Teorema de Pickands-Balkema-De Haan

El teorema de Pickands-Balkema-De Haan da la distribución de cola asintótica de una variable aleatoria , cuando se desconoce su verdadera distribución. A menudo se le llama el segundo teorema de la teoría de los valores extremos . A diferencia del primer teorema (el teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko ), que se refiere al máximo de una muestra, el teorema de Pickands-Balkema-De Haan describe los valores por encima de un umbral.

El teorema debe su nombre a los matemáticos James Pickands , Guus Balkema y Laurens de Haan .

Función de distribución de exceso condicional

Para una función de distribución desconocida de una variable aleatoria , el teorema de Pickands-Balkema-De Haan describe la función de distribución condicional de la variable por encima de un cierto umbral . Esta es la llamada función de distribución de exceso condicional, definida como ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{u}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle F_{u}(y)=P(X-u\leq y|X>u)={\frac {F(u+y)-F(u)}{1-F(u)}}}$

para , ¿dónde está el punto final derecho finito o infinito de la distribución subyacente ? La función describe la distribución del valor excedente sobre un umbral , dado que se supera el umbral. ${\displaystyle 0\leq y\leq x_{F}-u}$ ${\displaystyle x_{F}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{u}}$ ${\displaystyle u}$

Declaración

Sea la función de distribución de exceso condicional. Pickands, ^[1] Balkema y De Haan ^[2] plantearon que para una clase grande de funciones de distribución subyacentes , y grandes , se aproxima bien mediante la distribución de Pareto generalizada , en el siguiente sentido. Supongamos que existen funciones tales que convergen a una distribución no degenerada, entonces dicho límite es igual a la distribución de Pareto generalizada: ${\displaystyle F_{u}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle F_{u}}$ ${\displaystyle a(u),b(u)}$ ${\displaystyle a(u)>0}$ ${\displaystyle F_{u}(a(u)y+b(u))}$ ${\displaystyle u\rightarrow \infty }$

${\displaystyle F_{u}(a(u)y+b(u))\rightarrow G_{k,\sigma }(y),{\text{ as }}u\rightarrow \infty }$,

dónde

• ${\displaystyle G_{k,\sigma }(y)=1-(1+ky/\sigma )^{-1/k}}$, si ${\displaystyle k\neq 0}$
• ${\displaystyle G_{k,\sigma }(y)=1-e^{-y/\sigma }}$, si ${\displaystyle k=0.}$

Aquí σ  > 0, y y  ≥ 0 cuando k  ≥ 0 y 0 ≤  y  ≤ − σ / k cuando k  < 0. Estos casos especiales también se conocen como

• Distribución exponencial con media , si k  = 0, ${\displaystyle \sigma }$
• Distribución uniforme en , si k = -1, ${\displaystyle [0,\sigma ]}$
• Distribución de Pareto , si k  > 0.

La clase de funciones de distribución subyacentes está relacionada con la clase de funciones de distribución que satisfacen el teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko. ^[3] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Dado que un caso especial de la distribución de Pareto generalizada es una ley potencial, el teorema de Pickands-Balkema-De Haan a veces se utiliza para justificar el uso de una ley potencial para modelar eventos extremos.

El teorema se ha ampliado para incluir una gama más amplia de distribuciones. ^{[4] [5]} Si bien las versiones extendidas cubren, por ejemplo, las distribuciones normal y log-normal, todavía existen distribuciones continuas que no están cubiertas. ^[6]

Ver también

• Distribución estable

Referencias

1. Iii, James Pickands (1 de enero de 1975). "Inferencia estadística utilizando estadísticas de orden extremo". Los anales de la estadística . 3 (1). doi :10.1214/aos/1176343003. ISSN  0090-5364.
2. Balkema, AA; de Haan, L. (1 de octubre de 1974). "Tiempo de vida residual a gran edad". Los anales de la probabilidad . 2 (5). doi : 10.1214/aop/1176996548 . ISSN  0091-1798.
3. Balkema, AA; de Haan, L. (1 de octubre de 1974). "Tiempo de vida residual a gran edad". Los anales de la probabilidad . 2 (5). doi : 10.1214/aop/1176996548 . ISSN  0091-1798.
4. Papastathopoulos, Ioannis; Tawn, Jonathan A. (2013). "Modelos de Pareto generalizados extendidos para estimación de cola". Revista de planificación e inferencia estadística . 143 (1): 131-143. arXiv : 1111.6899 . doi :10.1016/j.jspi.2012.07.001. S2CID  88512480.
5. Lee, Seyoon; Kim, Joseph HT (18 de abril de 2019). "Distribución de Pareto generalizada exponenciada: propiedades y aplicaciones hacia la teoría del valor extremo". Comunicaciones en Estadística - Teoría y Métodos . 48 (8): 2014-2038. arXiv : 1708.01686 . doi :10.1080/03610926.2018.1441418. ISSN  0361-0926. S2CID  88514574.
6. Smith, Richard L.; Weissman, Ishay. Valores extremos (PDF) (borrador del 27/02/2020 ed.).