Teorema de Pickands-Balkema-De Haan

El teorema de Pickands–Balkema–De Haan proporciona la distribución de cola asintótica de una variable aleatoria , cuando su distribución verdadera es desconocida. A menudo se lo denomina el segundo teorema en la teoría de valores extremos . A diferencia del primer teorema (el teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko ), que se refiere al máximo de una muestra, el teorema de Pickands–Balkema–De Haan describe los valores por encima de un umbral.

El teorema debe su nombre a los matemáticos James Pickands , Guus Balkema y Laurens de Haan .

Función de distribución de exceso condicional

Para una función de distribución desconocida de una variable aleatoria , el teorema de Pickands–Balkema–De Haan describe la función de distribución condicional de la variable por encima de un cierto umbral . Esta es la llamada función de distribución de exceso condicional, definida como ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{u}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle F_{u}(y)=P(X-u\leq y|X>u)={\frac {F(u+y)-F(u)}{1-F(u)}}}$

para , donde es el extremo derecho finito o infinito de la distribución subyacente . La función describe la distribución del valor excedente sobre un umbral , dado que se excede el umbral. ${\displaystyle 0\leq y\leq x_{F}-u}$ ${\displaystyle x_{F}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{u}}$ ${\displaystyle u}$

Declaración

Sea la función de distribución de exceso condicional. Pickands, ^[1] Balkema y De Haan ^[2] plantearon que para una clase grande de funciones de distribución subyacentes , y grande , se aproxima bien mediante la distribución de Pareto generalizada , en el siguiente sentido. Supóngase que existen funciones , con tales que como convergen a una distribución no degenerada, entonces dicho límite es igual a la distribución de Pareto generalizada: ${\displaystyle F_{u}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle F_{u}}$ ${\displaystyle a(u),b(u)}$ ${\displaystyle a(u)>0}$ ${\displaystyle F_{u}(a(u)y+b(u))}$ ${\displaystyle u\rightarrow \infty }$

${\displaystyle F_{u}(a(u)y+b(u))\rightarrow G_{k,\sigma }(y),{\text{ as }}u\rightarrow \infty }$,

dónde

• ${\displaystyle G_{k,\sigma }(y)=1-(1+ky/\sigma )^{-1/k}}$, si ${\displaystyle k\neq 0}$
• ${\displaystyle G_{k,\sigma }(y)=1-e^{-y/\sigma }}$, si ${\displaystyle k=0.}$

Aquí σ  > 0, e y  ≥ 0 cuando k  ≥ 0 y 0 ≤  y  ≤ − σ / k cuando k  < 0. Estos casos especiales también se conocen como

• Distribución exponencial con media , si k  = 0, ${\displaystyle \sigma }$
• Distribución uniforme en , si k = -1, ${\displaystyle [0,\sigma ]}$
• Distribución de Pareto , si k  > 0.

La clase de funciones de distribución subyacentes está relacionada con la clase de funciones de distribución que satisfacen el teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko. ^[3] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Dado que un caso especial de la distribución de Pareto generalizada es una ley de potencia, a veces se utiliza el teorema de Pickands-Balkema-De Haan para justificar el uso de una ley de potencia para modelar eventos extremos.

El teorema se ha ampliado para incluir una gama más amplia de distribuciones. ^{[4] [5]} Si bien las versiones ampliadas cubren, por ejemplo, las distribuciones normales y log-normales, todavía existen distribuciones continuas que no están cubiertas. ^[6]

Véase también

• Distribución estable

Referencias

1. Iii, James Pickands (1 de enero de 1975). "Inferencia estadística utilizando estadísticas de orden extremo". Anales de estadística . 3 (1). doi :10.1214/aos/1176343003. ISSN  0090-5364.
2. Balkema, AA; de Haan, L. (1974-10-01). "Tiempo de vida residual a gran edad". Anales de probabilidad . 2 (5). doi : 10.1214/aop/1176996548 . ISSN  0091-1798.
3. Balkema, AA; de Haan, L. (1974-10-01). "Tiempo de vida residual a gran edad". Anales de probabilidad . 2 (5). doi : 10.1214/aop/1176996548 . ISSN  0091-1798.
4. Papastathopoulos, Ioannis; Tawn, Jonathan A. (2013). "Modelos de Pareto generalizados extendidos para estimación de colas". Revista de planificación estadística e inferencia . 143 (1): 131–143. arXiv : 1111.6899 . doi :10.1016/j.jspi.2012.07.001. S2CID  88512480.
5. Lee, Seyoon; Kim, Joseph HT (18 de abril de 2019). "Distribución Pareto generalizada exponencial: propiedades y aplicaciones hacia la teoría del valor extremo". Communications in Statistics - Theory and Methods . 48 (8): 2014–2038. arXiv : 1708.01686 . doi :10.1080/03610926.2018.1441418. ISSN  0361-0926. S2CID  88514574.
6. Smith, Richard L.; Weissman, Ishay. Valores extremos (PDF) (borrador de la edición del 27/2/2020).