En geometría de siete dimensiones , un politopo de 7 dimensiones es un politopo contenido en facetas de 6 politopos. Cada cresta de 5 politopos es compartida por exactamente dos facetas de 6 politopos .
Un 7-politopo uniforme es aquel cuyo grupo de simetría es transitivo en los vértices y cuyas facetas son 6-politopos uniformes .
Los 7-politopos regulares están representados por el símbolo Schläfli {p,q,r,s,t,u} con u {p,q,r,s,t} facetas de 6-politopos alrededor de cada 4 caras.
Hay exactamente tres de estos 7-politopos regulares convexos :
No existen 7-politopos regulares no convexos.
La topología de cualquier 7-politopo dado se define por sus números de Betti y coeficientes de torsión . [1]
El valor de la característica de Euler utilizada para caracterizar los poliedros no se puede generalizar de forma útil a dimensiones superiores, cualquiera que sea su topología subyacente. Esta inadecuación de la característica de Euler para distinguir de forma fiable entre diferentes topologías en dimensiones superiores condujo al descubrimiento de los números de Betti, más sofisticados. [1]
De manera similar, la noción de orientabilidad de un poliedro es insuficiente para caracterizar las torsiones superficiales de los politopos toroidales, y esto condujo al uso de coeficientes de torsión. [1]
Se pueden generar 7-politopos uniformes con simetría reflexiva mediante estos cuatro grupos de Coxeter, representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter-Dynkin :
La familia A7 tiene simetría de orden 40320 ( factorial 8 ).
Existen 71 formas (64+8-1) basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos. Las 71 se enumeran a continuación. Se dan los nombres de truncamiento de Norman Johnson . También se dan los nombres y el acrónimo de Bowers para referencias cruzadas.
Consulte también una lista de politopos A7 para obtener gráficos simétricos del plano de Coxeter de estos politopos.
La familia B 7 tiene simetría de orden 645120 (7 factorial x 2 7 ).
Existen 127 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos. Nombres de Johnson y Bowers.
Consulte también una lista de politopos B7 para obtener gráficos simétricos del plano de Coxeter de estos politopos.
La familia D 7 tiene simetría de orden 322560 (7 factorial x 2 6 ).
Esta familia tiene 3×32−1=95 politopos uniformes Wythoffianos, generados al marcar uno o más nodos del diagrama D 7 de Coxeter-Dynkin . De estos, 63 (2×32−1) se repiten de la familia B 7 y 32 son exclusivos de esta familia, que se enumeran a continuación. Se proporcionan los nombres y el acrónimo de Bowers para referencias cruzadas.
Consulte también la lista de politopos D7 para ver los gráficos del plano de Coxeter de estos politopos.
El grupo E 7 Coxeter tiene el pedido número 2.903.040.
Hay 127 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos.
Consulte también una lista de politopos E7 para ver gráficos simétricos del plano de Coxeter de estos politopos.
Hay cinco grupos de Coxeter afines fundamentales y dieciséis grupos prismáticos que generan teselaciones regulares y uniformes en el espacio de 6:
Las teselaciones regulares y uniformes incluyen:
=
======No existen grupos hiperbólicos compactos de Coxeter de rango 7, grupos que puedan generar panales con todas las facetas finitas y una figura de vértice finita . Sin embargo, existen 3 grupos hiperbólicos paracompactos de Coxeter de rango 7, cada uno de los cuales genera panales uniformes en el espacio de 6 como permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter.
Los politopos uniformes de siete dimensiones reflectantes se construyen mediante un proceso de construcción de Wythoff y se representan mediante un diagrama de Coxeter-Dynkin , donde cada nodo representa un espejo. Un espejo activo se representa mediante un nodo en anillo. Cada combinación de espejos activos genera un politopo uniforme único. Los politopos uniformes se nombran en relación con los politopos regulares de cada familia. Algunas familias tienen dos constructores regulares y, por lo tanto, pueden nombrarse de dos formas igualmente válidas.
Aquí están los operadores principales disponibles para construir y nombrar los 7-politopos uniformes.
Las formas prismáticas y los gráficos bifurcados pueden utilizar la misma notación de indexación de truncamiento, pero requieren un sistema de numeración explícito en los nodos para mayor claridad.
