Formulario de conservación

La forma de conservación o forma euleriana se refiere a una disposición de una ecuación o sistema de ecuaciones , que generalmente representa un sistema hiperbólico , que enfatiza que una propiedad representada se conserva, es decir, un tipo de ecuación de continuidad . El término se utiliza generalmente en el contexto de la mecánica del medio continuo .

Forma general

Las ecuaciones en forma de conservación toman la forma para cualquier cantidad conservada , con una función adecuada . Una ecuación de esta forma se puede transformar en una ecuación integral utilizando el teorema de divergencia . La ecuación integral establece que la tasa de cambio de la integral de la cantidad sobre un volumen de control arbitrario está dada por el flujo a través del límite del volumen de control, siendo la superficie exterior normal a través del límite. no se produce ni se consume dentro de y, por lo tanto, se conserva. Una opción típica para es , con velocidad , lo que significa que la cantidad fluye con un campo de velocidad dado. $${\displaystyle {\frac {d\xi }{dt}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {f} (\xi )=0}$$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{V}\xi ~dV=-\oint _{\partial V}\mathbf {f} (\xi )\cdot {\boldsymbol {\nu }}~dS}$$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (\xi )}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nu }}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} (\xi )=\xi \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \xi }$

La forma integral de tales ecuaciones suele ser la formulación más natural desde el punto de vista físico, y la ecuación diferencial surge de la diferenciación. Dado que la ecuación integral también puede tener soluciones no diferenciables, la igualdad de ambas formulaciones puede romperse en algunos casos, lo que conduce a soluciones débiles y graves dificultades numéricas en las simulaciones de tales ecuaciones.

Ejemplo

Un ejemplo de un conjunto de ecuaciones escritas en forma de conservación son las ecuaciones de Euler del flujo de fluidos: $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \rho \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+pV))=0}$$

Cada uno de estos representa la conservación de la masa , el momento y la energía , respectivamente.

Véase también

• Derecho de conservación
• Especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo

Lectura adicional

• Toro, EF (1999). Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para dinámica de fluidos . Springer-Verlag. ISBN 3-540-65966-8.
• Randall J. LeVeque: Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-00924-3 ( Cambridge Texts in Applied Mathematics ).