Teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko

Teorema en estadística

En estadística , el teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko (también teorema de Fisher-Tippett o teorema del valor extremo ) es un resultado general en la teoría del valor extremo con respecto a la distribución asintótica de las estadísticas de orden extremo . El máximo de una muestra de variables aleatorias iid después de la renormalización adecuada solo puede converger en distribución a una de solo 3 posibles familias de distribución : la distribución de Gumbel , la distribución de Fréchet o la distribución de Weibull . El crédito por el teorema del valor extremo y sus detalles de convergencia se le da a Fréchet (1927), ^[1] Fisher y Tippett (1928), ^[2] Mises (1936), ^{[3] [4]} y Gnedenko (1943). ^[5]

El papel del teorema de tipos extremales para máximos es similar al del teorema del límite central para promedios, excepto que el teorema del límite central se aplica al promedio de una muestra de cualquier distribución con varianza finita, mientras que el teorema de Fisher-Tippet-Gnedenko solo establece que si la distribución de un máximo normalizado converge, entonces el límite tiene que ser uno de una clase particular de distribuciones. No establece que la distribución del máximo normalizado converja.

Declaración

Sea una muestra de tamaño n de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas , cada una de cuya función de distribución acumulativa es . Supóngase que existen dos secuencias de números reales y tales que los siguientes límites convergen a una función de distribución no degenerada : ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a_{n}>0}$ ${\displaystyle b_{n}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left({\frac {\max\{X_{1},\dots ,X_{n}\}-b_{n}}{a_{n}}}\leq x\right)=G(x),}$

o equivalentemente:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\bigl (}F(a_{n}x+b_{n}){\bigr )}^{n}=G(x).}$

En tales circunstancias, la función limitante es la función de distribución acumulativa de una distribución perteneciente a la familia de distribuciones de Gumbel , Fréchet o Weibull . ^[6] ${\displaystyle G}$

En otras palabras, si el límite anterior converge, entonces hasta un cambio lineal de coordenadas asumirá la forma: ^[7] ${\displaystyle G(x)}$

${\displaystyle G_{\gamma }(x)=\exp {\big (}\!-(1+\gamma x)^{-1/\gamma }{\big )}\quad {\text{for }}\gamma \neq 0,}$

con el parámetro distinto de cero que también satisface para cada valor admitido por (para todos los valores para los cuales ). ^{[ aclaración necesaria ]} De lo contrario, tiene la forma: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 1+\gamma x>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F(x)\neq 0}$

${\displaystyle G_{0}(x)=\exp {\bigl (}\!-\exp(-x){\bigr )}\quad {\text{for }}\gamma =0.}$

Esta es la función de distribución acumulativa de la distribución generalizada de valores extremos (GEV) con índice de valores extremos . La distribución GEV agrupa las distribuciones de Gumbel, Fréchet y Weibull en una única forma compuesta. ${\displaystyle \gamma }$

Condiciones de convergencia

El teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko es un enunciado sobre la convergencia de la distribución límite anterior. El estudio de las condiciones para la convergencia de casos particulares de la distribución generalizada de valores extremos comenzó con Mises (1936) ^{[3] [5] [4]} y fue desarrollado posteriormente por Gnedenko (1943). ^[5] ${\displaystyle \ G(x)\ ,}$ ${\displaystyle \ G\ }$

Sea la función de distribución de y alguna muestra iid de la misma. ${\displaystyle \ F\ }$ ${\displaystyle \ X\ ,}$ ${\displaystyle \ X_{1},\dots ,X_{n}\ }$

Sea también el máximo de la población: ${\displaystyle \ x_{\mathsf {max}}\ }$ ${\displaystyle \ x_{\mathsf {max}}\equiv \sup \ \{\ x\ \mid \ F(x)<1\ \}~.\ }$

La distribución límite del máximo de muestra normalizado, dada por arriba, será entonces: ^[7] ${\displaystyle G}$

Distribución de Fréchet ${\displaystyle \ \left(\ \gamma >0\ \right)}$

Para una distribución estrictamente positiva la distribución límite converge si y sólo si ${\displaystyle \ \gamma >0\ ,}$

${\displaystyle \ x_{\mathsf {max}}=\infty \ }$

y

${\displaystyle \ \lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {\ 1-F(u\ t)\ }{1-F(t)}}=u^{\left({\tfrac {-1~}{\gamma }}\right)}\ }$a pesar de ${\displaystyle \ u>0~.}$

En este caso, las posibles secuencias que satisfarán las condiciones del teorema son

${\displaystyle b_{n}=0}$

y

${\displaystyle \ a_{n}={F^{-1}}\!\!\left(1-{\tfrac {1}{\ n\ }}\right)~.}$

Estrictamente positivo corresponde a lo que se llama una distribución de cola pesada . ${\displaystyle \ \gamma \ }$

Distribución de Gumbel ${\displaystyle \ \left(\ \gamma =0\ \right)}$

Para triviales y con finitos o infinitos, la distribución límite converge si y solo si ${\displaystyle \ \gamma =0\ ,}$ ${\displaystyle \ x_{\mathsf {max}}\ }$

${\displaystyle \ \lim _{t\rightarrow x_{\mathsf {max}}}{\frac {\ 1-F{\bigl (}\ t+u\ {\tilde {g}}(t)\ {\bigr )}\ }{1-F(t)}}=e^{-u}\ }$a pesar de ${\displaystyle \ u>0\ }$

con

${\displaystyle \ {\tilde {g}}(t)\equiv {\frac {\ \int _{t}^{x_{\mathsf {max}}}{\Bigl (}\ 1-F(s)\ {\Bigr )}\ \mathrm {d} \ s\ }{1-F(t)}}~.}$

Las posibles secuencias aquí son

${\displaystyle \ b_{n}={F^{-1}}\!\!\left(\ 1-{\tfrac {1}{\ n\ }}\ \right)\ }$

y

${\displaystyle \ a_{n}={\tilde {g}}{\Bigl (}\;{F^{-1}}\!\!\left(\ 1-{\tfrac {1}{\ n\ }}\ \right)\;{\Bigr )}~.}$

Distribución de Weibull ${\displaystyle \ \left(\ \gamma <0\ \right)}$

Para estrictamente negativa la distribución límite converge si y sólo si ${\displaystyle \ \gamma <0\ }$

${\displaystyle \ x_{\mathsf {max}}\ <\infty \quad }$(es finito)

y

${\displaystyle \ \lim _{t\rightarrow 0^{+}}{\frac {\ 1-F\!\left(\ x_{\mathsf {max}}-u\ t\ \right)\ }{1-F(\ x_{\mathsf {max}}-t\ )}}=u^{\left({\tfrac {-1~}{\ \gamma \ }}\right)}\ }$a pesar de ${\displaystyle \ u>0~.}$

Nótese que para este caso el término exponencial es estrictamente positivo, ya que es estrictamente negativo. ${\displaystyle \ {\tfrac {-1~}{\ \gamma \ }}\ }$ ${\displaystyle \ \gamma \ }$

Las posibles secuencias aquí son

${\displaystyle \ b_{n}=x_{\mathsf {max}}\ }$

y

${\displaystyle \ a_{n}=x_{\mathsf {max}}-{F^{-1}}\!\!\left(\ 1-{\frac {1}{\ n\ }}\ \right)~.}$

Nótese que la segunda fórmula (la distribución de Gumbel) es el límite de la primera (la distribución de Fréchet) cuando tiende a cero. ${\displaystyle \ \gamma \ }$

Ejemplos

Distribución de Fréchet

La función de densidad de la distribución de Cauchy es:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\ \pi ^{2}+x^{2}\ }}\ ,}$

y su función de distribución acumulativa es:

${\displaystyle F(x)={\frac {\ 1\ }{2}}+{\frac {1}{\ \pi \ }}\arctan \left({\frac {x}{\ \pi \ }}\right)~.}$

Un poco de cálculo muestra que la distribución acumulativa de la cola derecha es asintótica o ${\displaystyle \ 1-F(x)\ }$ ${\displaystyle \ {\frac {1}{\ x\ }}\ ,}$

${\displaystyle \ln F(x)\rightarrow {\frac {-1~}{\ x\ }}\quad {\mathsf {~as~}}\quad x\rightarrow \infty \ ,}$

Así que tenemos

${\displaystyle \ln \left(\ F(x)^{n}\ \right)=n\ \ln F(x)\sim -{\frac {-n~}{\ x\ }}~.}$

Así que tenemos

${\displaystyle F(x)^{n}\approx \exp \left({\frac {-n~}{\ x\ }}\right)}$

y dejar (y saltarse alguna explicación) ${\displaystyle \ u\equiv {\frac {x}{\ n\ }}-1\ }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\Bigl (}\ F(n\ u+n)^{n}\ {\Bigr )}=\exp \left({\tfrac {-1~}{\ 1+u\ }}\right)=G_{1}(u)\ }$

Para cualquiera ${\displaystyle \ u~.}$

Distribución de Gumbel

Tomemos la distribución normal con función de distribución acumulativa.

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {-x~}{\ {\sqrt {2\ }}\ }}\right)~.}$

Tenemos

${\displaystyle \ln F(x)\rightarrow -{\frac {\ \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}x^{2}\right)\ }{{\sqrt {2\pi \ }}\ x}}\quad {\mathsf {~as~}}\quad x\rightarrow \infty }$

y por lo tanto

${\displaystyle \ln \left(\ F(x)^{n}\ \right)=n\ln F(x)\rightarrow -{\frac {\ n\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}x^{2}\right)\ }{{\sqrt {2\pi \ }}\ x}}\quad {\mathsf {~as~}}\quad x\rightarrow \infty ~.}$

Por lo tanto tenemos

${\displaystyle F(x)^{n}\approx \exp \left(-\ {\frac {\ n\ \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}x^{2}\right)\ }{\ {\sqrt {2\pi \ }}\ x\ }}\right)~.}$

Si lo definimos como el valor que satisface exactamente ${\displaystyle \ c_{n}\ }$

${\displaystyle {\frac {\ n\exp \left(-\ {\tfrac {1}{2}}c_{n}^{2}\right)\ }{\ {\sqrt {2\pi \ }}\ c_{n}\ }}=1\ ,}$

luego alrededor ${\displaystyle \ x=c_{n}\ }$

${\displaystyle {\frac {\ n\ \exp \left(-\ {\tfrac {1}{2}}x^{2}\right)\ }{{\sqrt {2\pi \ }}\ x}}\approx \exp \left(\ c_{n}\ (c_{n}-x)\ \right)~.}$

A medida que aumenta, esto se convierte en una buena aproximación para un rango cada vez más amplio, por lo que descubrimos que ${\displaystyle \ n\ }$ ${\displaystyle \ c_{n}\ (c_{n}-x)\ }$ ${\displaystyle \ u\equiv c_{n}\ (c_{n}-x)\ }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\biggl (}\ F\left({\tfrac {u}{~c_{n}\ }}+c_{n}\right)^{n}\ {\biggr )}=\exp \!{\Bigl (}-\exp(-u){\Bigr )}=G_{0}(u)~.}$

De manera equivalente,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\boldsymbol {\mathcal {P}}}\ {\Biggl (}{\frac {\ \max\{X_{1},\ \ldots ,\ X_{n}\}-c_{n}\ }{\left({\frac {u}{~c_{n}\ }}\right)}}\leq u{\Biggr )}=\exp \!{\Bigl (}-\exp(-u){\Bigr )}=G_{0}(u)~.}$

Con este resultado, vemos retrospectivamente que necesitamos y luego ${\displaystyle \ \ln c_{n}\approx {\frac {\ \ln \ln n\ }{2}}\ }$

${\displaystyle c_{n}\approx {\sqrt {2\ln n\ }}\ ,}$

Por lo tanto, se espera que el máximo ascienda hacia el infinito cada vez más lentamente.

Distribución de Weibull

Podemos tomar el ejemplo más simple, una distribución uniforme entre 0 y 1 , con función de distribución acumulativa

${\displaystyle F(x)=x\ }$para cualquier valor x de 0 a 1  .

Para los valores que tenemos ${\displaystyle \ x\ \rightarrow \ 1\ }$

${\displaystyle \ln {\Bigl (}\ F(x)^{n}\ {\Bigr )}=n\ \ln F(x)\ \rightarrow \ n\ (\ 1-x\ )~.}$

Así que tenemos ${\displaystyle \ x\approx 1\ }$

${\displaystyle \ F(x)^{n}\approx \exp(\ n-n\ x\ )~.}$

Dejar y obtener ${\displaystyle \ u\equiv 1+n\ (\ 1-x\ )\ }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\Bigl (}\ F\!\left({\tfrac {\ u\ }{n}}+1-{\tfrac {\ 1\ }{n}}\right)\ {\Bigr )}^{n}=\exp \!{\bigl (}\ -(1-u)\ {\bigr )}=G_{-1}(u)~.}$

Un examen minucioso de ese límite muestra que el máximo esperado se aproxima a 1 en proporción inversa a n  .

Véase también

• Teoría del valor extremo
• Distribución de Gumbel
• Distribución generalizada de valores extremos
• Distribución generalizada de Pareto
• Teorema de Pickands-Balkema-de Haan

Referencias

1. Fréchet, M. (1927). "Sobre la ley de probabilidad de l'écart máxima". Annales de la Société Polonesa de Mathématique . 6 (1): 93-116.
2. Fisher, RA; Tippett, LHC (1928). "Formas limitantes de la distribución de frecuencias del miembro más grande y más pequeño de una muestra". Proc. Camb. Phil. Soc . 24 (2): 180–190. Bibcode :1928PCPS...24..180F. doi :10.1017/s0305004100015681. S2CID  123125823.
3. von Mises, R. (1936). "La distribución de la plus grande de n valores " [La distribución del mayor de n valores]. Rev. Matemáticas. Unión Interbalcánica . 1 (en francés): 141–160.
4. Falk, Michael; Marohn, Frank (1993). "Las condiciones de von Mises revisadas". Anales de probabilidad : 1310-1328.
5. Gnedenko, BV (1943). "Sobre la distribución limitada del término máximo de una serie aleatoria". Anales de Matemáticas . 44 (3): 423–453. doi :10.2307/1968974. JSTOR  1968974.
6. Mood, AM (1950). "5. Estadísticas de orden". Introducción a la teoría de la estadística . Nueva York, NY: McGraw-Hill. págs. 251–270.
7. Haan, Laurens; Ferreira, Ana (2007). Teoría del valor extremo: una introducción . Springer.

Lectura adicional

• Lee, Seyoon; Kim, Joseph HT (8 de marzo de 2018). "Distribución Pareto generalizada exponencial". Communications in Statistics – Theory and Methods . 48 (8) (edición en línea): 2014–2038. arXiv : 1708.01686 . doi :10.1080/03610926.2018.1441418. ISSN  1532-415X – vía tandfonline.com.