Modelo de valoración de opciones binomiales

Método numérico para la valoración de opciones financieras.

En finanzas , el modelo binomial de valoración de opciones ( BOPM ) proporciona un método numérico generalizable para la valoración de opciones . Esencialmente, el modelo utiliza un modelo de "tiempo discreto" ( basado en celosía ) del precio variable a lo largo del tiempo del instrumento financiero subyacente , abordando casos en los que falta la fórmula cerrada de Black-Scholes .

El modelo binomial fue propuesto por primera vez por William Sharpe en la edición de 1978 de Investments ( ISBN  013504605X ), ^[1] y formalizado por Cox , Ross y Rubinstein en 1979 ^[2] y por Rendleman y Bartter en ese mismo año. ^[3]

Para ver árboles binomiales aplicados a derivados de renta fija y tipos de interés, consulte Modelo de celosía (finanzas) § Derivados de tipos de interés .

Uso del modelo

El enfoque del modelo de valoración de opciones binomiales se ha utilizado ampliamente porque es capaz de manejar una variedad de condiciones para las cuales otros modelos no se pueden aplicar fácilmente. Esto se debe en gran medida a que el BOPM se basa en la descripción de un instrumento subyacente durante un período de tiempo y no en un solo punto. En consecuencia, se utiliza para valorar opciones americanas que son ejercitables en cualquier momento en un intervalo determinado, así como opciones de Bermudas que son ejercitables en momentos específicos. Al ser relativamente simple, el modelo se puede implementar fácilmente en software de computadora (incluida una hoja de cálculo ).

Aunque computacionalmente es más lenta que la fórmula de Black-Scholes , es más precisa, particularmente para opciones a más largo plazo sobre valores con pago de dividendos . Por estas razones, los profesionales de los mercados de opciones utilizan ampliamente varias versiones del modelo binomial. ^{[ cita necesaria ]}

Para opciones con varias fuentes de incertidumbre (por ejemplo, opciones reales ) y para opciones con características complicadas (por ejemplo, opciones asiáticas ), los métodos binomiales son menos prácticos debido a varias dificultades, y en su lugar se utilizan comúnmente modelos de opciones de Monte Carlo . Al simular una pequeña cantidad de pasos de tiempo, la simulación Monte Carlo consumirá más tiempo computacional que BOPM (consulte los métodos Monte Carlo en finanzas ). Sin embargo, el peor tiempo de ejecución de BOPM será O(2 ⁿ ) , donde n es el número de pasos de tiempo en la simulación. Las simulaciones de Monte Carlo generalmente tendrán una complejidad de tiempo polinomial y serán más rápidas para una gran cantidad de pasos de simulación. Las simulaciones de Monte Carlo también son menos susceptibles a errores de muestreo, ya que las técnicas binomiales utilizan unidades de tiempo discretas. Esto se vuelve más cierto cuanto más pequeñas se vuelven las unidades discretas.

Método

Celosía binomial con fórmulas CRR

El modelo de fijación de precios binomial rastrea la evolución de las variables subyacentes clave de la opción en tiempo discreto. Esto se realiza mediante una red binomial (Árbol), durante un número de pasos de tiempo entre las fechas de valoración y vencimiento. Cada nodo de la red representa un posible precio del subyacente en un momento dado.

La valoración se realiza de forma iterativa, comenzando en cada uno de los nodos finales (aquellos que se pueden alcanzar en el momento del vencimiento) y luego avanzando hacia atrás a través del árbol hasta el primer nodo (fecha de valoración). El valor calculado en cada etapa es el valor de la opción en ese momento.

La valoración de opciones utilizando este método es, como se describe, un proceso de tres pasos:

1. Generación de árboles de precios,
2. Cálculo del valor de la opción en cada nodo final,
3. Cálculo secuencial del valor de la opción en cada nodo anterior.

Paso 1: crear el árbol de precios binomial

El árbol de precios se produce avanzando desde la fecha de valoración hasta el vencimiento.

En cada paso, se supone que el instrumento subyacente subirá o bajará en un factor específico ( o ) por paso del árbol (donde, por definición, y ). Entonces, si es el precio actual, en el próximo período el precio será o . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle u\geq 1}$ ${\displaystyle 0<d\leq 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{up}=S\cdot u}$ ${\displaystyle S_{down}=S\cdot d}$

Los factores de subida y bajada se calculan utilizando la volatilidad subyacente , y la duración de un paso, medida en años (utilizando la convención de recuento de días del instrumento subyacente). De la condición de que la varianza del logaritmo del precio sea , tenemos: ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}t}$

${\displaystyle u=e^{\sigma {\sqrt {\Delta }}t}}$

${\displaystyle d=e^{-\sigma {\sqrt {\Delta }}t}={\frac {1}{u}}.}$

Arriba está el método original de Cox, Ross y Rubinstein (CRR); Existen otras técnicas para generar la red, como el árbol de "igualdad de probabilidades", consulte. ^{[4] [5]}

El método CRR garantiza que el árbol sea recombinante, es decir, si el activo subyacente sube y luego baja (u,d), el precio será el mismo que si se hubiera movido hacia abajo y luego hacia arriba (d,u). Los caminos se fusionan o recombinan. Esta propiedad reduce el número de nodos del árbol y, por tanto, acelera el cálculo del precio de la opción.

Esta propiedad también permite que el valor del activo subyacente en cada nodo se calcule directamente mediante una fórmula y no requiere que el árbol se construya primero. El valor del nodo será:

${\displaystyle S_{n}=S_{0}\times u^{N_{u}-N_{d}},}$

¿Dónde está el número de ticks ascendentes y el número de ticks bajistas? ${\displaystyle N_{u}}$ ${\displaystyle N_{d}}$

Paso 2: encontrar el valor de la opción en cada nodo final

En cada nodo final del árbol, es decir, al vencimiento de la opción, el valor de la opción es simplemente su valor intrínseco o de ejercicio:

Max [ ( S _n − K ), 0 ] , para una opción de compra

Max [( K − S _n ), 0] , para una opción de venta ,

Donde K es el precio de ejercicio y es el precio al contado del activo subyacente en el ^enésimo período . ${\displaystyle S_{n}}$

Paso 3: encontrar el valor de la opción en nodos anteriores

Una vez que se completa el paso anterior, se encuentra el valor de la opción para cada nodo, comenzando en el penúltimo paso de tiempo y regresando al primer nodo del árbol (la fecha de valoración) donde el resultado calculado es el valor de la opción.

En resumen: el "valor binomial" se encuentra en cada nodo, utilizando el supuesto de neutralidad del riesgo ; consulte Valoración neutral al riesgo . Si se permite el ejercicio en el nodo, entonces el modelo toma el mayor entre el valor binomial y el de ejercicio en el nodo.

Los pasos son los siguientes:

1. Según el supuesto de neutralidad del riesgo, el precio justo actual de un derivado es igual al valor esperado de su pago futuro descontado por la tasa libre de riesgo . Por lo tanto, el valor esperado se calcula utilizando los valores de las opciones de los dos últimos nodos ( Opción arriba y Opción abajo ) ponderados por sus respectivas probabilidades: "probabilidad" p de un movimiento alcista en el subyacente y "probabilidad" (1-p) de un movimiento hacia abajo. Luego, el valor esperado se descuenta a r , la tasa libre de riesgo correspondiente a la vida de la opción.

   La siguiente fórmula para calcular el valor esperado se aplica en cada nodo:

   ${\displaystyle {\text{ Binomial Value }}=[p\times {\text{ Option up }}+(1-p)\times {\text{ Option down] }}\times \exp(-r\times \Delta t)}$, o

   ${\displaystyle C_{t-\Delta t,i}=e^{-r\Delta t}(pC_{t,i}+(1-p)C_{t,i+1})\,}$

   dónde

   ${\displaystyle C_{t,i}\,}$es el valor de la opción para el nodo en el momento t , ${\displaystyle i^{th}\,}$

   ${\displaystyle p={\frac {e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d}}}$se elige de modo que la distribución binomial relacionada simule el movimiento browniano geométrico de la acción subyacente con parámetros r y σ ,

   q es la rentabilidad por dividendo del subyacente correspondiente a la vida de la opción. De ello se deduce que en un mundo neutral al riesgo, el precio de futuros debería tener una tasa de crecimiento esperada de cero y, por lo tanto, podemos considerarlo para los futuros. ${\displaystyle q=r}$

   Tenga en cuenta que para que p esté en el intervalo se debe cumplir la siguiente condición . ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t<{\frac {\sigma ^{2}}{(r-q)^{2}}}}$

   (Tenga en cuenta que el enfoque de valoración alternativo, fijación de precios sin arbitraje , produce resultados idénticos; consulte “ cobertura delta ”.)

2. Este resultado es el "Valor Binomial". Representa el precio justo del derivado en un momento determinado (es decir, en cada nodo), dada la evolución del precio del subyacente hasta ese momento. Es el valor de la opción si se mantuviera, en lugar de ejercerse en ese momento.
3. Dependiendo del estilo de la opción, evalúe la posibilidad de ejercicio anticipado en cada nodo: si (1) la opción se puede ejercer y (2) el valor de ejercicio excede el Valor Binomial, entonces (3) el valor en el nodo es el valor del ejercicio.
   • Para una opción europea , no existe opción de ejercicio anticipado y el valor binomial se aplica en todos los nodos.
   • Para una opción americana , dado que la opción puede mantenerse o ejercitarse antes de su vencimiento, el valor en cada nodo es: Max (valor binomial, valor de ejercicio).
   • Para una opción de Bermudas , el valor en los nodos donde se permite el ejercicio anticipado es: Max (valor binomial, valor de ejercicio); en los nodos donde no se permite el ejercicio anticipado, solo se aplica el valor binomial.

Al calcular el valor en el siguiente paso de tiempo calculado (es decir, un paso más cerca de la valoración), el modelo debe utilizar el valor seleccionado aquí, para "Opción arriba"/"Opción abajo", según corresponda, en la fórmula del nodo. El algoritmo aparte demuestra el enfoque que calcula el precio de una opción de venta estadounidense, aunque se puede generalizar fácilmente para opciones de compra y para opciones europeas y de Bermudas:

Relación con Black-Scholes

Supuestos similares sustentan tanto el modelo binomial como el modelo de Black-Scholes y, por lo tanto, el modelo binomial proporciona una aproximación en tiempo discreto al proceso continuo subyacente al modelo de Black-Scholes. El modelo binomial supone que los movimientos del precio siguen una distribución binomial ; para muchos ensayos, esta distribución binomial se aproxima a la distribución log-normal asumida por Black-Scholes. Entonces, en este caso, para las opciones europeas sin dividendos, el valor del modelo binomial converge con el valor de la fórmula de Black-Scholes a medida que aumenta el número de pasos de tiempo. ^{[4] [5]}

Además, cuando se analiza como un procedimiento numérico, el método binomial CRR puede verse como un caso especial del método explícito de diferencias finitas para la EDP de Black-Scholes ; consulte los métodos de diferencias finitas para la valoración de opciones . ^[6]

Ver también

• Árbol trinomial , un modelo similar con tres caminos posibles por nodo.
• Árbol (estructura de datos)
• Modelo de celosía (finanzas) , para una discusión más general y aplicación a otros subyacentes
• Black-Scholes : las celosías binomiales son capaces de manejar una variedad de condiciones para las cuales no se puede aplicar Black-Scholes.
• Modelo de opciones de Montecarlo , utilizado en la valoración de opciones con características complicadas que dificultan su valoración mediante otros métodos.
• Análisis de opciones reales , donde se utiliza ampliamente el BOPM.
• Finanzas cuánticas , modelo de fijación de precios binomial cuántico.
• Finanzas matemáticas , que tiene una lista de artículos relacionados.
• Opción sobre acciones para empleados § Valoración , donde el BOPM se utiliza ampliamente.
• Árbol binomial implícito
• Árbol binomial de Edgeworth

Referencias

1. William F. Sharpe, biográfico, premio nobel.org
2. Cox, JC ; Ross, SA ; Rubinstein, M. (1979). "Precio de opciones: un enfoque simplificado". Revista de economía financiera . 7 (3): 229. CiteSeerX 10.1.1.379.7582 . doi :10.1016/0304-405X(79)90015-1. 
3. Richard J. Rendleman, Jr. y británico J. Bartter. 1979. "Precio de opciones de dos estados". Revista de Finanzas 24: 1093-1110. doi :10.2307/2327237
4. Marcos s. Joshi (2008). La convergencia de los árboles binomiales para fijar el precio del put estadounidense
5. Chance, Don M. Marzo de 2008 Una síntesis de modelos de fijación de precios de opciones binomiales para activos distribuidos de forma logarítmica Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine . Revista de finanzas aplicadas, vol. 18
6. Rubinstein, M. (2000). "Sobre la relación entre los modelos de valoración de opciones binomiales y trinomiales". Revista de Derivados . 8 (2): 47–50. CiteSeerX 10.1.1.43.5394 . doi :10.3905/jod.2000.319149. S2CID  11743572. Archivado desde el original el 22 de junio de 2007. 

enlaces externos

• El modelo binomial para opciones de fijación de precios, Prof. Thayer Watkins
• Precios de opciones binomiales ( PDF ), Prof. Robert M. Conroy
• Modelo de fijación de precios de opciones binomiales por Fiona Maclachlan, The Wolfram Demonstrations Project
• Sobre la irrelevancia de los rendimientos esperados de las acciones en la fijación de precios de las opciones en el modelo binomial: una nota pedagógica de Valeri Zakamouline
• Una derivación simple de la probabilidad neutral al riesgo en el modelo binomial de valoración de opciones por Greg Orosi