Ecuaciones cuasi-geostróficas

Mientras que el movimiento geostrófico se refiere al viento que resultaría de un equilibrio exacto entre la fuerza de Coriolis y las fuerzas del gradiente de presión horizontal , ^[1] el movimiento cuasigeostrófico (QG) se refiere a flujos donde la fuerza de Coriolis y las fuerzas del gradiente de presión están casi en equilibrio, pero la inercia también tiene un efecto. ^[2]

Origen

Los flujos atmosféricos y oceanográficos tienen lugar en escalas de longitud horizontales que son muy grandes en comparación con su escala de longitud vertical, por lo que pueden describirse mediante las ecuaciones de aguas someras . El número de Rossby es un número adimensional que caracteriza la fuerza de inercia en comparación con la fuerza de la fuerza de Coriolis. Las ecuaciones cuasi-geostróficas son aproximaciones a las ecuaciones de aguas someras en el límite de números de Rossby pequeños, de modo que las fuerzas de inercia son un orden de magnitud más pequeñas que las fuerzas de Coriolis y de presión. Si el número de Rossby es igual a cero, entonces recuperamos el flujo geostrófico.

Las ecuaciones cuasi-geostróficas fueron formuladas por primera vez por Jule Charney . ^[3]

Derivación de las ecuaciones QG de una sola capa

En coordenadas cartesianas, los componentes del viento geostrófico son

${\displaystyle {f_{0}}{v_{g}}={\partial \Phi \over \partial x}}$(1a)

${\displaystyle {f_{0}}{u_{g}}=-{\partial \Phi \over \partial y}}$(1b)

¿Dónde está el geopotencial ? ${\displaystyle {\Phi }}$

La vorticidad geostrófica

${\displaystyle {\zeta _{g}}={{\hat {\mathbf {k} }}\cdot \nabla \times \mathbf {V_{g}} }}$

Por lo tanto, puede expresarse en términos del geopotencial como

${\displaystyle {\zeta _{g}}={{\partial v_{g} \over \partial x}-{\partial u_{g} \over \partial y}={1 \over f_{0}}\left({{\partial ^{2}\Phi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\Phi \over \partial y^{2}}}\right)={1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}}$(2)

La ecuación (2) se puede utilizar para hallar a partir de un campo conocido . Alternativamente, también se puede utilizar para determinar a partir de una distribución conocida de invirtiendo el operador laplaciano . ${\displaystyle {\zeta _{g}(x,y)}}$ ${\displaystyle {\Phi (x,y)}}$ ${\displaystyle {\Phi }}$ ${\displaystyle {\zeta _{g}}}$

La ecuación de vorticidad cuasi-geostrófica se puede obtener a partir de los componentes y de la ecuación de momento cuasi-geostrófico que luego se pueden derivar de la ecuación de momento horizontal. ${\displaystyle {x}}$ ${\displaystyle {y}}$

${\displaystyle {D\mathbf {V} \over Dt}+f{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V} =-\nabla \Phi }$(3)

La derivada material en (3) se define por

${\displaystyle {{D \over Dt}={\left({\partial \over \partial t}\right)_{p}}+{\left({\mathbf {V} \cdot \nabla }\right)_{p}}+{\omega {\partial \over \partial p}}}}$(4)

¿Dónde está el cambio de presión después del movimiento? ${\displaystyle {\omega ={Dp \over Dt}}}$

La velocidad horizontal se puede separar en una parte geostrófica y una ageostrófica . ${\displaystyle {\mathbf {V} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {V_{g}} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {V_{a}} }}$

${\displaystyle {\mathbf {V} =\mathbf {V_{g}} +\mathbf {V_{a}} }}$(5)

Dos supuestos importantes de la aproximación cuasi-geostrófica son

1. , o, más precisamente . ${\displaystyle {\mathbf {V_{g}} \gg \mathbf {V_{a}} }}$ ${\displaystyle {|\mathbf {V_{a}} | \over |\mathbf {V_{g}} |}\sim O({\text{Rossby number}})}$

2. la aproximación del plano beta con ${\displaystyle {f=f_{0}+\beta y}}$ ${\displaystyle {{\frac {\beta y}{f_{0}}}\sim O({\text{Rossby number}})}}$

La segunda suposición justifica dejar que el parámetro de Coriolis tenga un valor constante en la aproximación geostrófica y aproximar su variación en el término de fuerza de Coriolis por . ^[4] Sin embargo, debido a que la aceleración que sigue al movimiento, que se da en (1) como la diferencia entre la fuerza de Coriolis y la fuerza del gradiente de presión, depende de la desviación del viento real del viento geostrófico, no es permisible simplemente reemplazar la velocidad por su velocidad geostrófica en el término de Coriolis. ^[4] La aceleración en (3) puede entonces reescribirse como ${\displaystyle {f_{0}}}$ ${\displaystyle {f_{0}+\beta y}}$

${\displaystyle {f{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V} +\nabla \Phi }={(f_{0}+\beta y){\hat {\mathbf {k} }}\times (\mathbf {V_{g}} +\mathbf {V_{a}} )-f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }={f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{a}} +\beta y{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }}$(6)

La ecuación aproximada del momento horizontal tiene entonces la forma

${\displaystyle {D_{g}\mathbf {V_{g}} \over Dt}={-f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{a}} -\beta y{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }}$(7)

Expresando la ecuación (7) en términos de sus componentes,

${\displaystyle {{D_{g}u_{g} \over Dt}-{f_{0}v_{a}}-{\beta yv_{g}}=0}}$(8a)

${\displaystyle {{D_{g}v_{g} \over Dt}+{f_{0}u_{a}}+{\beta yu_{g}}=0}}$(8b)

Tomando , y observando que el viento geostrófico no es divergente (es decir, ), la ecuación de vorticidad es ${\displaystyle {{\partial (8b) \over \partial x}-{\partial (8a) \over \partial y}}}$ ${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {V} =0}}$

${\displaystyle {{D_{g}\zeta _{g} \over Dt}=-f_{0}\left({{\partial u_{a} \over \partial x}+{\partial v_{a} \over \partial y}}\right)-\beta v_{g}}}$(9)

Porque depende sólo de (es decir, ) y que la divergencia del viento ageostrófico se puede escribir en términos de con base en la ecuación de continuidad ${\displaystyle {f}}$ ${\displaystyle {y}}$ ${\displaystyle {{D_{g}f \over Dt}=\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla f=\beta v_{g}}}$ ${\displaystyle {\omega }}$

${\displaystyle {{\partial u_{a} \over \partial x}+{\partial v_{a} \over \partial y}+{\partial \omega \over \partial p}=0}}$

La ecuación (9) puede por lo tanto escribirse como

${\displaystyle {{\partial \zeta _{g} \over \partial t}={-\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla ({\zeta _{g}+f})}-{f_{0}{\partial \omega \over \partial p}}}}$(10)

La misma identidad utilizando el geopotencial

Definiendo la tendencia geopotencial y observando que la diferenciación parcial puede revertirse, la ecuación (10) puede reescribirse en términos de como ${\displaystyle {\chi ={\partial \Phi \over \partial t}}}$ ${\displaystyle {\chi }}$

${\displaystyle {{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\chi }={-\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla \left({{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }+f}\right)}+{f_{0}{\partial \omega \over \partial p}}}}$(11)

El lado derecho de la ecuación (11) depende de las variables y . Una ecuación análoga que depende de estas dos variables se puede derivar de la ecuación de energía termodinámica ${\displaystyle {\Phi }}$ ${\displaystyle {\omega }}$

${\displaystyle {{{\left({{\partial \over \partial t}+{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }}\right)\left({-\partial \Phi \over \partial p}\right)}-\sigma \omega }={kJ \over p}}}$(12)

donde y es la temperatura potencial correspondiente a la temperatura del estado básico. En la troposfera media, ≈ . ${\displaystyle {\sigma ={-RT_{0} \over p}{d\log \Theta _{0} \over dp}}}$ ${\displaystyle {\Theta _{0}}}$ ${\displaystyle {\sigma }}$ ${\displaystyle {2.5\times 10^{-6}\mathrm {m} {^{2}}\mathrm {Pa} ^{-2}\mathrm {s} ^{-2}}}$

Al multiplicar (12) por y diferenciar con respecto a y usar la definición de se obtiene ${\displaystyle {f_{0} \over \sigma }}$ ${\displaystyle {p}}$ ${\displaystyle {\chi }}$

${\displaystyle {{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\partial \chi \over \partial p}}\right)}=-{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}-{{f_{0}}{\partial \omega \over \partial p}}-{{f_{0}}{\partial \over \partial p}\left({kJ \over \sigma p}\right)}}}$(13)

Si para simplificar se estableciera en 0, eliminando en las ecuaciones (11) y (13) se obtendría ^[5] ${\displaystyle {J}}$ ${\displaystyle {\omega }}$

${\displaystyle {{\left({\nabla ^{2}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \over \partial p}}\right)}}\right){\chi }}=-{{f_{0}}{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }\left({{{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}+f}\right)}-{{\partial \over \partial p}\left({{-}{f_{0}^{2} \over \sigma }{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }\left({\partial \Phi \over \partial p}\right)}\right)}}}$(14)

La ecuación (14) suele denominarse ecuación de tendencia geopotencial . Relaciona la tendencia geopotencial local (término A) con la distribución de advección de vorticidad (término B) y la advección de espesor (término C).

La misma identidad utilizando la vorticidad potencial cuasi-geostrófica

Utilizando la regla de la cadena de diferenciación, el término C se puede escribir como

${\displaystyle {-{{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }{\partial \over \partial p}\left({{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}-{{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}{\cdot \nabla }{\partial \Phi \over \partial p}}}}$(15)

Pero en base a la relación del viento térmico ,

${\displaystyle {{f_{0}{\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}}={{\hat {\mathbf {k} }}\times \nabla \left({\partial \Phi \over \partial p}\right)}}}$.

En otras palabras, es perpendicular a y el segundo término de la ecuación (15) desaparece. ${\displaystyle {\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}}$ ${\displaystyle {\nabla ({\partial \Phi \over \partial p})}}$

El primer término se puede combinar con el término B en la ecuación (14) que, al dividir por, se puede expresar en forma de una ecuación de conservación ^[6] ${\displaystyle {f_{0}}}$

${\displaystyle {{\left({{\partial \over \partial t}+{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }}\right)q}={D_{g}q \over Dt}=0}}$(16)

¿Dónde está la vorticidad potencial cuasi-geostrófica definida por ${\displaystyle {q}}$

${\displaystyle {q={{{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}+{f}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}}}}$(17)

Los tres términos de la ecuación (17) son, de izquierda a derecha, la vorticidad relativa geostrófica , la vorticidad planetaria y la vorticidad de estiramiento .

Trascendencia

A medida que una parcela de aire se mueve en la atmósfera, sus vorticidades relativas, planetarias y de estiramiento pueden cambiar, pero la ecuación (17) muestra que la suma de las tres debe conservarse siguiendo el movimiento geostrófico.

La ecuación (17) se puede utilizar para hallar a partir de un campo conocido . Alternativamente, también se puede utilizar para predecir la evolución del campo geopotencial dada una distribución inicial de y condiciones de contorno adecuadas mediante un proceso de inversión. ${\displaystyle {q}}$ ${\displaystyle {\Phi }}$ ${\displaystyle {\Phi }}$

Más importante aún, el sistema cuasi-geostrófico reduce las ecuaciones primitivas de cinco variables a un sistema de una sola ecuación donde todas las variables como , y pueden obtenerse a partir de o altura . ${\displaystyle {u_{g}}}$ ${\displaystyle {v_{g}}}$ ${\displaystyle {T}}$ ${\displaystyle {q}}$ ${\displaystyle {\Phi }}$

Además, debido a que ambos se definen en términos de , la ecuación de vorticidad se puede utilizar para diagnosticar el movimiento vertical siempre que se conozcan los campos de ambos y . ${\displaystyle {\zeta _{g}}}$ ${\displaystyle {\mathbf {V_{g}} }}$ ${\displaystyle {\Phi (x,y,p,t)}}$ ${\displaystyle {\Phi }}$ ${\displaystyle {\partial \Phi \over \partial t}}$

Referencias

1. Phillips, NA (1963). “Movimiento geostrófico”. Reseñas de geofísica, volumen 1, núm. 2, pág. 123.
2. Kundu, PK y Cohen, IM (2008). Mecánica de fluidos, 4.ª edición. Elsevier, pág. 658.
3. Majda, Andrew; Wang, Xiaoming (2006). Dinámica no lineal y teorías estadísticas para flujos geofísicos básicos. Cambridge University Press. pág. 3. ISBN 978-1-139-45227-4.
4. Holton, JR (2004). Introducción a la meteorología dinámica, 4.ª edición. Elsevier, pág. 149.
5. Holton, JR (2004). Introducción a la meteorología dinámica, 4.ª edición. Elsevier, pág. 157.
6. Holton, JR (2004). Introducción a la meteorología dinámica, 4.ª edición. Elsevier, pág. 160.