Segunda cuantificación

Formulación del problema cuántico de muchos cuerpos

La segunda cuantificación , también conocida como representación del número de ocupación , es un formalismo utilizado para describir y analizar sistemas cuánticos de muchos cuerpos . En la teoría cuántica de campos , se conoce como cuantificación canónica , en la que los campos (normalmente como las funciones de onda de la materia) se consideran operadores de campo , de forma similar a cómo se consideran las cantidades físicas (posición, momento, etc.) como operadores en la primera cuantificación . Las ideas clave de este método fueron introducidas en 1927 por Paul Dirac , ^[1] y fueron desarrolladas posteriormente, sobre todo, por Pascual Jordan ^[2] y Vladimir Fock . ^{[3] [4]} En este enfoque, los estados cuánticos de muchos cuerpos se representan en la base de estados de Fock , que se construyen rellenando cada estado de partícula individual con una cierta cantidad de partículas idénticas. ^[5] El formalismo de segunda cuantificación introduce los operadores de creación y aniquilación para construir y manejar los estados de Fock, proporcionando herramientas útiles para el estudio de la teoría cuántica de muchos cuerpos.

Estados cuánticos de muchos cuerpos

El punto de partida del segundo formalismo de cuantificación es la noción de indistinguibilidad de partículas en mecánica cuántica. A diferencia de la mecánica clásica, donde cada partícula está etiquetada por un vector de posición distinto y las diferentes configuraciones del conjunto de s corresponden a diferentes estados de muchos cuerpos, en mecánica cuántica, las partículas son idénticas, de modo que el intercambio de dos partículas, es decir , no conduce a un estado cuántico de muchos cuerpos diferente . Esto implica que la función de onda cuántica de muchos cuerpos debe ser invariante (hasta un factor de fase) bajo el intercambio de dos partículas. Según las estadísticas de las partículas, la función de onda de muchos cuerpos puede ser simétrica o antisimétrica bajo el intercambio de partículas: ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\leftrightarrow \mathbf {r} _{j}}$

${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=+\Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$Si las partículas son bosones ,

${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=-\Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$Si las partículas son fermiones .

Esta propiedad de simetría de intercambio impone una restricción a la función de onda de muchos cuerpos. Cada vez que se añade o se elimina una partícula del sistema de muchos cuerpos, la función de onda debe estar correctamente simetrizada o antisimetrizada para satisfacer la restricción de simetría. En el primer formalismo de cuantificación, esta restricción se garantiza al representar la función de onda como una combinación lineal de permanentes (para bosones) o determinantes (para fermiones) de estados de una sola partícula. En el segundo formalismo de cuantificación, la cuestión de la simetrización se soluciona automáticamente mediante los operadores de creación y aniquilación, de modo que su notación puede ser mucho más sencilla.

Función de onda de muchos cuerpos cuantificada por primera vez

Consideremos un conjunto completo de funciones de onda de partículas individuales etiquetadas por (que puede ser un índice combinado de varios números cuánticos). La siguiente función de onda ${\displaystyle \psi _{\alpha }(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \Psi [\mathbf {r} _{i}]=\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{i}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{N}}}$

representa un estado de N partículas con la i -ésima partícula ocupando el estado de partícula única . En la notación abreviada, el argumento de posición de la función de onda puede omitirse, y se supone que la i -ésima función de onda de partícula única describe el estado de la i- ésima partícula. La función de onda no ha sido simetrizada o antisimetrizada, por lo que en general no se califica como una función de onda de muchos cuerpos para partículas idénticas. Sin embargo, se puede llevar a la forma simetrizada (antisimetrizada) mediante operadores para simetrizador y para antisimetrizador . ${\displaystyle |{\alpha _{i}}\rangle }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Para los bosones, la función de onda de muchos cuerpos debe estar simetrizada,

${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {S}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}};}$

Mientras que para los fermiones, la función de onda de muchos cuerpos debe ser antisimetrizada,

${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {A}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}}.}$

Aquí hay un elemento en el grupo de permutación de N cuerpos (o grupo simétrico ) , que realiza una permutación entre las etiquetas de estado y denota el signo de permutación correspondiente . es el operador de normalización que normaliza la función de onda. (Es el operador que aplica un factor de normalización numérica adecuado a los tensores simetrizados de grado n ; consulte la siguiente sección para conocer su valor). ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle S_{N}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle (-1)^{\pi }}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Si uno organiza las funciones de onda de una sola partícula en una matriz , de modo que el elemento de la matriz fila -i- columna -j sea , entonces la función de onda de muchos cuerpos del bosón puede escribirse simplemente como un permanente , y la función de onda de muchos cuerpos del fermión como un determinante (también conocido como el determinante de Slater ). ^[6] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{ij}=\psi _{\alpha _{j}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \langle \mathbf {r} _{i}|\alpha _{j}\rangle }$ ${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}={\mathcal {N}}\operatorname {perm} U}$ ${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}={\mathcal {N}}\det U}$

Estados de Fock cuantificados en segundo lugar

Las funciones de onda cuantificadas por primera vez implican procedimientos de simetrización complicados para describir estados de muchos cuerpos físicamente realizables porque el lenguaje de la primera cuantificación es redundante para partículas indistinguibles. En el lenguaje de la primera cuantificación, el estado de muchos cuerpos se describe respondiendo a una serie de preguntas como "¿Qué partícula está en qué estado?" . Sin embargo, estas no son preguntas físicas, porque las partículas son idénticas y es imposible decir qué partícula es cuál en primer lugar. Los estados aparentemente diferentes son en realidad nombres redundantes del mismo estado cuántico de muchos cuerpos. Por lo tanto, se debe introducir la simetrización (o antisimetrización) para eliminar esta redundancia en la descripción de la primera cuantificación. ${\displaystyle \psi _{1}\otimes \psi _{2}}$ ${\displaystyle \psi _{2}\otimes \psi _{1}}$

En el segundo lenguaje de cuantificación, en lugar de preguntar "en qué estado se encuentra cada partícula", se pregunta "¿cuántas partículas hay en cada estado?" . Como esta descripción no se refiere al etiquetado de partículas, no contiene información redundante y, por lo tanto, conduce a una descripción precisa y más simple del estado cuántico de muchos cuerpos. En este enfoque, el estado de muchos cuerpos se representa en la base del número de ocupación, y el estado base se etiqueta mediante el conjunto de números de ocupación, denotado

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle \equiv |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{\alpha },\cdots \rangle ,}$

lo que significa que hay partículas en estado de partícula única (o como ). Los números de ocupación suman el número total de partículas, es decir . Para los fermiones , el número de ocupación solo puede ser 0 o 1, debido al principio de exclusión de Pauli ; mientras que para los bosones puede ser cualquier número entero no negativo ${\displaystyle n_{\alpha }}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\textstyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }=N}$ ${\displaystyle n_{\alpha }}$

${\displaystyle n_{\alpha }={\begin{cases}0,1&{\text{fermions,}}\\0,1,2,3,...&{\text{bosons.}}\end{cases}}}$

Los estados de ocupación también se conocen como estados de Fock. Todos los estados de Fock forman una base completa del espacio de Hilbert de muchos cuerpos, o espacio de Fock . Cualquier estado cuántico genérico de muchos cuerpos se puede expresar como una combinación lineal de estados de Fock. ${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle }$

Nótese que además de proporcionar un lenguaje más eficiente, el espacio de Fock permite un número variable de partículas. Como espacio de Hilbert , es isomorfo a la suma de los espacios tensoriales bosónicos o fermiónicos de n partículas descritos en la sección anterior, incluido un espacio unidimensional de cero partículas C .

El estado de Fock con todos los números de ocupación iguales a cero se denomina estado de vacío , denotado . El estado de Fock con un solo número de ocupación distinto de cero es un estado de Fock monomodo, denotado . En términos de la primera función de onda cuantificada, el estado de vacío es el producto tensorial unitario y puede denotarse . El estado de una sola partícula se reduce a su función de onda . Otros estados monomodo de muchos cuerpos (bosones) son simplemente el producto tensorial de la función de onda de ese modo, como y . Para los estados de Fock multimodo (lo que significa que está involucrado más de un estado de una sola partícula), la función de onda cuantificada primero correspondiente requerirá una simetrización adecuada de acuerdo con las estadísticas de partículas, por ejemplo, para un estado de bosón, y para un estado de fermión (el símbolo entre y se omite para simplificar). En general, se encuentra que la normalización es , donde N es el número total de partículas. Para el fermión, esta expresión se reduce a como solo puede ser cero o uno. Por lo tanto, la función de onda cuantificada inicial correspondiente al estado de Fock se lee ${\displaystyle |0\rangle \equiv |\cdots ,0_{\alpha },\cdots \rangle }$ ${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle \equiv |\cdots ,0,n_{\alpha },0,\cdots \rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle =1}$ ${\displaystyle |1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle |2_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }^{\otimes n}}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \psi _{1}}$ ${\displaystyle \psi _{2}}$ ${\textstyle {\sqrt {{\prod _{\alpha }n_{\alpha }!}/{N!}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {N!}}}}$ ${\displaystyle n_{\alpha }}$

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {B}}=\left({\frac {\prod _{\alpha }n_{\alpha }!}{N!}}\right)^{1/2}{\mathcal {S}}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}}$

para bosones y

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {F}}={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\mathcal {A}}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}}$

para fermiones. Nótese que solo para fermiones, por lo que el producto tensorial anterior es efectivamente solo un producto sobre todos los estados de partícula única ocupados. ${\displaystyle n_{\alpha }=0,1}$

Operadores de creación y aniquilación

Los operadores de creación y aniquilación se introducen para añadir o eliminar una partícula del sistema de muchos cuerpos. Estos operadores se encuentran en el núcleo del formalismo de segunda cuantificación, cerrando la brecha entre los estados de primera y segunda cuantificación. La aplicación del operador de creación (aniquilación) a una función de onda de muchos cuerpos de primera cuantificación insertará (eliminará) un estado de partícula única de la función de onda de una manera simetrizada dependiendo de las estadísticas de la partícula. Por otro lado, todos los estados de Fock de segunda cuantificación se pueden construir aplicando los operadores de creación al estado de vacío repetidamente.

Los operadores de creación y aniquilación (para bosones) se construyen originalmente en el contexto del oscilador armónico cuántico como operadores de elevación y descenso, que luego se generalizan a los operadores de campo en la teoría cuántica de campos. ^[7] Son fundamentales para la teoría cuántica de muchos cuerpos, en el sentido de que cada operador de muchos cuerpos (incluido el hamiltoniano del sistema de muchos cuerpos y todos los observables físicos) se puede expresar en términos de ellos.

Operación de inserción y eliminación

La creación y aniquilación de una partícula se implementa mediante la inserción y eliminación del estado de partícula única de la primera función de onda cuantificada de manera simétrica o antisimétrica. Sea un estado de partícula única, sea 1 la identidad tensorial (es el generador del espacio de partícula cero C y satisface en el álgebra tensorial sobre el espacio de Hilbert fundamental), y sea un estado de producto tensorial genérico. Los operadores de inserción y eliminación son operadores lineales definidos por las siguientes ecuaciones recursivas ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }\equiv 1\otimes \psi _{\alpha }\equiv \psi _{\alpha }\otimes 1}$ ${\displaystyle \Psi =\psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots }$ ${\displaystyle \otimes _{\pm }}$ ${\displaystyle \oslash _{\pm }}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }1=\psi _{\alpha },\quad \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\beta }\otimes \Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\otimes _{\pm }\Psi );}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }1=0,\quad \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\delta _{\alpha \beta }\Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\oslash _{\pm }\Psi ).}$

Aquí se muestra el símbolo delta de Kronecker , que da 1 si , y 0 en caso contrario. El subíndice de los operadores de inserción o eliminación indica si se implementa simetrización (para bosones) o antisimetrización (para fermiones). ${\displaystyle \delta _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$ ${\displaystyle \pm }$

Operadores de creación y aniquilación de bosones

El operador de creación (o aniquilación) de bosones se suele denotar como (o ). El operador de creación añade un bosón al estado de partícula única y el operador de aniquilación elimina un bosón del estado de partícula única . Los operadores de creación y aniquilación son conjugados hermíticos entre sí, pero ninguno de ellos es operador hermítico ( ). ${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$ ${\displaystyle b_{\alpha }}$ ${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle b_{\alpha }}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle b_{\alpha }\neq b_{\alpha }^{\dagger }}$

Definición

El operador de creación (aniquilación) de bosones es un operador lineal, cuya acción sobre una función de onda cuantificada primero de N partículas se define como ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\Psi ,}$

${\displaystyle b_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\Psi ,}$

donde inserta el estado de partícula única en posibles posiciones de inserción de forma simétrica y elimina el estado de partícula única de posibles posiciones de eliminación de forma simétrica. ${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{+}}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{+}}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle N}$

Ejemplos

En adelante, se omite el símbolo tensorial entre estados de partículas individuales para simplificar. Tome el estado , cree un bosón más en el estado , ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \psi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}b_{1}^{\dagger }|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(b_{1}^{\dagger }\psi _{1}\psi _{2}+b_{1}^{\dagger }\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{1}\psi _{2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\\=&{\sqrt {2}}|2_{1},1_{2}\rangle .\end{array}}}$

Luego aniquilar un bosón del estado , ${\displaystyle \psi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}b_{1}|2_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {3}}}(b_{1}\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+b_{1}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+b_{1}\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}+0)+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{2}\psi _{1}+0+\psi _{1}\psi _{2})+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(0+\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1})\right)\\=&\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1}\\=&{\sqrt {2}}|1_{1},1_{2}\rangle .\end{array}}}$

Acción sobre los estados de Fock

Partiendo del estado de vacío monomodo , al aplicar repetidamente el operador de creación , se encuentra ${\displaystyle |0_{\alpha }\rangle =1}$ ${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{+}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }+1)}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}|n_{\alpha }+1\rangle .}$

El operador de creación eleva el número de ocupación del bosón en 1. Por lo tanto, todos los estados de número de ocupación pueden construirse mediante el operador de creación de bosones a partir del estado de vacío.

${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }!}}}(b_{\alpha }^{\dagger })^{n_{\alpha }}|0_{\alpha }\rangle .}$

Por otro lado, el operador de aniquilación reduce el número de ocupación del bosón en 1. ${\displaystyle b_{\alpha }}$

${\displaystyle b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }-1)}={\sqrt {n_{\alpha }}}|n_{\alpha }-1\rangle .}$

También extinguirá el estado de vacío , ya que no quedó ningún bosón en el estado de vacío para ser aniquilado. Utilizando las fórmulas anteriores, se puede demostrar que ${\displaystyle b_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle =0}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ,}$

significado que define el operador del número bosónico. ${\displaystyle {\hat {n}}_{\alpha }=b_{\alpha }^{\dagger }b_{\alpha }}$

El resultado anterior puede generalizarse a cualquier estado de Fock de bosones.

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }+1}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }+1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

${\displaystyle b_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }-1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

Estas dos ecuaciones pueden considerarse como las propiedades definitorias de los operadores de creación y aniquilación de bosones en el formalismo de segunda cuantificación. La complicada simetrización de la función de onda de primera cuantificación subyacente es atendida automáticamente por los operadores de creación y aniquilación (cuando actúan sobre la función de onda de primera cuantificación), de modo que la complejidad no se revela en el segundo nivel de cuantificación y las fórmulas de segunda cuantificación son simples y claras.

Identidades del operador

Las siguientes identidades de operador se derivan de la acción de los operadores de creación y aniquilación de bosones en el estado de Fock,

${\displaystyle [b_{\alpha }^{\dagger },b_{\beta }^{\dagger }]=[b_{\alpha },b_{\beta }]=0,\quad [b_{\alpha },b_{\beta }^{\dagger }]=\delta _{\alpha \beta }.}$

Estas relaciones de conmutación pueden considerarse como la definición algebraica de los operadores de creación y aniquilación de bosones. El hecho de que la función de onda de muchos cuerpos de bosones sea simétrica en condiciones de intercambio de partículas también se manifiesta por la conmutación de los operadores de bosones.

Los operadores de elevación y descenso del oscilador armónico cuántico también satisfacen el mismo conjunto de relaciones de conmutación, lo que implica que los bosones pueden interpretarse como los cuantos de energía (fonones) de un oscilador. Los operadores de posición y momento de un oscilador armónico (o una colección de modos de oscilación armónicos) están dados por combinaciones hermíticas de operadores de creación y aniquilación de fonones,

${\displaystyle x_{\alpha }=(b_{\alpha }+b_{\alpha }^{\dagger })/{\sqrt {2}},\quad p_{\alpha }=(b_{\alpha }-b_{\alpha }^{\dagger })/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),}$

que reproducen la relación de conmutación canónica entre los operadores de posición y momento (con ) ${\displaystyle \hbar =1}$

${\displaystyle [x_{\alpha },p_{\beta }]=\mathrm {i} \delta _{\alpha \beta },\quad [x_{\alpha },x_{\beta }]=[p_{\alpha },p_{\beta }]=0.}$

Esta idea se generaliza en la teoría cuántica de campos , que considera cada modo del campo de materia como un oscilador sujeto a fluctuaciones cuánticas, y los bosones son tratados como las excitaciones (o cuantos de energía) del campo.

Operadores de creación y aniquilación de fermiones

El operador de creación (aniquilación) de fermiones se suele denotar como ( ). El operador de creación añade un fermión al estado de partícula única , y el operador de aniquilación elimina un fermión del estado de partícula única . ${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$ ${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

Definición

El operador de creación (aniquilación) de fermiones es un operador lineal, cuya acción sobre una función de onda cuantificada primero de N partículas se define como ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\Psi ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{-}\Psi ,}$

donde inserta el estado de partícula única en posibles posiciones de inserción de forma antisimétrica, y elimina el estado de partícula única de posibles posiciones de eliminación de forma antisimétrica. ${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{-}}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{-}}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle N}$

Resulta particularmente instructivo observar los resultados de los operadores de creación y aniquilación en estados de dos (o más) fermiones, porque demuestran los efectos del intercambio. En el ejemplo siguiente se ofrecen algunas operaciones ilustrativas. El álgebra completa para los operadores de creación y aniquilación en un estado de dos fermiones se puede encontrar en Fotónica cuántica . ^[8]

Ejemplos

En adelante, se omite el símbolo tensorial entre estados de una sola partícula para simplificar. Tome el estado , intente crear un fermión más en el estado ocupado para apagar toda la función de onda de muchos cuerpos. ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \psi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}c_{1}^{\dagger }|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(c_{1}^{\dagger }\psi _{1}\psi _{2}-c_{1}^{\dagger }\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{1}\psi _{2}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}-\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&0.\end{array}}}$

Aniquilar un fermión en el estado, tomar el estado , ${\displaystyle \psi _{2}}$ ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}c_{2}|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(c_{2}\psi _{1}\psi _{2}-c_{2}\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{1}\psi _{2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}(0-\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}-0)\right)\\=&-\psi _{1}\\=&-|1_{1},0_{2}\rangle .\end{array}}}$

El signo menos (conocido como signo fermiónico) aparece debido a la propiedad antisimétrica de la función de onda del fermión.

Acción sobre los estados de Fock

Partiendo del estado de vacío monomodo , aplicando el operador de creación de fermiones , ${\displaystyle |0_{\alpha }\rangle =1}$ ${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{-}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|1_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\psi _{\alpha }=0.}$

Si el estado de una sola partícula está vacío, el operador de creación llenará el estado con un fermión. Sin embargo, si el estado ya está ocupado por un fermión, la aplicación posterior del operador de creación apagará el estado, lo que demuestra el principio de exclusión de Pauli de que dos fermiones idénticos no pueden ocupar el mismo estado simultáneamente. No obstante, el fermión puede ser eliminado del estado ocupado por el operador de aniquilación de fermiones . ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$

${\displaystyle c_{\alpha }|1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\oslash _{-}\psi _{\alpha }=1=|0_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle =0.}$

El estado de vacío se extingue mediante la acción del operador de aniquilación.

De manera similar al caso del bosón, el estado de Fock del fermión se puede construir a partir del estado de vacío utilizando el operador de creación de fermiones.

${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle =(c_{\alpha }^{\dagger })^{n_{\alpha }}|0_{\alpha }\rangle .}$

Es fácil comprobar (mediante enumeración) que

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ,}$

significado que define el operador del número fermión. ${\displaystyle {\hat {n}}_{\alpha }=c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }}$

El resultado anterior se puede generalizar a cualquier estado de Fock de fermiones.

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {1-n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },1+n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .}$^[9]

${\displaystyle c_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },1-n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

Recordemos que el número de ocupación solo puede tomar 0 o 1 para los fermiones. Estas dos ecuaciones pueden considerarse como las propiedades definitorias de los operadores de creación y aniquilación de fermiones en el segundo formalismo de cuantificación. Nótese que la estructura de signo de fermiones , también conocida como la cadena de Jordan-Wigner , requiere que exista un ordenamiento predefinido de los estados de una sola partícula (la estructura de espín ) ^{[ aclaración necesaria ] e implica un conteo de los números de ocupación de fermiones de todos los estados anteriores; por lo tanto, los operadores de creación y aniquilación de fermiones se consideran no locales en cierto sentido. Esta observación conduce a la idea de que los fermiones son partículas emergentes en el sistema} de cúbits locales entrelazados de largo alcance . ^[10] ${\displaystyle n_{\alpha }}$ ${\displaystyle (-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}}$

Identidades del operador

Las siguientes identidades de operador se derivan de la acción de los operadores de creación y aniquilación de fermiones en el estado de Fock,

${\displaystyle \{c_{\alpha }^{\dagger },c_{\beta }^{\dagger }\}=\{c_{\alpha },c_{\beta }\}=0,\quad \{c_{\alpha },c_{\beta }^{\dagger }\}=\delta _{\alpha \beta }.}$

Estas relaciones de anticonmutación pueden considerarse como la definición algebraica de los operadores de creación y aniquilación de fermiones. El hecho de que la función de onda de muchos cuerpos de los fermiones sea antisimétrica en condiciones de intercambio de partículas también se manifiesta por la anticonmutación de los operadores de fermiones.

Los operadores de creación y aniquilación son conjugados hermíticos entre sí, pero ninguno de ellos es operador hermítico ( ). La combinación hermítica de los operadores de creación y aniquilación de fermiones ${\displaystyle c_{\alpha }\neq c_{\alpha }^{\dagger }}$

${\displaystyle \chi _{\alpha ,{\text{Re}}}=(c_{\alpha }+c_{\alpha }^{\dagger })/{\sqrt {2}},\quad \chi _{\alpha ,{\text{Im}}}=(c_{\alpha }-c_{\alpha }^{\dagger })/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),}$

Se denominan operadores fermiónicos de Majorana . Pueden considerarse el análogo fermiónico de los operadores de posición y momento de un oscilador armónico "fermiónico". Satisfacen la relación de anticonmutación.

${\displaystyle \{\chi _{i},\chi _{j}\}=\delta _{ij},}$

donde etiqueta a cualquier operador fermiónico de Majorana en igualdad de condiciones (sin importar su origen a partir de la combinación Re o Im de operadores fermiónicos complejos ). La relación de anticonmutación indica que los operadores fermiónicos de Majorana generan un álgebra de Clifford , que puede representarse sistemáticamente como operadores de Pauli en el espacio de Hilbert de muchos cuerpos. ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$

Operadores de campo cuántico

Al definir como un operador de aniquilación (creación) general para un estado de partícula única que podría ser fermiónico o bosónico , la representación espacial real de los operadores define los operadores de campo cuántico y por ${\displaystyle a_{\nu }^{\dagger }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (c_{\nu }^{\dagger })}$ ${\displaystyle (b_{\nu }^{\dagger })}$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)a_{\nu }}$

${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)a_{\nu }^{\dagger }}$

Se trata de operadores de segunda cuantificación, con coeficientes y que son funciones de onda de primera cuantificación ordinarias . Así, por ejemplo, cualquier valor esperado será una función de onda de primera cuantificación ordinaria. En términos generales, es la suma de todas las formas posibles de añadir una partícula al sistema en la posición r a través de cualquiera de los estados base , no necesariamente ondas planas, como se muestra a continuación. ${\displaystyle \psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)}$ ${\displaystyle \psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)}$ ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)}$

Puesto que y son operadores de segunda cuantificación definidos en cada punto del espacio, se denominan operadores de campo cuántico . Obedecen las siguientes relaciones fundamentales de conmutador y anticonmutador: ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \left[\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\right]=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$campos de bosones,

${\displaystyle \{\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\}=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$campos fermiónicos.

Para sistemas homogéneos, a menudo es deseable transformar entre el espacio real y las representaciones del momento, por lo tanto, los operadores de campos cuánticos en la base de Fourier dan como resultado:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k\cdot r} }a_{\mathbf {k} }}$

${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k\cdot r} }a_{\mathbf {k} }^{\dagger }}$

Comentario sobre la nomenclatura

El término "segunda cuantificación", introducido por Jordan ^[11] , es un nombre inapropiado que ha persistido por razones históricas. En el origen de la teoría cuántica de campos, se pensó equivocadamente que la ecuación de Dirac describía una función de onda relativista (de ahí la interpretación obsoleta del "mar de Dirac"), en lugar de un campo de espinores clásico que, al cuantificarse (como el campo escalar), generaba un campo cuántico fermiónico (en lugar de un campo cuántico bosónico).

No se está cuantificando "de nuevo", como podría sugerir el término "segundo"; el campo que se está cuantificando no es una función de onda de Schrödinger que se produjo como resultado de la cuantificación de una partícula, sino un campo clásico (como el campo electromagnético o el campo de espinores de Dirac ), esencialmente un conjunto de osciladores acoplados, que no se había cuantificado previamente. Se está simplemente cuantificando cada oscilador de este conjunto, pasando de un tratamiento semiclásico del sistema a uno completamente mecánico-cuántico.

Véase también

• Cuantización canónica
• Primera cuantificación
• Cuantización geométrica
• Cuantización (física)
• Funcional de Schrödinger
• Teoría de campos escalares

Referencias

1. Dirac, Paul Adrien Maurice (1927). "La teoría cuántica de la emisión y absorción de la radiación". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico . 114 (767): 243–265. Bibcode :1927RSPSA.114..243D. doi : 10.1098/rspa.1927.0039 .
2. Jordán, Pascual; Wigner, Eugenio (1928). "Über das Paulische Äquivalenzverbot". Zeitschrift für Physik (en alemán). 47 (9): 631–651. Código bibliográfico : 1928ZPhy...47..631J. doi :10.1007/bf01331938. S2CID  126400679.
3. Fock, Vladimir Alexandrovich (1932). "Konfigurationsraum und zweite Quantelung". Zeitschrift für Physik (en alemán). 75 (9–10): 622–647. Código Bib : 1932ZPhy...75..622F. doi :10.1007/bf01344458. S2CID  186238995.
4. Reed, Michael ; Simon, Barry (1975). Métodos de física matemática moderna. Volumen II: Análisis de Fourier, autoadjunción . San Diego: Academic Press. p. 328. ISBN 9780080925370.
5. Becchi, Carlo María (2010). "Segunda cuantificación". Scholarpedia . 5 (6): 7902. Código bibliográfico : 2010SchpJ...5.7902B. doi : 10.4249/scholarpedia.7902 .
6. Koch, Erik (2013). "Estados de muchos electrones". En Pavarini, Eva; Koch, Erik; Schollwöck, Ulrich (eds.). Fenómenos emergentes en materia correlacionada. Modelado y Simulación. vol. 3. Jülich: Verlag des Forschungszentrum Jülich. págs. 2,1 a 2,26. hdl :2128/5389. ISBN 978-3-89336-884-6.
7. Mahan, Gerald D. (2000). Many-Particle Physics . Física de sólidos y líquidos (3.ª ed.). Nueva York: Springer. doi :10.1007/978-1-4757-5714-9. ISBN 978-1-4757-5714-9.
8. Pearsall, Thomas P. (2020). Fotónica cuántica . Textos de posgrado en física (2.ª ed.). Cham, Suiza: Springer. pp. 301–302. Bibcode :2020quph.book.....P. doi :10.1007/978-3-030-47325-9. ISBN 978-3-030-47325-9.
9. Libro "Modelos nucleares" de Greiner y Maruhn p53 ecuación 3.47: http://xn--webducation-dbb.com/wp-content/uploads/2019/02/Walter-Greiner-Joachim-A.-Maruhn-DA-Bromley-Nuclear-Models-Springer-Verlag-1996.pdf
10. Levin, M.; Wen, XG (2003). "Fermiones, cuerdas y campos de calibración en modelos de espín reticular". Physical Review B . 67 (24): 245316. arXiv : cond-mat/0302460 . Código Bibliográfico :2003PhRvB..67x5316L. doi :10.1103/PhysRevB.67.245316. S2CID  29180411.
11. Todorov, Ivan (2012). "La cuantificación es un misterio". Revista búlgara de física . 39 (2): 107–149. arXiv : 1206.3116 .