Espacio infrabarrilado

En el análisis funcional , una disciplina dentro de las matemáticas, se dice que un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS) es infrabarrulado (también escrito infrabarreled ) si cada barril acotado es un vecindario del origen. ^[1]

De manera similar, los espacios cuasibarrilados son espacios vectoriales topológicos (TVS) para los cuales cada conjunto de barriles bornívoros en el espacio es un vecindario del origen. Los espacios cuasibarrilados se estudian porque son un debilitamiento de la condición definitoria de los espacios de barriles , para los cuales se cumple una forma del teorema de Banach-Steinhaus .

Definición

Un subconjunto de un espacio vectorial topológico (TVS) se denomina bornívoro si absorbe todos los subconjuntos acotados de ; es decir, si para cada subconjunto acotado de existe algún escalar tal que Un conjunto abarrilado o un barril en un TVS es un conjunto que es convexo , equilibrado , absorbente y cerrado . Un espacio cuasibarrellado es un TVS para el cual cada conjunto abarrilado bornívoro en el espacio es un vecindario del origen. ^{[2] [3]} ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S\subseteq rB.}$

Caracterizaciones

Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces la inyección canónica de en su bidual es una incrustación topológica si y solo si es infrabarrelizado. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un espacio vectorial topológico de Hausdorff es cuasibarrelizado si y solo si cada operador lineal cerrado acotado de en un TVS metrizable completo es continuo. ^[5] Por definición, un operador lineal se llama cerrado si su gráfico es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Para un espacio localmente convexo con dual continuo son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

1. ${\displaystyle X}$es cuasibarrilado.
2. Toda seminorma semicontinua inferior acotada es continua. ${\displaystyle X}$
3. Todo subconjunto acotado del espacio dual continuo es equicontinuo. ${\displaystyle \beta (X',X)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Si es un TVS localmente convexo metrizable entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. El fuerte dual de es cuasibarrelled. ${\displaystyle X}$
2. El fuerte dual de es cañón. ${\displaystyle X}$
3. El fuerte dualismo de es bornológico . ${\displaystyle X}$

Propiedades

Todo espacio infrabarrilado cuasi completo tiene forma de barril. ^[1]

Un espacio cuasibarrellado de Hausdorff localmente convexo que es secuencialmente completo es abarrilado. ^[6]

Un espacio cuasibarrellado de Hausdorff localmente convexo es un espacio de Mackey , cuasibarrellado-M y cuasibarrellado contablemente. ^[7]

Un espacio cuasibarrellado localmente convexo que también es un espacio σ-barrilado es necesariamente un espacio barrilado . ^[3]

Un espacio localmente convexo es reflexivo si y sólo si es semirreflexivo y cuasibarrilado. ^[3]

Ejemplos

Todo espacio con barril es infrabarrelizado. ^[1] Sin embargo, un subespacio vectorial cerrado de un espacio infrabarrelizado no es necesariamente infrabarrelizado. ^[8]

Todo producto y suma directa localmente convexa de cualquier familia de espacios infrabarrilados es infrabarrilado. ^[8] Todo cociente separado de un espacio infrabarrilado es infrabarrilado. ^[8]

Todo espacio de barril de Hausdorff y todo espacio bornológico de Hausdorff es cuasibarrellado. ^[9] Por lo tanto, todo TVS metrizable es cuasibarrellado.

Nótese que existen espacios cuasibarrelled que no son ni barreled ni bornological. ^[3] Existen espacios de Mackey que no son cuasibarrelled. ^[3] Existen espacios distinguidos , espacios DF y espacios -barrelled que no son cuasibarrelled. ^[3] ${\displaystyle \sigma }$

El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet se distingue si y sólo si es cuasibarrellado. ^[10] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Contraejemplos

Existe un espacio DF que no es cuasibarrelled. ^[3]

Existe un espacio DF cuasibarrilado que no es bornológico . ^[3]

Existe un espacio cuasibarrelled que no es un espacio σ-barrelled . ^[3]

Véase también

• Espacio en barril  : tipo de espacio vectorial topológico
• Espacio reflexivo  – Espacio vectorial topológico localmente convexo
• Espacio semirreflexivo

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, pág. 142.
2. Jarchow 1981, pág. 222.
3. Khaleelulla 1982, págs. 28–63.
4. Narici y Beckenstein 2011, págs. 488–491.
5. Adasch, Ernst y Keim 1978, pág. 43.
6. Khaleelulla 1982, pág. 28.
7. Khaleelulla 1982, págs. 35.
8. Schaefer y Wolff 1999, pág. 194.
9. Adasch, Ernst y Keim 1978, págs. 70–73.
10. Gabriyelyan, SS "Sobre espacios topológicos y grupos topológicos con ciertas redes contables locales (2014)

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