Postulado de estabilidad

En teoría de probabilidad , para obtener una distribución límite no degenerada de la distribución de valores extremos , es necesario "reducir" el valor máximo real aplicando una transformación lineal con coeficientes que dependen del tamaño de la muestra.

Si son variables aleatorias independientes con función de densidad de probabilidad común ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$

${\displaystyle p_{X_{j}}(x)=f(x),}$

entonces la función de distribución acumulativa de es ${\displaystyle X'_{n}=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}}$

${\displaystyle F_{X'_{n}}={[F(x)]}^{n}}$

Si existe una distribución límite de interés, el postulado de estabilidad establece que la distribución límite es alguna secuencia de valores "reducidos" transformados, como por ejemplo , donde puede depender de n pero no de  x . ${\displaystyle (a_{n}X'_{n}+b_{n})}$ ${\displaystyle a_{n},b_{n}}$

Para distinguir la función de distribución acumulativa limitante del valor máximo "reducido" de F ( x ), la denotaremos por G ( x ). De ello se deduce que G ( x ) debe satisfacer la ecuación funcional

${\displaystyle {[G(x)]}^{n}=G{(a_{n}x+b_{n})}}$

Esta ecuación fue obtenida por Maurice René Fréchet y también por Ronald Fisher .

Boris Vladimirovich Gnedenko ha demostrado que no existen otras distribuciones que satisfagan el postulado de estabilidad aparte de las siguientes: ^[1]

• Distribución de Gumbel para el postulado de mínima estabilidad
  • Si y entonces donde y ${\displaystyle X_{i}={\textrm {Gumbel}}(\mu ,\beta )}$ ${\displaystyle Y=\min\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}}$ ${\displaystyle Y\sim a_{n}X+b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}=1}$ ${\displaystyle b_{n}=\beta \log(n)}$
  • En otras palabras, ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Gumbel}}(\mu -\beta \log(n),\beta )}$
• Distribución de valores extremos para el postulado de máxima estabilidad
  • Si y entonces donde y ${\displaystyle X_{i}={\textrm {EV}}(\mu ,\sigma )}$ ${\displaystyle Y=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}}$ ${\displaystyle Y\sim a_{n}X+b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}=1}$ ${\displaystyle b_{n}=\sigma \log({\tfrac {1}{n}})}$
  • En otras palabras, ${\displaystyle Y\sim {\textrm {EV}}(\mu -\sigma \log({\tfrac {1}{n}}),\sigma )}$
• Distribución de Fréchet para el postulado de máxima estabilidad
  • Si y entonces donde y ${\displaystyle X_{i}={\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)}$ ${\displaystyle Y=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}}$ ${\displaystyle Y\sim a_{n}X+b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}=n^{-{\tfrac {1}{\alpha }}}}$ ${\displaystyle b_{n}=m\left(1-n^{-{\tfrac {1}{\alpha }}}\right)}$
  • En otras palabras, ${\displaystyle Y\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,n^{\tfrac {1}{\alpha }}s,m)}$

Referencias

1. Gnedenko, B. (1943). "Sur La Distribution Limite Du Terme Maximum D'Une Serie Aleatoire". Anales de Matemáticas . 44 (3): 423–453. doi :10.2307/1968974.