Distribución generalizada de valores extremos.

Familia de distribuciones de probabilidad

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución de valores extremos generalizados ( GEV ) ^[3] es una familia de distribuciones de probabilidad continuas desarrolladas dentro de la teoría de valores extremos para combinar las familias Gumbel , Fréchet y Weibull , también conocidas como distribuciones de valores extremos tipo I, II y III. . Según el teorema del valor extremo, la distribución GEV es la única distribución límite posible de máximos adecuadamente normalizados de una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. ^[4] Tenga en cuenta que es necesario que exista una distribución límite, lo que requiere condiciones de regularidad en la cola de la distribución. A pesar de esto, la distribución GEV se utiliza a menudo como una aproximación para modelar los máximos de secuencias largas (finitas) de variables aleatorias.

En algunos campos de aplicación, la distribución de valores extremos generalizada se conoce como distribución de Fisher-Tippett , llamada así en honor a Ronald Fisher y el LHC Tippett , quienes reconocieron tres formas diferentes que se describen a continuación. Sin embargo, el uso de este nombre a veces se limita al caso especial de la distribución Gumbel . El origen de la forma funcional común para las 3 distribuciones se remonta al menos a Jenkinson, AF (1955), ^[5] aunque supuestamente ^[6] también podría haber sido dada por von Mises, R. (1936). ^[7]

Especificación

Usando la variable estandarizada donde el parámetro de ubicación, puede ser cualquier número real, y es el parámetro de escala; la función de distribución acumulativa de la distribución GEV es entonces ${\displaystyle \ s\equiv {\frac {\ x-\mu \ }{\sigma }}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mu \ ,}$ ${\displaystyle \ \sigma >0\ }$

$${\displaystyle F(\ s;\ \xi \ )={\begin{cases}\exp \!{\Bigl (}-e^{-s}{\Bigr )}&~~{\text{ for }}~~\xi =0\ ,\\{}\\\exp \!{\Bigl (}-{\bigl (}1+\xi s{\bigr )}^{-{\tfrac {\ 1\ }{\xi }}}{\Bigr )}&~~{\text{ for }}~~\xi \neq 0~~{\text{ and }}~~\xi \ s>-1\ ,\\{}\\0&~~{\text{ for }}~~\xi >0~~{\text{ and }}~~s\leq -{\tfrac {\ 1\ }{\xi }}\ ,\\{}\\1&~~{\text{ for }}~~\xi <0~~{\text{ and }}~~s\geq {\tfrac {1}{\ |\ \xi \ |\ }}\ ;\end{cases}}}$$

donde el parámetro de forma puede ser cualquier número real. Por lo tanto, para la expresión es válida para mientras que para es válida para En el primer caso, es el punto final inferior negativo, donde es  0  ; en el segundo caso, es el punto final superior positivo, donde es 1. Porque la segunda expresión no está formalmente definida y se reemplaza con la primera expresión, que es el resultado de tomar el límite de la segunda, como en cuyo caso puede ser cualquier número real. ${\displaystyle \ \xi \ ,}$ ${\displaystyle \ \xi >0\ ,}$ ${\displaystyle \ s>-{\tfrac {\ 1\ }{\xi }}\ ,}$ ${\displaystyle \ \xi <0\ }$ ${\displaystyle \ s<-{\tfrac {\ 1\ }{\xi }}~.}$ ${\displaystyle \ -{\tfrac {\ 1\ }{\xi }}\ }$ ${\displaystyle \ F\ }$ ${\displaystyle \ -{\tfrac {\ 1\ }{\xi }}\ }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \ \xi =0\ }$ ${\displaystyle \ \xi \to 0\ }$ ${\displaystyle \ s\ }$

En el caso especial de tal y por cualesquiera valores y poder tener. ${\displaystyle \ x=\mu \ ,}$ ${\displaystyle \ s=0\ }$ ${\displaystyle \ F(\ 0;\ \xi \ )=e^{-1}\ \approx 0.368\ }$ ${\displaystyle \ \xi \ }$ ${\displaystyle \ \sigma \ }$

La función de densidad de probabilidad de la distribución estandarizada es

$${\displaystyle f(\ s;\ \xi \ )={\begin{cases}e^{-s}\exp \!{\Bigl (}-e^{-s}{\Bigr )}&~~{\text{ for }}~~\xi =0,\\{}\\{\Bigl (}\ 1+\xi s\ {\Bigr )}^{-\left(1+{\tfrac {\ 1\ }{\xi }}\right)}\ \exp \!{\Bigl (}-\left(1+\xi s\right)^{\tfrac {\ -1\ }{\xi }}{\Bigr )}&~~{\text{ for }}~~\xi \neq 0~~{\text{ and }}~~\xi \ s>-1\ ,\\{}\\0&~~{\text{ otherwise; }}\end{cases}}}$$

nuevamente válido para en el caso y para en el caso La densidad es cero fuera del rango relevante. En este caso la densidad es positiva en toda la recta real. ${\displaystyle \ s>-{\tfrac {\ 1\ }{\xi }}\ }$ ${\displaystyle \ \xi >0\ ,}$ ${\displaystyle \ s<-{\tfrac {\ 1\ }{\xi }}\ }$ ${\displaystyle \ \xi <0~.}$ ${\displaystyle \ \xi =0\ }$

Dado que la función de distribución acumulativa es invertible, la función cuantil para la distribución GEV tiene una expresión explícita, a saber

$${\displaystyle \ Q(\ p;\ \mu ,\ \sigma ,\ \xi \ )={\begin{cases}\mu -\sigma \ \ln \!{\Bigl (}-\ln(p)\ {\Bigr )}&~{\text{ for }}~\xi =0~{\text{ and }}~p\in (\ 0\ ,\ 1\ )\ ,\\{}\\\mu +\displaystyle {\frac {\ \sigma \ }{\ \xi \ }}\left({\Bigl (}-\ln(p)\ {\Bigr )}^{-\xi }-1\right)&~{\text{ for }}~\xi >0~{\text{ and }}~p\in [\ 0\ ,\ 1\ )\ ,\\{}&~~{\text{ or }}~\,\xi <0~{\text{ and }}~p\in \ (\ 0\ ,\ 1\ ]\ ;\end{cases}}}$$

y por lo tanto la función de densidad cuantil, es ${\displaystyle \ q\equiv {\frac {\;\mathrm {d} \ Q\;}{\mathrm {d} \ p}}\ ,}$

${\displaystyle \ q(\ p;\ \sigma ,\ \xi \ )={\frac {\sigma }{\ {\Bigl (}-\ln(p)\ {\Bigr )}^{\xi +1}\ p\;}}\quad {\text{ for }}~~p\in (\ 0\ ,\ 1\ )\ ,}$

válido para y para cualquier real ${\displaystyle \ \sigma >0\ }$ ${\displaystyle \ \xi ~.}$

^[8]

Resumen estadístico

Algunas estadísticas simples de la distribución son: ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } (X)=\mu +(g_{1}-1){\frac {\sigma }{\xi }}}$para ${\displaystyle \xi <1}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=(g_{2}-g_{1}^{2}){\frac {\sigma ^{2}}{\xi ^{2}}},}$

${\displaystyle \operatorname {Mode} (X)=\mu +{\frac {\sigma }{\xi }}[(1+\xi )^{-\xi }-1].}$

La asimetría es para ξ>0

${\displaystyle \operatorname {skewness} (X)={\frac {g_{3}-3g_{2}g_{1}+2g_{1}^{3}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{3/2}}}}$

Para ξ < 0, el signo del numerador se invierte.

El exceso de curtosis es:

${\displaystyle \operatorname {kurtosis\ excess} (X)={\frac {g_{4}-4g_{3}g_{1}+6g_{2}g_{1}^{2}-3g_{1}^{4}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{2}}}-3~.}$

donde y es la función gamma . ${\displaystyle \ g_{k}=\Gamma (1-k\ \xi )\ ,}$ ${\displaystyle \ k=1,2,3,4\ ,}$ ${\displaystyle \ \Gamma (t)\ }$

Enlace a las familias Fréchet, Weibull y Gumbel

El parámetro de forma gobierna el comportamiento de la cola de la distribución. Las subfamilias definidas por tres casos: y estas corresponden, respectivamente, a las familias Gumbel , Fréchet y Weibull , cuyas funciones de distribución acumulativa se muestran a continuación. ${\displaystyle \ \xi \ }$ ${\displaystyle \ \xi =0\ ,}$ ${\displaystyle \ \xi >0\ ,}$ ${\displaystyle \ \xi <0\ ;}$

• Distribución de valores extremos tipo I o Gumbel , caso para todos ${\displaystyle ~\xi =0\ ,\quad }$ ${\displaystyle \quad x\in {\Bigl (}\ -\infty \ ,\ +\infty \ {\Bigr )}\ :}$

${\displaystyle F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ 0\ )=\exp \left(-\exp \left(-{\frac {\ x-\mu \ }{\sigma }}\right)\right)~.}$

• Distribución de valores extremos tipo II o Fréchet , caso para todos ${\displaystyle ~\xi >0\ ,\quad }$ ${\displaystyle \quad x\in \left(\ \mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}\ ,\ +\infty \ \right)\ :}$

dejar y ${\displaystyle \quad \alpha \equiv {\tfrac {\ 1\ }{\xi }}>0\quad }$ ${\displaystyle \quad y\equiv 1+{\tfrac {\xi }{\sigma }}(x-\mu )\ ;}$

${\displaystyle F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ \xi \ )={\begin{cases}0&y\leq 0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x\leq \mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}\\\exp \left(-{\frac {1}{~y^{\alpha }\ }}\right)&y>0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x>\mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}~.\end{cases}}}$

• Distribución de valores extremos tipo III o Weibull invertida , caso para todos ${\displaystyle ~\xi <0\ ,\quad }$ ${\displaystyle \quad x\in \left(-\infty \ ,\ \mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}\ \right)\ :}$

dejar y ${\displaystyle \quad \alpha \equiv -{\tfrac {1}{\ \xi \ }}>0\quad }$ ${\displaystyle \quad y\equiv 1-{\tfrac {\ |\ \xi \ |\ }{\sigma }}(x-\mu )\ ;}$

${\displaystyle F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ \xi \ )={\begin{cases}\exp \left(-y^{\alpha }\right)&y>0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x<\mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}\\1&y\leq 0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x\geq \mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}~.\end{cases}}}$

Las subsecciones siguientes comentan las propiedades de estas distribuciones.

Modificación para mínimos en lugar de máximos

La teoría aquí se relaciona con los máximos de datos y la distribución que se analiza es una distribución de valores extremos para los máximos. Se puede obtener una distribución de valores extremos generalizada para los mínimos de datos, por ejemplo, sustituyendo por en la función de distribución y restando la distribución acumulativa de uno: es decir, reemplazando con . Al hacerlo, se obtiene otra familia de distribuciones. ${\displaystyle \ -x\;}$ ${\displaystyle \;x\;}$ ${\displaystyle \ F(x)\ }$ ${\displaystyle \ 1-F(-x)\ }$

Convención alternativa para la distribución de Weibull

La distribución de Weibull ordinaria surge en aplicaciones de confiabilidad y se obtiene a partir de la distribución aquí usando la variable que brinda un soporte estrictamente positivo, en contraste con el uso en la formulación de la teoría de valores extremos aquí. Esto surge porque la distribución de Weibull ordinaria se utiliza para casos que tratan con mínimos de datos en lugar de máximos de datos. La distribución aquí tiene un parámetro de suma en comparación con la forma habitual de la distribución de Weibull y, además, se invierte de modo que la distribución tiene un límite superior en lugar de un límite inferior. Es importante destacar que en aplicaciones del GEV, el límite superior es desconocido y, por lo tanto, debe estimarse, mientras que cuando se aplica la distribución de Weibull ordinaria en aplicaciones de confiabilidad, generalmente se sabe que el límite inferior es cero. ${\displaystyle \ t=\mu -x\ ,}$

Rangos de las distribuciones.

Nótense las diferencias en los rangos de interés para las tres distribuciones de valores extremos: Gumbel es ilimitada, Fréchet tiene un límite inferior, mientras que Weibull invertida tiene un límite superior. Más precisamente, la Teoría del Valor Extremo (Teoría univariante) describe cuál de las tres es la ley limitante según la ley inicial X y en particular en función de su cola.

Distribución de variables logarítmicas.

Se puede vincular el tipo I con los tipos II y III de la siguiente manera: Si la función de distribución acumulativa de alguna variable aleatoria es del tipo II, y con los números positivos como soporte, es decir, entonces la función de distribución acumulativa de es del tipo I, es decir , de manera similar, si la función de distribución acumulativa de es del tipo III, y con los números negativos como soporte, es decir, entonces la función de distribución acumulativa de es del tipo I, es decir ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ F(\ x;\ 0,\ \sigma ,\ \alpha \ )\ ,}$ ${\displaystyle \ln X}$ ${\displaystyle \ F(\ x;\ \ln \sigma ,\ {\tfrac {1}{\ \alpha \ }},\ 0\ )~.}$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ F(\ x;\ 0,\ \sigma ,\ -\alpha \ )\ ,}$ ${\displaystyle \ \ln(-X)\ }$ ${\displaystyle \ F(\ x;\ -\ln \sigma ,\ {\tfrac {\ 1\ }{\alpha }},\ 0\ )~.}$

Enlace a modelos logit (regresión logística)

Los modelos logit multinomiales , y algunos otros tipos de regresión logística , pueden expresarse como modelos de variables latentes con variables de error distribuidas como distribuciones de Gumbel (distribuciones de valores extremos generalizadas de tipo I). Esta redacción es común en la teoría de los modelos de elección discreta , que incluyen modelos logit , modelos probit y varias extensiones de ellos, y se deriva del hecho de que la diferencia de dos variables distribuidas GEV tipo I sigue una distribución logística , de la cual la función logit es la función cuantil . Por lo tanto, la distribución GEV tipo I juega el mismo papel en estos modelos logit que la distribución normal en los modelos probit correspondientes.

Propiedades

La función de distribución acumulativa de la distribución de valores extremos generalizada resuelve la ecuación del postulado de estabilidad . ^{[ cita necesaria ]} La distribución de valores extremos generalizada es un caso especial de una distribución máxima estable y es una transformación de una distribución mínima estable.

Aplicaciones

• La distribución GEV se utiliza ampliamente en el tratamiento de "riesgos de cola" en campos que van desde los seguros hasta las finanzas. En este último caso, se ha considerado como un medio para evaluar diversos riesgos financieros mediante métricas como el valor en riesgo . ^{[9] [10]}

Distribución de probabilidad GEV ajustada a las precipitaciones máximas mensuales de un día en octubre, Surinam ^[11]

• Sin embargo, se ha descubierto que los parámetros de forma resultantes se encuentran en el rango que conduce a medias y varianzas indefinidas, lo que subraya el hecho de que el análisis de datos confiables a menudo es imposible. ^[12]
• En hidrología, la distribución GEV se aplica a eventos extremos como las precipitaciones máximas anuales de un día y los caudales de los ríos. ^[13] La imagen azul, hecha con CumFreq , ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución GEV a las precipitaciones máximas de un día clasificadas anualmente, mostrando también el cinturón de confianza del 90% basado en la distribución binomial . Los datos de lluvia se representan trazando posiciones como parte del análisis de frecuencia acumulada .

Ejemplo de variables normalmente distribuidas

Sean iid variables aleatorias distribuidas normalmente con media 0 y varianza 1 . El teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko ^[14] nos dice que donde ${\displaystyle \ \left\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \right\}\ }$ ${\displaystyle \ \max\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \}\sim GEV(\mu _{n},\sigma _{n},0)\ ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{n}&=\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)\\\sigma _{n}&=\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {1}{\ n\ \mathrm {e} \ }}\right)-\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)~.\end{aligned}}}$

Esto nos permite estimar, por ejemplo, la media de la media de la distribución GEV: ${\displaystyle \ \max\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \}\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ \max \left\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \right\}\ \right\}&\approx \mu _{n}+\gamma _{\mathsf {E}}\ \sigma _{n}\\&=(1-\gamma _{\mathsf {E}})\ \Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)+\gamma _{\mathsf {E}}\ \Phi ^{-1}\left(1-{\frac {1}{\ e\ n\ }}\right)\\&={\sqrt {\log \left({\frac {n^{2}}{\ 2\pi \ \log \left({\frac {n^{2}}{2\pi }}\right)\ }}\right)~}}\ \cdot \ \left(1+{\frac {\gamma }{\ \log n\ }}+{\mathcal {o}}\left({\frac {1}{\ \log n\ }}\right)\right)\ ,\end{aligned}}}$

¿Dónde está la constante de Euler-Mascheroni ? ${\displaystyle \ \gamma _{\mathsf {E}}\ }$

Distribuciones relacionadas

1. Si entonces ${\displaystyle \ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,\xi )\ }$ ${\displaystyle \ mX+b\sim {\textrm {GEV}}(m\mu +b,\ m\sigma ,\ \xi )\ }$
2. Si ( distribución Gumbel ) entonces ${\displaystyle \ X\sim {\textrm {Gumbel}}(\mu ,\ \sigma )\ }$ ${\displaystyle \ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }$
3. Si ( distribución de Weibull ) entonces ${\displaystyle \ X\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\ }$ ${\displaystyle \ \mu \left(1-\sigma \log {\tfrac {X}{\sigma }}\right)\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }$
4. Si entonces ( distribución Weibull ) ${\displaystyle \ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }$ ${\displaystyle \ \sigma \exp(-{\tfrac {X-\mu }{\mu \sigma }})\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\ }$
5. Si ( distribución exponencial ) entonces ${\displaystyle \ X\sim {\textrm {Exponential}}(1)\ }$ ${\displaystyle \ \mu -\sigma \log X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }$
6. Siempre y cuando (ver Distribución logística ). ${\displaystyle \ X\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{X},\beta )\ }$ ${\displaystyle \ Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )\ }$ ${\displaystyle \ X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\ }$
7. Si y entonces (La suma no es una distribución logística). ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )\ }$ ${\displaystyle \ X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\ }$

Tenga en cuenta que ${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {E} } \{\ X+Y\ \}=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =\operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ \operatorname {Logistic} (2\alpha ,\beta )\ \right\}~.}$

Pruebas

4. Sea entonces la distribución acumulada de es: ${\displaystyle \ X\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\ ,}$ ${\displaystyle \ g(x)=\mu \left(1-\sigma \log {\frac {X}{\sigma }}\right)\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \mu \left(1-\sigma \log {\frac {\ X\ }{\sigma }}\right)<x\ \right\}&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \log {\frac {X}{\sigma }}>{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\ \right\}\\{}\\&{\mathsf {\ Since\ the\ logarithm\ is\ always\ increasing:\ }}\\{}\\&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ X>\sigma \exp \left[{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\right]\ \right\}\\&=\exp \left(-\left({\cancel {\sigma }}\exp \left[{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\right]\cdot {\cancel {\frac {1}{\sigma }}}\right)^{\mu }\right)\\&=\exp \left(-\left(\exp \left[{\frac {{\cancelto {\mu }{1}}-x/{\cancel {\mu }}}{\sigma }}\right]\right)^{\cancel {\mu }}\right)\\&=\exp \left(-\exp \left[{\frac {\mu -x}{\sigma }}\right]\right)\\&=\exp \left(-\exp \left[-s\right]\right),\quad s={\frac {x-\mu }{\sigma }}\ ,\end{aligned}}}$

cual es el cdf para ${\displaystyle \sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)~.}$

5. Sea entonces la distribución acumulada de es: ${\displaystyle \ X\sim {\textrm {Exponential}}(1)\ ,}$ ${\displaystyle \ g(X)=\mu -\sigma \log X\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \mu -\sigma \log X<x\ \right\}&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \log X>{\frac {\mu -x}{\sigma }}\ \right\}\\{}\\&{\mathsf {\ Since\ the\ logarithm\ is\ always\ increasing:\ }}\\{}\\&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ X>\exp \left({\frac {\ \mu -x\ }{\sigma }}\right)\ \right\}\\&=\exp \left[-\exp \left({\frac {\ \mu -x\ }{\sigma }}\right)\right]\\&=\exp \left[-\exp(-s)\right]\ ,\quad ~{\mathsf {where}}~\quad s\equiv {\frac {x-\mu }{\sigma }}\ ;\end{aligned}}}$

cual es la distribución acumulada de ${\displaystyle \ \operatorname {GEV} (\mu ,\sigma ,0)~.}$

Ver también

• Teoría del valor extremo (teoría univariada)
• Teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko
• Distribución de Pareto generalizada
• Problema de los tanques alemanes , cuestión opuesta del máximo de población dado el máximo de muestra
• Teorema de Pickands-Balkema-De Haan

Referencias

1. Muraleedharan, G; Guedes Soares, C.; Lucas, Claudia (2011). "Funciones características y generadoras de momentos de distribución generalizada de valores extremos (GEV)". En Wright, Linda L. (ed.). Aumento del nivel del mar, ingeniería costera, costas y mareas . Editores de ciencia nueva. Capítulo 14, págs. 269–276. ISBN 978-1-61728-655-1.
2. Norton, Mateo; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2019). "Cálculo de CVaR y bPOE para distribuciones de probabilidad comunes con aplicación a la optimización de cartera y estimación de densidad" (PDF) . Anales de investigación de operaciones . 299 (1–2). Saltador: 1281-1315. arXiv : 1811.11301 . doi :10.1007/s10479-019-03373-1. S2CID  254231768. Archivado desde el original (PDF) el 31 de marzo de 2023 . Consultado el 27 de febrero de 2023 .
3. Weisstein, Eric W. "Distribución de valor extremo". mathworld.wolfram.com . Consultado el 6 de agosto de 2021 .
4. Haan, Laurens; Ferreira, Ana (2007). Teoría del valor extremo: una introducción . Saltador.
5. Jenkinson, Arthur F (1955). "La distribución de frecuencias de los valores máximos (o mínimos) anuales de los elementos meteorológicos". Revista trimestral de la Real Sociedad Meteorológica . 81 (348): 158-171. Código bibliográfico : 1955QJRMS..81..158J. doi :10.1002/qj.49708134804.
6. Haan, Laurens; Ferreira, Ana (2007). Teoría del valor extremo: una introducción . Saltador.
7. von Mises, R. (1936). "La distribución de la plus grande de n valores". Rev. Matemáticas. Unión Interbalcánica 1 : 141–160.
8. Norton, Mateo; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2021). "Cálculo de CVaR y bPOE para distribuciones de probabilidad comunes con aplicación a la optimización de cartera y estimación de densidad". Anales de investigación de operaciones . 299 (1–2): 1281–1315. arXiv : 1811.11301 . doi :10.1007/s10479-019-03373-1.
9. Moscadelli, Marco. "La modelización del riesgo operacional: experiencia con el análisis de los datos recogidos por el Comité de Basilea". Disponible en SSRN 557214 (2004).
10. Guégan, D.; Hassani, BK (2014), "Un resurgimiento matemático de la gestión de riesgos: un modelado extremo de opiniones de expertos", Fronteras en finanzas y economía , 11 (1): 25–45, SSRN  2558747
11. CumFreq para ajuste de distribución de probabilidad [1]
12. Kjersti Aas, conferencia, NTNU, Trondheim, 23 de enero de 2008
13. Liu, Xin; Wang, Yu (2022). "Cuantificación de la probabilidad de ocurrencia anual de deslizamientos de tierra inducidos por lluvias en una pendiente específica". Computación y Geotecnia . 149 : 104877. Código bibliográfico : 2022CGeot.14904877L. doi :10.1016/j.compgeo.2022.104877. S2CID  250232752.
14. David, Herbert A.; Nagaraja, Haikady N. (2004). Estadísticas de pedidos . John Wiley e hijos. pag. 299.

Otras lecturas

• Embrechts, Paul; Klüppelberg, Claudia ; Mikosch, Thomas (1997). Modelado de eventos extremos para seguros y finanzas. Berlín: Springer Verlag. ISBN 9783540609315.
• Leadbetter, MR, Lindgren, G. y Rootzén, H. (1983). Extremos y propiedades relacionadas de secuencias y procesos aleatorios . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90731-9.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Resnick, SI (1987). Valores extremos, variación regular y procesos puntuales . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96481-9.
• Coles, Estuardo (2001). Introducción al modelado estadístico de valores extremos. Springer-Verlag. ISBN 1-85233-459-2.