Conjunto de bornívoros

Un conjunto que puede absorber cualquier subconjunto acotado

En el análisis funcional , un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo que tiene una bornología vectorial asociada se denomina bornívoro y es bornívoro si absorbe cada elemento de Si es un espacio vectorial topológico (TVS), entonces un subconjunto de es bornívoro si es bornívoro con respecto a la bornología de von-Neumann de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Los conjuntos bornívoros juegan un papel importante en las definiciones de muchas clases de espacios vectoriales topológicos, particularmente espacios bornológicos .

Definiciones

Si es un TVS entonces un subconjunto de se llama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$bornívoro ^[1]y unbornívoro siabsorbecadasubconjunto acotadode ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

Un disco absorbente en un espacio localmente convexo es bornívoro si y sólo si su funcional de Minkowski está acotado localmente (es decir, asigna conjuntos acotados a conjuntos acotados). ^[1]

Conjuntos infrabornívoros y mapas infralimitados

Un mapa lineal entre dos TVS se llamainfralimitado si asignadiscos de Banacha discos delimitados.^[2]

Un disco se llama ${\displaystyle X}$infrabornívoro siabsorbetodoslos discos de Banach.^[3]

Un disco absorbente en un espacio localmente convexo es infrabornívoro si y solo si su funcional de Minkowski está infralimitado. ^[1] Un disco en un espacio localmente convexo de Hausdorff es infrabornívoro si y solo si absorbe todos los discos compactos (es decir, si es "compactívoro "). ^[1]

Propiedades

Cada subconjunto bornívoro e infrabornívoro de un TVS es absorbente . En un TVS pseudometrizable , cada bornívoro es un vecindario del origen. ^[4]

Dos topologías TVS en el mismo espacio vectorial tienen los mismos subconjuntos acotados si y solo si tienen los mismos bornívoros. ^[5]

Supóngase que es un subespacio vectorial de codimensión finita en un espacio localmente convexo y Si es un barril (resp. barril bornívoro, disco bornívoro) en entonces existe un barril (resp. barril bornívoro, disco bornívoro) en tal que ^[6] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq M.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B=C\cap M.}$

Ejemplos y condiciones suficientes

Cada vecindario del origen en un TVS es bornívoro. La envoltura convexa, la envoltura convexa cerrada y la envoltura equilibrada de un conjunto bornívoro son nuevamente bornívoras. La preimagen de un bornívoro bajo una función lineal acotada es un bornívoro. ^[7]

Si es un TVS en el que cada subconjunto acotado está contenido en un subespacio vectorial de dimensión finita, entonces cada conjunto absorbente es un bornívoro. ^[5] ${\displaystyle X}$

Contraejemplos

Sea un espacio vectorial sobre los números reales. Si es la envoltura equilibrada del segmento de recta cerrado entre y entonces no es bornívoro pero la envoltura convexa de sí lo es. Si es el triángulo cerrado y "lleno" con vértices y entonces es un conjunto convexo que no es bornívoro pero su envoltura equilibrada sí lo es. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (-1,-1),(-1,1),}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle T}$

Véase también

• Operador lineal acotado  – Transformación lineal entre espacios vectoriales topológicosPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)  : generalización de la acotación
• Espacio bornológico  : espacio donde los operadores acotados son continuos
• Bornología  – Generalización matemática de la acotación
• Espacio de aplicaciones lineales
• Espacio ultrabornológico
• Bornología vectorial

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011, págs. 441–457.
2. Narici y Beckenstein 2011, pág. 442.
3. Narici y Beckenstein 2011, pág. 443.
4. Narici y Beckenstein 2011, págs. 172-173.
5. Wilansky 2013, pág. 50.
6. Narici y Beckenstein 2011, págs. 371–423.
7. Wilansky 2013, pág. 48.

Bibliografía

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