Ecuaciones de aguas poco profundas

Las ecuaciones de aguas someras ( SWE ) son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas (o parabólicas si se considera la cizalladura viscosa) que describen el flujo por debajo de una superficie de presión en un fluido (a veces, pero no necesariamente, una superficie libre ). ^[1] Las ecuaciones de aguas someras en forma unidireccional también se denominan ecuaciones (de)Saint-Venant , en honor a Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (véase la sección relacionada a continuación).

Las ecuaciones se derivan ^[2] de la integración en profundidad de las ecuaciones de Navier-Stokes , en el caso en que la escala de longitud horizontal es mucho mayor que la escala de longitud vertical. Bajo esta condición, la conservación de la masa implica que la escala de velocidad vertical del fluido es pequeña en comparación con la escala de velocidad horizontal. Se puede demostrar a partir de la ecuación de momento que los gradientes de presión verticales son casi hidrostáticos , y que los gradientes de presión horizontales se deben al desplazamiento de la superficie de presión, lo que implica que el campo de velocidad horizontal es constante en toda la profundidad del fluido. La integración vertical permite eliminar la velocidad vertical de las ecuaciones. De este modo, se derivan las ecuaciones de aguas poco profundas.

Si bien en las ecuaciones de aguas poco profundas no existe un término de velocidad vertical, cabe señalar que esta velocidad no es necesariamente cero. Esta es una distinción importante porque, por ejemplo, la velocidad vertical no puede ser cero cuando el fondo cambia de profundidad y, por lo tanto, si fuera cero, solo se podrían utilizar fondos planos con las ecuaciones de aguas poco profundas. Una vez que se ha encontrado una solución (es decir, las velocidades horizontales y el desplazamiento de la superficie libre), la velocidad vertical se puede recuperar mediante la ecuación de continuidad.

Son comunes las situaciones en dinámica de fluidos en las que la escala de longitud horizontal es mucho mayor que la escala de longitud vertical, por lo que las ecuaciones de aguas someras tienen una amplia aplicación. Se utilizan con las fuerzas de Coriolis en el modelado atmosférico y oceánico, como una simplificación de las ecuaciones primitivas del flujo atmosférico.

Los modelos de ecuaciones para aguas someras tienen un solo nivel vertical, por lo que no pueden abarcar directamente ningún factor que varíe con la altura. Sin embargo, en los casos en que el estado medio es suficientemente simple, las variaciones verticales se pueden separar de las horizontales y varios conjuntos de ecuaciones para aguas someras pueden describir el estado.

Ecuaciones

Forma conservadora

Las ecuaciones de aguas someras se derivan de las ecuaciones de conservación de la masa y de la conservación del momento lineal ( ecuaciones de Navier-Stokes ), que se mantienen incluso cuando los supuestos de aguas someras no se cumplen, como en el caso de un salto hidráulico . En el caso de un lecho horizontal , con fuerzas de Coriolis , fuerzas de fricción y fuerzas viscosas despreciables , las ecuaciones de aguas someras son: ${\begin{aligned}{\frac {\partial (\rho \eta )}{\partial t}}&+{\frac {\partial (\rho \eta u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho \eta v)}{\partial y}}=0,\\[3pt]{\frac {\partial (\rho \eta u)}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho \eta u^{2}+{\frac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}\right)+{\frac {\partial (\rho \eta uv)}{\partial y}}=0,\\[3pt]{\frac {\partial (\rho \eta v)}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\rho \eta v^{2}+{\frac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}\right)+{\frac {\partial (\rho \eta uv)}{\partial x}}=0.\end{aligned}}$

Aquí η es la altura total de la columna de fluido (profundidad instantánea del fluido en función de x , y y t ), y el vector 2D ( u , v ) es la velocidad de flujo horizontal del fluido , promediada a lo largo de la columna vertical. Además, g es la aceleración debida a la gravedad y ρ es la densidad del fluido . La primera ecuación se deriva de la conservación de la masa, las dos siguientes de la conservación del momento. ^[3]

Forma no conservadora

Desarrollando las derivadas de lo anterior utilizando la regla del producto , se obtiene la forma no conservativa de las ecuaciones de aguas poco profundas. Dado que las velocidades no están sujetas a una ecuación de conservación fundamental, las formas no conservativas no se cumplen en caso de choque o salto hidráulico . También se incluyen los términos apropiados para las fuerzas de Coriolis, de fricción y viscosas, para obtener (para una densidad de fluido constante): ${\begin{aligned}{\frac {\partial h}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}(H+h)u{\Bigr )}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigl (}(H+h)v{\Bigr )}=0,\\[3pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}&+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}-fv=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}-ku+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right),\\[3pt]{\frac {\partial v}{\partial t}}&+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+fu=-g{\frac {\partial h}{\partial y}}-kv+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right),\end{aligned}}$

dónde

Animación de las ecuaciones linealizadas de aguas someras para una cuenca rectangular, sin fricción ni fuerza de Coriolis. El agua experimenta una salpicadura que genera ondas de gravedad superficial que se propagan desde el lugar de la salpicadura y se reflejan en las paredes de la cuenca. La animación se creó utilizando la solución exacta de Carrier y Yeh (2005) para ondas axisimétricas . ^[4]

Suele suceder que los términos cuadráticos en u y v , que representan el efecto de la advección en masa , sean pequeños en comparación con los otros términos. Esto se denomina equilibrio geostrófico y es equivalente a decir que el número de Rossby es pequeño. Suponiendo también que la altura de la ola es muy pequeña en comparación con la altura media ( h ≪ H ), tenemos (sin fuerzas viscosas laterales): ${\begin{aligned}{\frac {\partial h}{\partial t}}&+H\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=0,\\[3pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}&-fv=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}-ku,\\[3pt]{\frac {\partial v}{\partial t}}&+fu=-g{\frac {\partial h}{\partial y}}-kv.\end{aligned}}$

Ecuaciones unidimensionales de Saint-Venant

Las ecuaciones unidimensionales (1-D) de Saint-Venant fueron derivadas por Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant y se utilizan comúnmente para modelar el flujo transitorio en canales abiertos y la escorrentía superficial . Pueden considerarse como una contracción de las ecuaciones bidimensionales (2-D) de aguas someras, que también se conocen como ecuaciones bidimensionales de Saint-Venant. Las ecuaciones unidimensionales de Saint-Venant contienen hasta cierto punto las características principales de la forma de la sección transversal del canal .

Las ecuaciones 1-D se utilizan ampliamente en modelos informáticos como TUFLOW, Mascaret (EDF), SIC (Irstea), HEC-RAS , ^[5] SWMM5, ISIS, ^[5] InfoWorks, ^[5] Flood Modeller, SOBEK 1DFlow, MIKE 11 , ^[5] y MIKE SHE porque son significativamente más fáciles de resolver que las ecuaciones completas de aguas poco profundas. Las aplicaciones comunes de las ecuaciones 1-D de Saint-Venant incluyen el enrutamiento de inundaciones a lo largo de los ríos (incluida la evaluación de medidas para reducir los riesgos de inundaciones), el análisis de rotura de presas, los pulsos de tormenta en un canal abierto, así como la escorrentía de tormenta en el flujo superficial.

Ecuaciones

El sistema de ecuaciones diferenciales parciales que describe el flujo incompresible 1-D en un canal abierto de sección transversal arbitraria , tal como lo derivó y planteó Saint-Venant en su artículo de 1871 (ecuaciones 19 y 20), es: ^[6]

donde x es la coordenada espacial a lo largo del eje del canal, t denota tiempo, A ( x , t ) es el área de la sección transversal del flujo en la ubicación x , u ( x , t ) es la velocidad del flujo , ζ ( x , t ) es la elevación de la superficie libre y τ( x , t ) es la tensión cortante de la pared a lo largo del perímetro mojado P ( x , t ) de la sección transversal en x . Además ρ es la densidad (constante) del fluido y g es la aceleración gravitacional .

El cierre del sistema hiperbólico de ecuaciones ( 1 )–( 2 ) se obtiene a partir de la geometría de las secciones transversales, proporcionando una relación funcional entre el área de la sección transversal A y la elevación de la superficie ζ en cada posición x . Por ejemplo, para una sección transversal rectangular, con ancho de canal constante B y elevación del lecho del canal z _b , el área de la sección transversal es: $A = B (ζ - z b) = B h$ . La profundidad instantánea del agua es $h (x, t) = ζ(x, t) - z b (x)$ , con z _b ( x ) el nivel del lecho (es decir, la elevación del punto más bajo del lecho por encima del datum , consulte la figura de la sección transversal). Para paredes de canal que no se mueven, el área de la sección transversal A en la ecuación ( 1 ) se puede escribir como: con b ( x , h ) el ancho efectivo de la sección transversal del canal en la ubicación x cuando la profundidad del fluido es h – entonces $b$ $($ $x$ $,$ $h$ $) =$ $B$ $($ $x$ $)$ para canales rectangulares. ^[7] $A(x,t)=\int _{0}^{h(x,t)}b(x,h')\,dh',$

La tensión cortante de la pared τ depende de la velocidad del flujo u y se puede relacionar mediante, por ejemplo, la ecuación de Darcy-Weisbach , la fórmula de Manning o la fórmula de Chézy .

Además, la ecuación ( 1 ) es la ecuación de continuidad , que expresa la conservación del volumen de agua para este fluido homogéneo incompresible. La ecuación ( 2 ) es la ecuación de momento , que proporciona el equilibrio entre las fuerzas y las tasas de cambio de momento.

La pendiente del lecho S ( x ), la pendiente de fricción S _f ( x , t ) y el radio hidráulico R ( x , t ) se definen como: y $S=-{\frac {\mathrm {d} z_{\mathrm {b} }}{\mathrm {d} x}},$ $S_{\mathrm {f} }={\frac {\tau }{\rho gR}}$ $R={\frac {A}{P}}.$

En consecuencia, la ecuación de momento ( 2 ) se puede escribir como: ^[7]

Conservación del momento

La ecuación de momento ( 3 ) también se puede expresar en la denominada forma de conservación , mediante algunas manipulaciones algebraicas sobre las ecuaciones de Saint-Venant, ( 1 ) y ( 3 ). En términos de la descarga $Q = Au$ : ^[8]

donde A , I ₁ e I ₂ son funciones de la geometría del canal, descritas en términos del ancho del canal B (σ, x ). Aquí σ es la altura sobre el punto más bajo en la sección transversal en la ubicación x , vea la figura de la sección transversal. Por lo tanto, σ es la altura sobre el nivel del lecho z _b ( x ) (del punto más bajo en la sección transversal): ${\begin{aligned}A(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }B(\sigma ',x)\;\mathrm {d} \sigma ',\\I_{1}(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }(\sigma -\sigma ')\,B(\sigma ^{\prime },x)\;\mathrm {d} \sigma '\qquad {\text{and}}\\I_{2}(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }(\sigma -\sigma ')\,{\frac {\partial B(\sigma ',x)}{\partial x}}\;\mathrm {d} \sigma '.\end{aligned}}$

Arriba, en la ecuación de momento ( 4 ) en forma de conservación, A , I ₁ e I ₂ se evalúan en $σ = h (x, t)$ . El término g I ₁ describe la fuerza hidrostática en una cierta sección transversal. Y, para un canal no prismático , g I ₂ da los efectos de las variaciones de geometría a lo largo del eje del canal x .

En las aplicaciones, dependiendo del problema en cuestión, a menudo se prefiere utilizar la ecuación de momento en forma no conservativa, ( 2 ) o ( 3 ), o en forma conservativa ( 4 ). Por ejemplo, en el caso de la descripción de saltos hidráulicos , se prefiere la forma conservativa ya que el flujo de momento es continuo a lo largo del salto.

Características

Las ecuaciones de Saint-Venant ( 1 )–( 2 ) se pueden analizar utilizando el método de las características . ^[9]^[10]^[11]^[12] Las dos celeridades d x /d t en las curvas características son: ^[8] con ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u\pm c,$ $c={\sqrt {\frac {gA}{B}}}.$

El número de Froude Fr = | u | / c determina si el flujo es subcrítico ( Fr < 1 ) o supercrítico ( Fr > 1 ).

Para un canal rectangular y prismático de ancho constante B , es decir con $A = B h$ y $c = \sqrt gh$ , los invariantes de Riemann son: ^[9] y por tanto las ecuaciones en forma característica son: ^[9] $r_{+}=u+2{\sqrt {gh}}$ $r_{-}=u-2{\sqrt {gh}},$ ${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(u+2{\sqrt {gh}}\right)=g\left(S-S_{f}\right)&&{\text{along}}\quad {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u+{\sqrt {gh}}\quad {\text{and}}\\&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(u-2{\sqrt {gh}}\right)=g\left(S-S_{f}\right)&&{\text{along}}\quad {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u-{\sqrt {gh}}.\end{aligned}}$

Didenkulova y Pelinovsky (2011) describen los invariantes de Riemann y el método de características para un canal prismático de sección transversal arbitraria. ^[12]

Las características e invariantes de Riemann proporcionan información importante sobre el comportamiento del flujo, así como que pueden ser utilizados en el proceso de obtención de soluciones (analíticas o numéricas). ^[13]^[14]^[15]^[16]

Estructura hamiltoniana para flujo sin fricción

En caso de que no haya fricción y el canal tenga una sección transversal prismática rectangular , las ecuaciones de Saint-Venant tienen una estructura hamiltoniana . ^[17] El hamiltoniano $H$ es igual a la energía del flujo de superficie libre: con $B$ constante el ancho del canal y $ρ$ la densidad del fluido constante . Las ecuaciones de Hamilton son entonces: ya que $\partial$ $A$ $/\partial$ $ζ$ $=$ $B$ $)$ . $H=\rho \int \left({\frac {1}{2}}Au^{2}+{\frac {1}{2}}gB\zeta ^{2}\right)\mathrm {d} x,$ ${\begin{aligned}&\rho B{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial H}{\partial u}}\right)=\rho \left(B{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+{\frac {\partial (Au)}{\partial x}}\right)=\rho \left({\frac {\partial A}{\partial t}}+{\frac {\partial (Au)}{\partial x}}\right)=0,\\&\rho B{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial H}{\partial \zeta }}\right)=\rho B\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+g{\frac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)=0,\end{aligned}}$

Modelado derivado

Onda dinámica

La onda dinámica es la ecuación unidimensional completa de Saint-Venant. Es numéricamente difícil de resolver, pero es válida para todos los escenarios de flujo de canal. La onda dinámica se utiliza para modelar tormentas transitorias en programas de modelado que incluyen Mascaret (EDF), SIC (Irstea), HEC-RAS , ^[18] InfoWorks_ICM Archivado el 25 de octubre de 2016 en Wayback Machine , ^[19] MIKE 11 , ^[20] Wash 123d ^[21] y SWMM5 .

En el orden de simplificaciones crecientes, al eliminar algunos términos de las ecuaciones de Saint-Venant 1D completas (también conocidas como ecuación de onda dinámica), obtenemos la también clásica ecuación de onda difusiva y la ecuación de onda cinemática.

Onda difusa

En el caso de la onda difusiva, se supone que los términos inerciales son menores que los términos de gravedad, fricción y presión. Por lo tanto, la onda difusiva se puede describir con mayor precisión como una onda sin inercia y se escribe como: $g{\frac {\partial h}{\partial x}}+g(S_{f}-S)=0.$

La onda difusiva es válida cuando la aceleración inercial es mucho menor que todas las demás formas de aceleración, o en otras palabras cuando hay principalmente flujo subcrítico, con bajos valores de Froude. Los modelos que utilizan el supuesto de onda difusiva incluyen MIKE SHE ^[22] y LISFLOOD-FP. ^[23] En el software SIC (Irstea) esta opción también está disponible, ya que los 2 términos de inercia (o cualquiera de ellos) se pueden eliminar en la opción de la interfaz.

Onda cinemática

Para la onda cinemática se supone que el flujo es uniforme y que la pendiente de fricción es aproximadamente igual a la pendiente del canal. Esto simplifica la ecuación completa de Saint-Venant para la onda cinemática: $S_{f}-S=0.$

La onda cinemática es válida cuando el cambio en la altura de la ola a lo largo de la distancia y la velocidad a lo largo de la distancia y el tiempo es insignificante en relación con la pendiente del lecho, por ejemplo, para flujos poco profundos sobre pendientes pronunciadas. ^[24] La onda cinemática se utiliza en HEC-HMS . ^[25]

Derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes

La ecuación de momento de Saint-Venant en 1-D se puede derivar de las ecuaciones de Navier-Stokes que describen el movimiento de fluidos . El componente x de las ecuaciones de Navier-Stokes, cuando se expresa en coordenadas cartesianas en la dirección x , se puede escribir como: ${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {1}{\rho }}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+f_{x},$

donde u es la velocidad en la dirección x , v es la velocidad en la dirección y , w es la velocidad en la dirección z , t es el tiempo, p es la presión, ρ es la densidad del agua, ν es la viscosidad cinemática y f _x es la fuerza del cuerpo en la dirección x .

Si se supone que la fricción se toma en cuenta como fuerza corporal, entonces se puede suponer que es cero, por lo que: $\nu$ $\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)=0.$
Suponiendo un flujo unidimensional en la dirección x se deduce que: ^[26] $v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}=0$
Suponiendo también que la distribución de presión es aproximadamente hidrostática, se deduce que: ^[26] o en forma diferencial: Y cuando estas suposiciones se aplican al componente x de las ecuaciones de Navier-Stokes: $p=\rho gh$ $\partial p=\rho g(\partial h).$ $-{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {1}{\rho }}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\rho g\left(\partial h\right)}{\partial x}}=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}.$
Hay dos fuerzas corporales que actúan sobre el fluido del canal, a saber, la gravedad y la fricción: donde f _x,g es la fuerza corporal debida a la gravedad y f _x,f es la fuerza corporal debida a la fricción. $f_{x}=f_{x,g}+f_{x,f}$
f _{x , g} se puede calcular utilizando física básica y trigonometría: ^[27] donde F _g es la fuerza de gravedad en la dirección x , θ es el ángulo y M es la masa. $F_{g}=\sin(\theta )gM$
Figura 1: Diagrama del bloque que se mueve hacia abajo en un plano inclinado.
La expresión para sen θ se puede simplificar usando trigonometría como: Para θ pequeños (razonables para casi todas las corrientes) se puede suponer que: y dado que f _x representa una fuerza por unidad de masa, la expresión se convierte en: $\sin \theta ={\frac {\text{opp}}{\text{hyp}}}.$ $\sin \theta =\tan \theta ={\frac {\text{opp}}{\text{adj}}}=S$ $f_{x,g}=gS.$
Suponiendo que la línea de pendiente de energía no es la misma que la pendiente del canal, y que para un tramo de pendiente constante hay una pérdida de fricción constante, se deduce que: ^[28] $f_{x,f}=S_{f}g.$
Todas estas suposiciones combinadas llegan a la ecuación de Saint-Venant unidimensional en la dirección x : donde (a) es el término de aceleración local, (b) es el término de aceleración convectiva, (c) es el término de gradiente de presión, (d) es el término de fricción y (e) es el término de gravedad. ${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+g{\frac {\partial h}{\partial x}}+g(S_{f}-S)=0,$ $(a)\quad \ \ (b)\quad \ \ \ (c)\qquad \ \ \ (d)\quad (e)\$

Términos

La aceleración local (a) también puede considerarse como el "término inestable", ya que describe algún cambio en la velocidad a lo largo del tiempo. La aceleración convectiva (b) es una aceleración causada por algún cambio en la velocidad con respecto a la posición, por ejemplo, la aceleración o desaceleración de un fluido que ingresa en una constricción o una abertura, respectivamente. Ambos términos conforman los términos de inercia de la ecuación unidimensional de Saint-Venant.

El término de gradiente de presión (c) describe cómo cambia la presión con la posición y, dado que se supone que la presión es hidrostática, este es el cambio en la altura sobre la posición. El término de fricción (d) representa las pérdidas de energía debido a la fricción, mientras que el término de gravedad (e) es la aceleración debido a la pendiente del lecho.

Modelado de olas mediante ecuaciones de aguas someras

Las ecuaciones de aguas poco profundas se pueden utilizar para modelar las ondas de Rossby y Kelvin en la atmósfera, ríos, lagos y océanos, así como las ondas de gravedad en un dominio más pequeño (por ejemplo, las ondas superficiales en un baño). Para que las ecuaciones de aguas poco profundas sean válidas, la longitud de onda del fenómeno que se supone que deben modelar tiene que ser mucho mayor que la profundidad de la cuenca donde tiene lugar el fenómeno. Se pueden manejar longitudes de onda algo más pequeñas extendiendo las ecuaciones de aguas poco profundas utilizando la aproximación de Boussinesq para incorporar efectos de dispersión . ^[29] Las ecuaciones de aguas poco profundas son especialmente adecuadas para modelar mareas que tienen escalas de longitud muy grandes (más de cientos de kilómetros). Para el movimiento de mareas, incluso un océano muy profundo puede considerarse como poco profundo, ya que su profundidad siempre será mucho menor que la longitud de onda de la marea.

Generación y propagación de tsunamis , calculada con las ecuaciones de aguas someras (línea roja; sin dispersión de frecuencia) y con un modelo de tipo Boussinesq (línea azul; con dispersión de frecuencia). Observe que el modelo de tipo Boussinesq (línea azul) forma un solitón con una cola oscilatoria que se queda atrás. Las ecuaciones de aguas someras (línea roja) forman un frente empinado, que conducirá a la formación de un pozo , más adelante. La profundidad del agua es de 100 metros.

Modelado de turbulencia mediante ecuaciones no lineales de aguas someras

Las ecuaciones de aguas someras, en su forma no lineal, son un candidato obvio para modelar la turbulencia en la atmósfera y los océanos, es decir, la turbulencia geofísica . Una ventaja de esto, sobre las ecuaciones cuasi-geostróficas , es que permite soluciones como las ondas de gravedad , al mismo tiempo que conserva la energía y la vorticidad potencial . Sin embargo, también hay algunas desventajas en lo que respecta a las aplicaciones geofísicas: tiene una expresión no cuadrática para la energía total y una tendencia a que las olas se conviertan en ondas de choque . ^[30] Se han propuesto algunos modelos alternativos que previenen la formación de choques. Una alternativa es modificar el "término de presión" en la ecuación de momento, pero da como resultado una expresión complicada para la energía cinética . ^[31] Otra opción es modificar los términos no lineales en todas las ecuaciones, lo que da una expresión cuadrática para la energía cinética , evita la formación de choques, pero conserva solo la vorticidad potencial linealizada . ^[32]

Véase también

Olas y aguas poco profundas

Notas

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Lectura adicional

Battjes, JA ; Labeur, RJ (2017), Flujo inestable en canales abiertos , Cambridge University Press, doi :10.1017/9781316576878, ISBN 978-1-107-15029-4
Vreugdenhil, CB (1994), Métodos numéricos para el flujo en aguas poco profundas , Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-0792331643

Enlaces externos

Derivación de las ecuaciones de aguas someras a partir de primeros principios (en lugar de simplificar las ecuaciones de Navier-Stokes , algunas soluciones analíticas)