elección discreta

Elección entre dos o más alternativas discretas

En economía , los modelos de elección discreta , o modelos de elección cualitativa , describen, explican y predicen elecciones entre dos o más alternativas discretas , como ingresar o no al mercado laboral , o elegir entre modos de transporte . Estas elecciones contrastan con los modelos de consumo estándar en los que se supone que la cantidad de cada bien consumido es una variable continua . En el caso continuo, se pueden utilizar métodos de cálculo (por ejemplo, condiciones de primer orden) para determinar la cantidad óptima elegida, y la demanda se puede modelar empíricamente mediante análisis de regresión . Por otro lado, el análisis de elección discreta examina situaciones en las que los resultados potenciales son discretos, de modo que el óptimo no se caracteriza por condiciones estándar de primer orden. Así, en lugar de examinar "cuánto" como en los problemas con variables de elección continua, el análisis de elección discreta examina "cuál". Sin embargo, el análisis de elección discreta también se puede utilizar para examinar la cantidad elegida cuando solo se deben elegir unas pocas cantidades distintas, como la cantidad de vehículos que un hogar elige poseer ^[1] y la cantidad de minutos de servicio de telecomunicaciones que un cliente decide. a compra. ^[2] Se pueden utilizar técnicas como la regresión logística y la regresión probit para el análisis empírico de elección discreta.

Los modelos de elección discreta modelan teórica o empíricamente las elecciones realizadas por las personas entre un conjunto finito de alternativas. Los modelos se han utilizado para examinar, por ejemplo, la elección de qué automóvil comprar, ^{[1] [3]} dónde ir a la universidad, ^[4] qué modo de transporte (automóvil, autobús, tren) tomar para ir al trabajo ^{[5 ]} entre muchas otras aplicaciones. Los modelos de elección discreta también se utilizan para examinar las elecciones de organizaciones, como empresas o agencias gubernamentales. En el análisis que sigue, se supone que la unidad de toma de decisiones es una persona, aunque los conceptos son aplicables de manera más general. Daniel McFadden ganó el Premio Nobel en 2000 por su trabajo pionero en el desarrollo de la base teórica de la elección discreta.

Los modelos de elección discreta relacionan estadísticamente la elección hecha por cada persona con los atributos de la persona y los atributos de las alternativas disponibles para la persona. Por ejemplo, la elección de qué automóvil compra una persona está estadísticamente relacionada con los ingresos y la edad de la persona, así como con el precio, la eficiencia del combustible , el tamaño y otros atributos de cada automóvil disponible. Los modelos estiman la probabilidad de que una persona elija una alternativa particular. Los modelos se utilizan a menudo para pronosticar cómo cambiarán las elecciones de las personas ante cambios en la demografía y/o los atributos de las alternativas.

Los modelos de elección discreta especifican la probabilidad de que un individuo elija una opción entre un conjunto de alternativas. La descripción probabilística del comportamiento de elección discreta no se utiliza para reflejar el comportamiento individual que se considera intrínsecamente probabilístico. Más bien, es la falta de información lo que nos lleva a describir la elección de forma probabilística. En la práctica, no podemos conocer todos los factores que afectan las decisiones de elección individual, ya que sus determinantes se observan parcialmente o se miden de manera imperfecta. Por lo tanto, los modelos de elección discreta se basan en supuestos y especificaciones estocásticos para dar cuenta de factores no observados relacionados con a) alternativas de elección, b) variación de gustos entre las personas (heterogeneidad interpersonal) y a lo largo del tiempo (dinámica de elección intraindividual), y c) conjuntos de elección heterogéneos. . Las diferentes formulaciones se han resumido y clasificado en grupos de modelos. ^[6]

Aplicaciones

• Los investigadores de marketing utilizan modelos de elección discreta para estudiar la demanda de los consumidores y predecir respuestas comerciales competitivas, lo que permite a los modeladores de elección resolver una variedad de problemas comerciales, como fijación de precios , desarrollo de productos y problemas de estimación de la demanda . En la investigación de mercados, esto comúnmente se denomina análisis conjunto . ^[1]
• Los planificadores de transporte utilizan modelos de elección discreta para predecir la demanda de sistemas de transporte planificados , como qué ruta tomará un conductor y si alguien tomará sistemas de tránsito rápido . ^{[5] [7]} Las primeras aplicaciones de los modelos de elección discreta fueron en la planificación del transporte, y gran parte de la investigación más avanzada en modelos de elección discreta es realizada por investigadores del transporte.
• Los ingenieros y planificadores de desastres se basan en modelos de elección discreta para predecir la toma de decisiones por parte de los propietarios de viviendas u ocupantes de edificios en evacuaciones a pequeña y gran escala, como incendios de edificios, incendios forestales, huracanes, entre otros. ^{[8] [9] [10]} Estos modelos ayudan en el desarrollo de planes confiables de gestión de desastres y un diseño más seguro para el entorno construido .
• Los pronosticadores y formuladores de políticas energéticas utilizan modelos de elección discreta para la elección de sistemas de calefacción, niveles de eficiencia de los electrodomésticos y niveles de eficiencia de combustible de los vehículos por parte de hogares y empresas. ^{[11] [12]}
• Los estudios ambientales utilizan modelos de elección discreta para examinar la elección de los recreadores de, por ejemplo, un lugar para pescar o esquiar y para inferir el valor de los servicios, como campamentos, reservas de peces y cabañas para calentarse, y para estimar el valor de las mejoras en la calidad del agua. ^[13]
• Los economistas laborales utilizan modelos de elección discreta para examinar la participación en la fuerza laboral, la elección de ocupación y la elección de universidades y programas de capacitación. ^[4]
• Los estudios ecológicos emplean modelos de elección discreta para investigar los parámetros que impulsan la selección de hábitat en los animales. ^[14]

Características comunes de los modelos de elección discreta.

Los modelos de elección discreta toman muchas formas, que incluyen: Logit binario, Probit binario, Logit multinomial, Logit condicional, Probit multinomial, Logit anidado, modelos de valor extremo generalizado, Logit mixto y Logit explotado. Todos estos modelos tienen en común las características que se describen a continuación.

Conjunto de elección

El conjunto de elección es el conjunto de alternativas que están disponibles para la persona. Para un modelo de elección discreta, el conjunto de elección debe cumplir tres requisitos:

1. El conjunto de alternativas debe ser colectivamente exhaustivo , lo que significa que el conjunto incluye todas las alternativas posibles. Este requisito implica que la persona necesariamente elige una alternativa del conjunto.
2. Las alternativas deben ser mutuamente excluyentes , lo que significa que elegir una alternativa significa no elegir ninguna otra alternativa. Este requisito implica que la persona elija sólo una alternativa del conjunto.
3. El conjunto debe contener un número finito de alternativas. Este tercer requisito distingue el análisis de elección discreta de las formas de análisis de regresión en las que la variable dependiente puede (teóricamente) tomar un número infinito de valores.

Por ejemplo, el conjunto de opciones para que una persona decida qué modo de transporte tomar para ir al trabajo incluye conducir solo, compartir el automóvil, tomar el autobús, etc. El conjunto de opciones se complica por el hecho de que una persona puede utilizar múltiples modos para un viaje determinado. como conducir un coche hasta una estación de tren y luego tomar el tren al trabajo. En este caso, el conjunto de elección puede incluir cada combinación posible de modos. Alternativamente, la elección puede definirse como la elección del modo "primario", consistiendo el conjunto en automóvil, autobús, ferrocarril y otros (por ejemplo, caminar, bicicletas, etc.). Tenga en cuenta que se incluye la alternativa "otro" para que el conjunto de opciones sea exhaustivo.

Diferentes personas pueden tener diferentes conjuntos de opciones, dependiendo de sus circunstancias. Por ejemplo, el automóvil Scion no se vendió en Canadá en 2009, por lo que los compradores de automóviles nuevos en Canadá enfrentaron conjuntos de opciones diferentes a los de los consumidores estadounidenses. Estas consideraciones se tienen en cuenta en la formulación de modelos de elección discreta.

Definición de probabilidades de elección

Un modelo de elección discreta especifica la probabilidad de que una persona elija una alternativa particular, expresada en función de variables observadas que se relacionan con las alternativas y la persona. En su forma general, la probabilidad de que la persona n elija la alternativa i se expresa como:

${\displaystyle P_{ni}\equiv \Pr({\text{Person }}n{\text{ chooses alternative }}i)=G(x_{ni},\;x_{nj,j\neq i},\;s_{n},\;\beta ),}$

dónde

${\displaystyle x_{ni}}$es un vector de atributos de la alternativa i que enfrenta la persona n ,

${\displaystyle x_{nj,j\neq i}}$es un vector de atributos de las otras alternativas (distintas de i ) que enfrenta la persona n ,

${\displaystyle s_{n}}$es un vector de características de la persona n , y

${\displaystyle \beta }$es un conjunto de parámetros que dan los efectos de las variables sobre las probabilidades, que se estiman estadísticamente.

En el ejemplo de modo de transporte anterior, los atributos de los modos ( x _ni ), como el tiempo y el costo del viaje, y las características del consumidor ( s _n ), como el ingreso anual, la edad y el género, se pueden utilizar para calcular la elección. probabilidades. Los atributos de las alternativas pueden diferir según las personas; por ejemplo, el costo y el tiempo para viajar al trabajo en automóvil, autobús y tren son diferentes para cada persona dependiendo de la ubicación de su hogar y trabajo.

Propiedades:

• P _ni está entre 0 y 1
• ${\displaystyle \forall n:\;\sum _{j=1}^{J}P_{nj}=1,}$ donde J es el número total de alternativas.
• (Fracción esperada de personas que eligen i ) donde N es el número de personas que eligen. ${\displaystyle ={1 \over N}{\sum _{n=1}^{N}P_{ni}},}$

Diferentes modelos (es decir, modelos que utilizan una función G diferente) tienen propiedades diferentes. Los modelos destacados se presentan a continuación.

utilidad del consumidor

Los modelos de elección discreta pueden derivarse de la teoría de la utilidad . Esta derivación es útil por tres razones:

1. Da un significado preciso a las probabilidades P _ni
2. Motiva y distingue especificaciones de modelos alternativos, por ejemplo, la elección de una forma funcional para G.
3. Proporciona la base teórica para el cálculo de cambios en el excedente del consumidor (variación compensatoria) a partir de cambios en los atributos de las alternativas.

U _ni es la utilidad (o beneficio neto o bienestar) que la persona n obtiene al elegir la alternativa i . El comportamiento de la persona es maximizador de la utilidad: la persona n elige la alternativa que le proporciona la mayor utilidad. La elección de la persona está designada por variables ficticias, y _ni , para cada alternativa:

${\displaystyle y_{ni}={\begin{cases}1&U_{ni}>U_{nj}\quad \forall j\neq i\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Consideremos ahora al investigador que está examinando la elección. La elección de la persona depende de muchos factores, algunos de los cuales el investigador observa y otros no. La utilidad que la persona obtiene al elegir una alternativa se descompone en una parte que depende de variables que el investigador observa y una parte que depende de variables que el investigador no observa. En forma lineal, esta descomposición se expresa como

${\displaystyle U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}}$

dónde

• ${\displaystyle z_{ni}}$ es un vector de variables observadas relacionadas con la alternativa i para la persona n que depende de los atributos de la alternativa, x _ni , interactuó quizás con los atributos de la persona, s _n , de modo que puede expresarse como para alguna función numérica z , ${\displaystyle z_{ni}=z(x_{ni},s_{n})}$
• ${\displaystyle \beta }$es un vector correspondiente de coeficientes de las variables observadas, y
• ${\displaystyle \varepsilon _{ni}}$Capta el impacto de todos los factores no observados que afectan la elección de la persona.

La probabilidad de elección es entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{ni}&=\Pr(y_{ni}=1)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}>U_{nj},\right)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj},\right)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\varepsilon _{nj}-\varepsilon _{ni}<\beta z_{ni}-\beta z_{nj},\right)\end{aligned}}}$

Dado β , la probabilidad de elección es la probabilidad de que los términos aleatorios, ε _nj − ε _ni (que son aleatorios desde la perspectiva del investigador, ya que el investigador no los observa) estén por debajo de las cantidades respectivas. Diferentes modelos de elección (es decir, diferentes especificaciones de G ) surgen de diferentes distribuciones de ε _ni para todo i y diferentes tratamientos de β . ${\displaystyle \forall j\neq i:\beta z_{ni}-\beta z_{nj}.}$

Propiedades de los modelos de elección discreta implícitas en la teoría de la utilidad

Sólo importan las diferencias

La probabilidad de que una persona elija una alternativa particular se determina comparando la utilidad de elegir esa alternativa con la utilidad de elegir otras alternativas:

${\displaystyle P_{ni}=\Pr(y_{ni}=1)=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}>U_{nj}\right)=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}-U_{nj}>0\right)}$

Como indica el último término, la probabilidad de elección depende sólo de la diferencia de utilidades entre las alternativas, no del nivel absoluto de utilidades. De manera equivalente, agregar una constante a las utilidades de todas las alternativas no cambia las probabilidades de elección.

La escala debe normalizarse.

Dado que la utilidad no tiene unidades, es necesario normalizar la escala de las utilidades. La escala de utilidad suele definirse por la varianza del término de error en los modelos de elección discreta. Esta variación puede diferir según las características del conjunto de datos, como cuándo o dónde se recopilan los datos. Por lo tanto, la normalización de la varianza afecta la interpretación de los parámetros estimados en diversos conjuntos de datos.

Tipos destacados de modelos de elección discreta

Los modelos de elección discreta se pueden clasificar primero según el número de alternativas disponibles.

* Modelos de elección binomial (dicotómicos): 2 alternativas disponibles

* Modelos de elección multinomial ( politómicos ): 3 o más alternativas disponibles

Los modelos de elección multinomial se pueden clasificar además según la especificación del modelo:

* Modelos, como el logit estándar, que no asumen correlación entre factores no observados y alternativas

* Modelos que permiten correlación en factores no observados entre alternativas.

Además, se encuentran disponibles formas específicas de los modelos para examinar clasificaciones de alternativas (es decir, primera opción, segunda opción, tercera opción, etc.) y para datos de calificaciones.

Los detalles de cada modelo se proporcionan en las siguientes secciones.

elección binaria

A. Logit con atributos de la persona pero sin atributos de las alternativas

U _n es la utilidad (o beneficio neto) que la persona n obtiene al realizar una acción (en lugar de no realizarla). La utilidad que la persona obtiene al realizar la acción depende de sus características, algunas de las cuales son observadas por el investigador y otras no. La persona realiza la acción, y _n = 1 , si U _n > 0. Se supone que el término no observado, ε _n , tiene una distribución logística . La especificación está escrita sucintamente como:

${\displaystyle {\begin{cases}U_{n}=\beta s_{n}+\varepsilon _{n}\\y_{n}={\begin{cases}1&U_{n}>0\\0&U_{n}\leqslant 0\end{cases}}\\\varepsilon \sim {\text{Logistic}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}={\frac {1}{1+\exp(-\beta s_{n})}}}$

B. Probit con atributos de la persona pero sin atributos de las alternativas

La descripción del modelo es la misma que la del modelo A, excepto que los términos no observados se distribuyen de forma normal estándar en lugar de logística .

${\displaystyle {\begin{cases}U_{n}=\beta s_{n}+\varepsilon _{n}\\y_{n}={\begin{cases}1&U_{n}>0\\0&U_{n}\leqslant 0\end{cases}}\\\varepsilon \sim {\text{Standard normal}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}=\Phi (\beta s_{n}),}$

donde es la función de distribución acumulada de la normal estándar . ${\displaystyle \Phi }$

C. Logit con variables que varían según las alternativas

U _ni es la utilidad que la persona n obtiene al elegir la alternativa i . La utilidad de cada alternativa depende de los atributos de las alternativas que interactúan quizás con los atributos de la persona. Se supone que los términos no observados tienen una distribución de valores extremos . ^{[nota 1]}

${\displaystyle {\begin{cases}U_{n1}=\beta z_{n1}+\varepsilon _{n1}\\U_{n2}=\beta z_{n2}+\varepsilon _{n2}\\\varepsilon _{n1},\varepsilon _{n2}\sim {\text{iid extreme value}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}={\frac {\exp(\beta z_{n1})}{\exp(\beta z_{n1})+\exp(\beta z_{n2})}}}$

Podemos relacionar esta especificación con el modelo A anterior, que también es logit binario. En particular, P _{n 1} también se puede expresar como

${\displaystyle P_{n1}={\frac {1}{1+\exp(-\beta (z_{n1}-z_{n2}))}}}$

Tenga en cuenta que si dos términos de error tienen un valor extremo iid , ^{[nb 1]} su diferencia es logística distribuida , que es la base para la equivalencia de las dos especificaciones.

D. Probit con variables que varían entre alternativas

La descripción del modelo es la misma que la del modelo C, excepto que la diferencia de los dos términos no observados se distribuye de forma normal estándar en lugar de logística .

Entonces la probabilidad de realizar la acción es

${\displaystyle P_{n1}=\Phi (\beta (z_{n1}-z_{n2})),}$

donde Φ es la función de distribución acumulada de la normal estándar .

Elección multinomial sin correlación entre alternativas

E. Logit con atributos de la persona pero sin atributos de las alternativas

La utilidad para todas las alternativas depende de las mismas variables, s _n , pero los coeficientes son diferentes para diferentes alternativas:

• U _ni = β _yo s _n + ε _ni ,
• Dado que sólo importan las diferencias en la utilidad, es necesario normalizar para una alternativa. Asumiendo , ${\displaystyle \beta _{i}=0}$ ${\displaystyle \beta _{1}=0}$
• ε _ni son valores extremos de iid ^{[nb 1]}

La probabilidad de elección toma la forma

${\displaystyle P_{ni}={\exp(\beta _{i}s_{n}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta _{j}s_{n})},}$

donde J es el número total de alternativas.

F. Logit con variables que varían según las alternativas (también llamado logit condicional)

La utilidad de cada alternativa depende de los atributos de esa alternativa, interactuando quizás con los atributos de la persona:

${\displaystyle {\begin{cases}U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}\\\varepsilon _{ni}\sim {\text{iid extreme value}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{ni}={\exp(\beta z_{ni}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})},}$

donde J es el número total de alternativas.

Tenga en cuenta que el modelo E se puede expresar de la misma forma que el modelo F mediante la reespecificación apropiada de las variables. Defina dónde está el delta de Kronecker y s _n son del modelo E. Luego, el modelo F se obtiene usando ${\displaystyle w_{nj}^{k}=s_{n}\delta _{jk}}$ ${\displaystyle \delta _{jk}}$

${\displaystyle z_{nj}=\left\{w_{nj}^{1},\cdots ,w_{nj}^{J}\right\}\quad {\text{and}}\quad \beta =\left\{\beta _{1},\cdots ,\beta _{J}\right\},}$

donde J es el número total de alternativas.

Elección multinomial con correlación entre alternativas.

Un modelo logit estándar no siempre es adecuado, ya que supone que no existe correlación entre factores no observados y alternativas. Esta falta de correlación se traduce en un patrón particular de sustitución entre alternativas que puede no siempre ser realista en una situación dada. Este patrón de sustitución a menudo se denomina propiedad de Independencia de Alternativas Irrelevantes (IIA) de los modelos logit estándar. Vea el ejemplo de Red Bus/Blue Bus en el que este patrón no se cumple, ^[15] o el ejemplo de elección de ruta. ^[16] Se han propuesto varios modelos para permitir la correlación entre alternativas y patrones de sustitución más generales:

• Modelo Logit anidado: captura correlaciones entre alternativas dividiendo el conjunto de opciones en 'nidos'
  • Modelo Logit anidado cruzado ^[17] (CNL): las alternativas pueden pertenecer a más de un nido
  • Modelo C-logit ^[18] : captura correlaciones entre alternativas utilizando un 'factor de similitud'
  • Modelo Logit combinatorio emparejado ^[19] - Adecuado para problemas de elección de ruta.
• Modelo de valor extremo generalizado ^[20] - Clase general de modelo, derivada del modelo de utilidad aleatorio ^[16] al que pertenecen el logit multinomial y el logit anidado
• Probit condicional ^{[21] [22]} - Permite covarianza total entre alternativas utilizando una distribución normal conjunta.
• Logit mixto ^{[12] [13] [22]} - Permite cualquier forma de patrones de correlación y sustitución. ^[23] Cuando un logit mixto tiene términos aleatorios normales en conjunto, el modelo a veces se denomina "modelo probit multinomial con núcleo logit". ^{[16] [24]} Se puede aplicar a la elección de ruta. ^[25]

Las siguientes secciones describen en detalle los modelos Nested Logit, GEV, Probit y Mixed Logit.

G. Modelos Logit anidados y valores extremos generalizados (GEV)

El modelo es el mismo que el modelo F excepto que el componente no observado de la utilidad está correlacionado con las alternativas en lugar de ser independiente con respecto a las alternativas.

• U _ni = βz _ni + ε _ni ,
• La distribución marginal de cada ε _ni es valor extremo , ^{[nb 1]} pero su distribución conjunta permite correlación entre ellos.
• La probabilidad adopta muchas formas dependiendo del patrón de correlación que se especifique. Ver Valor Extremo Generalizado .

H. Probit multinomial

El modelo es el mismo que el modelo G excepto que los términos no observados se distribuyen conjuntamente de manera normal , lo que permite cualquier patrón de correlación y heterocedasticidad :

${\displaystyle {\begin{cases}U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}\\\varepsilon _{n}\equiv (\varepsilon _{n1},\cdots ,\varepsilon _{nJ})\sim N(0,\Omega )\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{ni}=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj}\right)=\int I\left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj}\right)\phi (\varepsilon _{n}|\Omega )\;d\varepsilon _{n},}$

donde es la densidad normal conjunta con media cero y covarianza . ${\displaystyle \phi (\varepsilon _{n}|\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$

La integral para esta probabilidad de elección no tiene una forma cerrada, por lo que la probabilidad se aproxima mediante cuadratura o simulación.

Cuando la matriz es identidad (tal que no existe correlación ni heterocedasticidad ), el modelo se denomina probit independiente. ${\displaystyle \Omega }$

I. Logit mixto

Los modelos Logit mixtos se han vuelto cada vez más populares en los últimos años por varias razones. Primero, el modelo permite ser aleatorio además de . La aleatoriedad se adapta a la variación aleatoria de los gustos entre las personas y la correlación entre alternativas que genera patrones de sustitución flexibles. En segundo lugar, los avances en la simulación han hecho que la aproximación del modelo sea bastante fácil. Además, McFadden y Train han demostrado que cualquier modelo de elección verdadera puede aproximarse, con cualquier grado de precisión, mediante un logit mixto con la especificación apropiada de variables explicativas y distribución de coeficientes. ^[23] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \beta }$

• U _ni = βz _ni + ε _ni ,
• ${\displaystyle \beta \sim f(\beta |\theta )}$para cualquier distribución , ¿dónde se estima el conjunto de parámetros de distribución (por ejemplo, media y varianza)? ${\displaystyle {\it {f}}}$ ${\displaystyle \theta }$
• ε _ni ~ iid valor extremo , ^{[nb 1]}

La probabilidad de elección es

${\displaystyle P_{ni}=\int _{\beta }L_{ni}(\beta )f(\beta |\theta )\,d\beta ,}$

dónde

${\displaystyle L_{ni}(\beta )={\exp(\beta z_{ni}) \over {\sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}}}$

es la probabilidad logit evaluada con el número total de alternativas. ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle J}$

La integral para esta probabilidad de elección no tiene forma cerrada, por lo que la probabilidad se aproxima mediante simulación. ^[26]

Estimación a partir de elecciones

Los modelos de elección discreta a menudo se estiman utilizando la estimación de máxima verosimilitud . Los modelos logit se pueden estimar mediante regresión logística y los modelos probit se pueden estimar mediante regresión probit . Se han propuesto métodos no paramétricos , como el estimador de puntuación máxima . ^{[27] [28]} La estimación de dichos modelos generalmente se realiza mediante métodos de máxima verosimilitud paramétricos, semiparamétricos y no paramétricos, ^[29] pero también se puede realizar con el enfoque de modelado de trayectoria de mínimos cuadrados parciales . ^[30]

Estimación a partir de clasificaciones

En muchas situaciones, se observa la clasificación de alternativas de una persona, en lugar de solo la alternativa elegida. Por ejemplo, a una persona que ha comprado un coche nuevo se le puede preguntar qué habría comprado si no se le hubiera ofrecido ese coche, lo que proporciona información sobre la segunda opción de la persona además de la primera. O, en una encuesta, se le podría preguntar al encuestado:

Ejemplo : Clasifique los siguientes planes de llamadas de teléfonos celulares desde el más preferido hasta el menos preferido.

* $60 por mes por minutos ilimitados en cualquier momento, contrato de dos años con cargo por cancelación anticipada de $100

* $30 por mes por 400 minutos en cualquier momento, 3 centavos por minuto después de 400 minutos, contrato de un año con cargo por cancelación anticipada de $125

* $35 por mes por 500 minutos en cualquier momento, 3 centavos por minuto después de 500 minutos, sin contrato ni cargo por cancelación anticipada

* $50 por mes por 1000 minutos en cualquier momento, 5 centavos por minuto después de 1000 minutos, contrato de dos años con cargo por cancelación anticipada de $75

Los modelos descritos anteriormente se pueden adaptar para tener en cuenta clasificaciones más allá de la primera opción. El modelo más destacado para los datos de clasificación es el logit explotado y su versión mixta.

J. Logit desglosado

Bajo los mismos supuestos que para un logit estándar (modelo F), la probabilidad de una clasificación de las alternativas es un producto de logits estándar. El modelo se llama "logit desglosado" porque la situación de elección que generalmente se representa como una fórmula logit para la alternativa elegida se expande ("explotado") para tener una fórmula logit separada para cada alternativa clasificada. El modelo logit desglosado es el producto de modelos logit estándar en los que el conjunto de opciones disminuye a medida que se clasifica cada alternativa y deja el conjunto de opciones disponibles en la elección siguiente.

Sin pérdida de generalidad, las alternativas se pueden reetiquetar para representar la clasificación de la persona, de modo que la alternativa 1 sea la primera opción, la 2 la segunda, etc. La probabilidad de elección de clasificar J alternativas como 1, 2,..., J es entonces

${\displaystyle \Pr({\text{ranking }}1,2,\ldots ,J)={\exp(\beta z_{1}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}{\exp(\beta z_{2}) \over \sum _{j=2}^{J}\exp(\beta z_{nj})}\ldots {\exp(\beta z_{J-1}) \over \sum _{j=J-1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}}$

Al igual que con el logit estándar, el modelo logit desglosado no supone ninguna correlación entre los factores no observados y las alternativas. El logit desglosado se puede generalizar, de la misma manera que se generaliza el logit estándar, para acomodar correlaciones entre alternativas y variaciones aleatorias de gustos. El modelo "logit desglosado mixto" se obtiene mediante la probabilidad de la clasificación, dada anteriormente, para L _ni en el modelo logit mixto (modelo I).

Este modelo también se conoce en econometría como modelo logit ordenado por rangos y fue introducido en ese campo por Beggs, Cardell y Hausman en 1981. ^{[31] [32]} Una aplicación es Combes et al. Documento que explica la clasificación de los candidatos a profesor. ^[32] También se conoce como modelo de Plackett-Luce en la literatura biomédica. ^{[32] [33] [34]}

Modelos ordenados

En las encuestas, a menudo se pide a los encuestados que den calificaciones, como por ejemplo:

Ejemplo : Por favor, dé su calificación sobre qué tan bien le está yendo al presidente.

1: muy mal

2: mal

3: está bien

4: bueno

5: muy bien

O,

Ejemplo : En una escala del 1 al 5, donde 1 significa completamente en desacuerdo y 5 significa completamente de acuerdo, ¿qué tan de acuerdo está con la siguiente afirmación? "El gobierno federal debería hacer más para ayudar a las personas que enfrentan una ejecución hipotecaria de sus viviendas".

Un modelo multinomial de elección discreta puede examinar las respuestas a estas preguntas (modelo G, modelo H, modelo I). Sin embargo, estos modelos se derivan bajo el concepto de que el encuestado obtiene cierta utilidad por cada respuesta posible y da la respuesta que le proporciona la mayor utilidad. Podría ser más natural pensar que el encuestado tiene alguna medida o índice latente asociado con la pregunta y responde en respuesta a qué tan alta es esta medida. Bajo este concepto se derivan los modelos logit ordenado y probit ordenado.

K.Logit ordenado

Sea U _n la fuerza de los sentimientos u opiniones del encuestado n sobre el tema de la encuesta. Supongamos que existen límites en el nivel de opinión al elegir una respuesta particular. Por ejemplo, en el ejemplo de ayudar a las personas que enfrentan una ejecución hipotecaria, la persona elige

• 1, si U _n < a
• 2, si a < U _n < b
• 3, si b < Un < _c
• _{4, si c} < Un < d
• ₅ , si Un > d,

para algunos números reales a , b , c , d .

Definiendo Logística , entonces la probabilidad de cada posible respuesta es: ${\displaystyle U_{n}=\beta z_{n}+\varepsilon ,\;\varepsilon \sim }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr({\text{choosing }}1)&=\Pr(U_{n}<a)=\Pr(\varepsilon <a-\beta z_{n})={1 \over 1+\exp(-(a-\beta z_{n}))}\\\Pr({\text{choosing }}2)&=\Pr(a<U_{n}<b)=\Pr(a-\beta z_{n}<\varepsilon <b-\beta z_{n})={1 \over 1+\exp(-(b-\beta z_{n}))}-{1 \over 1+\exp(-(a-\beta z_{n}))}\\&\cdots \\\Pr({\text{choosing }}5)&=\Pr(U_{n}>d)=\Pr(\varepsilon >d-\beta z_{n})=1-{1 \over 1+\exp(-(d-\beta z_{n}))}\end{aligned}}}$

Los parámetros del modelo son los coeficientes β y los puntos de corte a − d , uno de los cuales debe normalizarse para su identificación. Cuando sólo hay dos respuestas posibles, el logit ordenado es lo mismo que un logit binario (modelo A), con un punto de corte normalizado a cero.

L. Probit ordenado

La descripción del modelo es la misma que la del modelo K, excepto que los términos no observados tienen una distribución normal en lugar de logística .

Las probabilidades de elección son ( es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar): ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr({\text{choosing }}1)&=\Phi (a-\beta z_{n})\\\Pr({\text{choosing }}2)&=\Phi (b-\beta z_{n})-\Phi (a-\beta z_{n})\\&\cdots \end{aligned}}}$

Ver también

• regresión binaria
• Elección discreta dinámica

Notas

1. La densidad y la función de distribución acumulativa de la distribución de valores extremos están dadas por y Esta distribución también se llama Gumbel o distribución de valores extremos tipo I, un tipo especial de distribución de valores extremos generalizada . ${\displaystyle f(\varepsilon _{nj})=\exp(-\varepsilon _{nj})\exp(-\exp(-\varepsilon _{nj}))}$ ${\displaystyle F(\varepsilon _{nj})=\exp(-\exp(-\varepsilon _{nj})).}$

Referencias

1. Tren, K. (1986). Análisis de elección cualitativa: teoría, econometría y una aplicación a la demanda de automóviles . Prensa del MIT. ISBN 9780262200554.Capítulo 8.
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Otras lecturas

• Anderson, S., A. de Palma y J.-F. Thisse (1992), Teoría de la elección discreta de la diferenciación de productos , MIT Press,
• Ben-Akiva, M.; Lerman, S. (1985). Análisis de elección discreta: teoría y aplicación a la demanda de viajes . Prensa del MIT.
• Greene, William H. (2012). Análisis econométrico (Séptima ed.). Río Upper Saddle: Pearson Prentice-Hall. págs. 770–862. ISBN 978-0-13-600383-0.
• Hensher, D.; Rosa, J.; Greene, W. (2005). Análisis de elección aplicada: introducción . Prensa de la Universidad de Cambridge.
• Maddala, G. (1983). Variables cualitativas y dependientes limitadas en econometría . Prensa de la Universidad de Cambridge.
• McFadden, Daniel L. (1984). Análisis econométrico de modelos de respuesta cualitativos . Manual de econometría, volumen II. vol. Capítulo 24. Elsevier Science Publishers BV.
• Tren, K. (2009) [2003]. Métodos de Elección Discreta con Simulación . Prensa de la Universidad de Cambridge.