Ecuaciones consistentes e inconsistentes

Si existe o no un conjunto de valores para satisfacer un sistema de ecuaciones dado

En matemáticas y particularmente en álgebra , un sistema de ecuaciones (ya sea lineal o no lineal ) se denomina consistente si hay al menos un conjunto de valores para las incógnitas que satisface cada ecuación en el sistema, es decir, cuando se sustituyen en cada una de las ecuaciones, hacen que cada ecuación sea verdadera como una identidad . Por el contrario, un sistema de ecuaciones lineal o no lineal se denomina inconsistente si no hay un conjunto de valores para las incógnitas que satisfaga todas las ecuaciones. ^{[1] [2]}

Si un sistema de ecuaciones es inconsistente, entonces las ecuaciones no pueden ser verdaderas juntas, lo que lleva a información contradictoria, como las afirmaciones falsas 2 = 1 , o y (lo que implica 5 = 6 ). ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=5}$ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=6}$

Ambos tipos de sistemas de ecuaciones, inconsistentes y consistentes, pueden ser sobredeterminados ( tener más ecuaciones que incógnitas), subdeterminados (tener menos ecuaciones que incógnitas) o exactamente determinados.

Ejemplos sencillos

Subdeterminado y consistente

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=3,\\x+y+2z&=4\end{aligned}}}$

tiene un número infinito de soluciones, todas ellas con z = 1 (como se puede ver restando la primera ecuación de la segunda), y por tanto todas con x + y = 2 para cualquier valor de x e y .

El sistema no lineal

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=10,\\x^{2}+y^{2}&=5\end{aligned}}}$

tiene una infinidad de soluciones, todas ellas implicadas ${\displaystyle z=\pm {\sqrt {5}}.}$

Como cada uno de estos sistemas tiene más de una solución, es un sistema indeterminado .

Subdeterminado e inconsistente

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=3,\\x+y+z&=4\end{aligned}}}$

no tiene soluciones, como se puede ver restando la primera ecuación de la segunda para obtener el imposible 0 = 1 .

El sistema no lineal

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=17,\\x^{2}+y^{2}+z^{2}&=14\end{aligned}}}$

no tiene soluciones, porque si se resta una ecuación de la otra obtenemos el imposible 0 = 3 .

Exactamente determinado y consistente

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=5\end{aligned}}}$

tiene exactamente una solución: x = 1, y = 2

El sistema no lineal

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=1,\\x^{2}+y^{2}&=1\end{aligned}}}$

tiene las dos soluciones ( x, y ) = (1, 0) y ( x, y ) = (0, 1) , mientras que

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}&=10,\\x^{3}+2y^{3}+z^{3}&=12,\\3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}&=34\end{aligned}}}$

tiene un número infinito de soluciones porque la tercera ecuación es la primera ecuación más el doble de la segunda y, por lo tanto, no contiene información independiente; por lo tanto, se puede elegir cualquier valor de z y se pueden encontrar valores de x e y para satisfacer las dos primeras (y, por lo tanto, la tercera) ecuaciones.

Exactamente determinado e inconsistente

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\4x+4y&=10\end{aligned}}}$

no tiene soluciones; la inconsistencia se puede ver multiplicando la primera ecuación por 4 y restando la segunda ecuación para obtener el imposible 0 = 2 .

Asimismo,

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}&=10,\\x^{3}+2y^{3}+z^{3}&=12,\\3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}&=32\end{aligned}}}$

es un sistema inconsistente porque la primera ecuación más el doble de la segunda menos la tercera contiene la contradicción 0 = 2 .

Sobredeterminado y consistente

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=7,\\4x+6y&=20\end{aligned}}}$

tiene una solución, x = –1, y = 4 , porque las dos primeras ecuaciones no se contradicen entre sí y la tercera ecuación es redundante (ya que contiene la misma información que se puede obtener de las dos primeras ecuaciones al multiplicar cada una por 2 y sumarlas).

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+2y&=7,\\3x+6y&=21,\\7x+14y&=49\end{aligned}}}$

tiene una infinidad de soluciones ya que las tres ecuaciones dan la misma información entre sí (como se puede ver al multiplicar la primera ecuación por 3 o por 7). Cualquier valor de y es parte de una solución, siendo el valor correspondiente de x 7 – 2 y .

El sistema no lineal

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-1&=0,\\y^{2}-1&=0,\\(x-1)(y-1)&=0\end{aligned}}}$

tiene las tres soluciones ( x, y ) = (1, –1), (–1, 1), (1, 1) .

Sobredeterminado e inconsistente

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=7,\\4x+6y&=21\end{aligned}}}$

es inconsistente porque la última ecuación contradice la información contenida en las dos primeras, como se ve al multiplicar cada una de las dos primeras por 2 y sumarlas.

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=1,\\x^{2}+2y^{2}&=2,\\2x^{2}+3y^{2}&=4\end{aligned}}}$

es inconsistente porque la suma de las dos primeras ecuaciones contradice la tercera.

Criterios de coherencia

Como se puede ver en los ejemplos anteriores, la cuestión de consistencia versus inconsistencia es diferente a comparar el número de ecuaciones y de incógnitas.

Sistemas lineales

Un sistema lineal es consistente si y sólo si su matriz de coeficientes tiene el mismo rango que su matriz aumentada (la matriz de coeficientes con una columna extra agregada, siendo esa columna el vector columna de constantes).

Sistemas no lineales

Referencias

1. "Definición de ECUACIONES INCONSISTENTES". www.merriam-webster.com . Consultado el 10 de junio de 2021 .
2. "Definición de ecuaciones consistentes | Dictionary.com". www.dictionary.com . Consultado el 10 de junio de 2021 .