera, costas y mareas . Nova Science Publishers. Capítulo 14, págs. 269–276. ISBN 978-1-61728-655-1.
2. Khan, MS; Pasha, GR; Pasha, AH (febrero de 2008). "Análisis teórico de la distribución inversa de Weibull" (PDF) . WSEAS Transactions on Mathematics . 7 (2): 30–38.
3. de Gusmão, Felipe RS; Ortega, Edwin MM; Cordeiro, Gauss M. (2011). "La distribución de Weibull inversa generalizada". Artículos estadísticos . 52 (3). Springer-Verlag: 591–619. doi :10.1007/s00362-009-0271-3. ISSN  0932-5026.
4. Fréchet, M. (1927). "Sur la loi de probabilité de l'écart Maximum" [Sobre la distribución de probabilidad de la desviación máxima]. Annales Polonici Mathematici (en francés). 6 : 93.
5. Fisher, RA ; Tippett, LHC (1928). "Formas limitantes de la distribución de frecuencias del miembro más grande y más pequeño de una muestra". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 24 (2): 180–190. Bibcode :1928PCPS...24..180F. doi :10.1017/S0305004100015681. S2CID  123125823.
6. Gumbel, EJ (1958). Estadísticas de extremos . Nueva York, NY: Columbia University Press. OCLC  180577.
7. Coles, Stuart (2001). Introducción al modelado estadístico de valores extremos. Springer-Verlag. ISBN 978-1-85233-459-8.
8. Lee, Se Yoon; Mallick, Bani (2021). "Modelado jerárquico bayesiano: aplicación a los resultados de producción en Eagle Ford Shale del sur de Texas". Sankhya B . 84 : 1–43. doi :10.1007/s13571-020-00245-8.

Lectura adicional

• Kotz, S.; Nadarajah, S. (2000). Distribuciones de valores extremos: teoría y aplicaciones . World Scientific. ISBN 1-86094-224-5.

Enlaces externos

• Hurairah, Ahmed; Ibrahim, Noor Akma; bin Daud, Isa; Haron, Kassim (febrero de 2005). "Una aplicación de una nueva distribución de valores extremos a los datos de contaminación del aire". Gestión de la calidad ambiental . 16 (1): 17–25. doi :10.1108/14777830510574317. ISSN  1477-7835.
• "wfrechstat: media y varianza para la distribución de Frechet". Análisis de olas para fatiga y oceanografía (WAFO) ( software y documentación de Matlab ). Centro de Ciencias Matemáticas. Universidad de Lund / Instituto Tecnológico de Lund . Consultado el 11 de noviembre de 2023 en www.maths.lth.se.