En lógica de predicados , una cuantificación existencial es un tipo de cuantificador , una constante lógica que se interpreta como "existe", "hay al menos uno" o "para algunos". Generalmente se denota mediante el símbolo del operador lógico ∃, que, cuando se usa junto con una variable predicada, se denomina cuantificador existencial (" ∃ x " o " ∃ ( x ) " o " (∃ x )" [1] ). La cuantificación existencial es distinta de la cuantificación universal ("para todos"), que afirma que la propiedad o relación es válida para todos los miembros del dominio. [2] [3] Algunas fuentes utilizan el término existencialización para referirse a la cuantificación existencial. [4]
Considere una fórmula que establece que algún número natural multiplicado por sí mismo da 25.
0·0 = 25, o 1·1 = 25, o 2·2 = 25, o 3·3 = 25, ...
Esto parecería ser una disyunción lógica debido al uso repetido de "o". Sin embargo, las elipses hacen imposible integrarlo e interpretarlo como una disyunción en la lógica formal . En cambio, la declaración podría reformularse más formalmente como
Para algún número natural n , n · n = 25.
Esta es una afirmación única que utiliza la cuantificación existencial.
Esta afirmación es más precisa que la original, ya que la frase "y así sucesivamente" no incluye necesariamente todos los números naturales y excluye todo lo demás. Y como el dominio no estaba indicado explícitamente, la frase no podía interpretarse formalmente. Sin embargo, en la declaración cuantificada se mencionan explícitamente los números naturales.
Este ejemplo particular es cierto, porque 5 es un número natural, y cuando sustituimos n por 5 , obtenemos "5·5 = 25", lo cual es cierto. No importa que " n · n = 25" sólo sea cierto para un único número natural, 5; incluso la existencia de una única solución es suficiente para demostrar que esta cuantificación existencial es cierta. Por el contrario, "Para algún número par n , n · n = 25" es falso, porque no hay soluciones pares.
El dominio del discurso , que especifica los valores que se le permite tomar a la variable n , es por lo tanto crítico para la veracidad o falsedad de una afirmación. Las conjunciones lógicas se utilizan para restringir el dominio del discurso para cumplir un predicado determinado. Por ejemplo:
Para algún número impar positivo n , n · n = 25
Para algún número natural n , n es impar y n · n = 25.
Aquí, "y" es la conjunción lógica.
En lógica simbólica , "∃" (una letra " E " rotada, en una fuente sans-serif ) se utiliza para indicar cuantificación existencial. [5] Así, si P ( a , b , c ) es el predicado " a · b = c", y es el conjunto de los números naturales, entonces
es la declaración (verdadera)
Para algún número natural n , n · n = 25.
De manera similar, si Q ( n ) es el predicado " n es par", entonces
es la afirmación (falsa)
Para algún número natural n , n es par y n · n = 25.
En matemáticas , la prueba de "algún" enunciado puede lograrse mediante una prueba constructiva , que exhibe un objeto que satisface el enunciado "algunos", o mediante una prueba no constructiva , que muestra que debe existir tal objeto pero sin exhibir uno. .
Una función proposicional cuantificada es un enunciado; por tanto, al igual que los enunciados, las funciones cuantificadas pueden negarse. El símbolo se utiliza para indicar negación.
Por ejemplo, si P ( x ) es el predicado " x es mayor que 0 y menor que 1", entonces, para un dominio del discurso X de todos los números naturales, la cuantificación existencial "Existe un número natural x que es mayor que 0 y menos de 1" se pueden expresar simbólicamente como:
Se puede demostrar que esto es falso. A decir verdad, hay que decir: “No se da el caso de que exista un número natural x que sea mayor que 0 y menor que 1”, o, simbólicamente:
Si no hay ningún elemento del dominio del discurso para el cual la afirmación sea verdadera, entonces debe ser falsa para todos esos elementos. Es decir, la negación de
es lógicamente equivalente a "Para cualquier número natural x , x no es mayor que 0 ni menor que 1", o:
Entonces, en general, la negación de la cuantificación existencial de una función proposicional es una cuantificación universal de la negación de esa función proposicional; simbólicamente,
(Ésta es una generalización de las leyes de De Morgan a la lógica de predicados).
Un error común es decir "no todas las personas están casadas" (es decir, "no existe ninguna persona que esté casada"), cuando lo que se pretende es "no todas las personas están casadas" (es decir, "existe una persona que no está casada") :
La negación también se puede expresar mediante una declaración de "para no", en contraposición a "para algunos":
A diferencia del cuantificador universal, el cuantificador existencial distribuye sobre disyunciones lógicas:
Una regla de inferencia es una regla que justifica un paso lógico desde la hipótesis hasta la conclusión. Existen varias reglas de inferencia que utilizan el cuantificador existencial.
La introducción existencial (∃I) concluye que, si se sabe que la función proposicional es verdadera para un elemento particular del dominio del discurso, entonces debe ser cierto que existe un elemento para el cual la función proposicional es verdadera. Simbólicamente,
La instanciación existencial , cuando se lleva a cabo en una deducción al estilo de Fitch, procede ingresando una nueva subderivación mientras se sustituye un sujeto por una variable existencialmente cuantificada, que no aparece dentro de ninguna subderivación activa. Si se puede llegar a una conclusión dentro de esta subderivación en la que el sujeto sustituido no aparece, entonces se puede salir de esa subderivación con esa conclusión. El razonamiento detrás de la eliminación existencial (∃E) es el siguiente: si se da que existe un elemento para el cual la función de proposición es verdadera, y si se puede llegar a una conclusión dándole a ese elemento un nombre arbitrario, esa conclusión es necesariamente verdadera. , siempre y cuando no contenga el nombre. Simbólicamente, para una c arbitraria y para una proposición Q en la que c no aparece:
debe ser cierto para todos los valores de c en el mismo dominio X ; de lo contrario, la lógica no se sigue: si c no es arbitrario y, en cambio, es un elemento específico del dominio del discurso, entonces afirmar P ( c ) podría dar injustificadamente más información sobre ese objeto.
La fórmula siempre es falsa, independientemente de P ( x ). Esto se debe a que denota el conjunto vacío , y no existe ninguna x de ninguna descripción, y mucho menos una x que cumpla un predicado dado P ( x ), en el conjunto vacío. Consulte también Verdad vacía para obtener más información.
En la teoría de categorías y la teoría de topoi elementales , el cuantificador existencial puede entenderse como el adjunto izquierdo de un funtor entre conjuntos de potencias , el funtor de imagen inversa de una función entre conjuntos; Asimismo, el cuantificador universal es el adjunto derecho . [6]
En Unicode y HTML, los símbolos están codificados U+ 2203 ∃ EXISTE ( ∃, ∃ · como símbolo matemático) y U+2204 ∄ NO EXISTE ( ∄, ∄, ∄ ) .
En TeX , el símbolo se produce con "\exists".
Se cree que el primer uso del símbolo fue por Giuseppe Peano en su libro de lógica matemática y notación Formulario Mathematico de 1896 . Posteriormente, Bertrand Russell popularizó su uso como cuantificador existencial. A través de su investigación en teoría de conjuntos, Peano también introdujo los símbolos y cada uno denota la intersección y unión de conjuntos. [7]
