Sección (haz de fibras)

Una sección de un haz . Una sección permite identificar el espacio base con un subespacio de . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma (B)}$ ${\displaystyle E}$

Un campo vectorial en . Una sección de un fibrado vectorial tangente es un campo vectorial. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Un haz vectorial sobre una base con sección . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$

En el campo matemático de la topología , una sección (o sección transversal ) ^[1] de un haz de fibras es una función continua inversa a la derecha de la función de proyección . En otras palabras, si es un haz de fibras sobre un espacio base , : ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \pi \colon E\to B}$

Entonces una sección de ese haz de fibras es un mapa continuo ,

${\displaystyle \sigma \colon B\to E}$

de tal manera que

${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$Para todos . ${\displaystyle x\in B}$

Una sección es una caracterización abstracta de lo que significa ser un gráfico . El gráfico de una función se puede identificar con una función que toma sus valores en el producto cartesiano de y : ${\displaystyle g\colon B\to Y}$ ${\displaystyle E=B\times Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \sigma \colon B\to E,\quad \sigma (x)=(x,g(x))\in E.}$

Sea la proyección sobre el primer factor: . Entonces un gráfico es cualquier función para la cual . ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ${\displaystyle \pi (x,y)=x}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$

El lenguaje de los haces de fibras permite que esta noción de sección se generalice al caso en que no es necesariamente un producto cartesiano. Si es un haz de fibras, entonces una sección es una elección de punto en cada una de las fibras. La condición simplemente significa que la sección en un punto debe estar sobre . (Ver imagen.) ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ${\displaystyle \sigma (x)}$ ${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Por ejemplo, cuando un fibrado vectorial es una sección de es un elemento del espacio vectorial que se encuentra sobre cada punto . En particular, un campo vectorial en una variedad suave es una elección de vector tangente en cada punto de : esta es una sección del fibrado tangente de . Del mismo modo, una 1-forma en es una sección del fibrado cotangente . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Las secciones, particularmente de fibrados principales y fibrados vectoriales, también son herramientas muy importantes en geometría diferencial . En este contexto, el espacio base es una variedad suave y se supone que es un fibrado suave sobre (es decir, es una variedad suave y es una función suave ). En este caso, se considera el espacio de secciones suaves de sobre un conjunto abierto , denotado . También es útil en el análisis geométrico considerar espacios de secciones con regularidad intermedia (por ejemplo, secciones, o secciones con regularidad en el sentido de las condiciones de Hölder o espacios de Sobolev ). ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi \colon E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U,E)}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Secciones locales y globales

Los fibrados no tienen en general tales secciones globales (consideremos, por ejemplo, el fibrado sobre con fibra obtenido tomando el fibrado de Möbius y eliminando la sección cero), por lo que también es útil definir secciones solo localmente. Una sección local de un fibrado es una función continua donde es un conjunto abierto en y para todo en . Si es una trivialización local de , donde es un homeomorfismo de a (donde es la fibra ), entonces siempre existen secciones locales sobre en correspondencia biyectiva con funciones continuas de a . Las secciones (locales) forman un haz sobre llamado haz de secciones de . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle F=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle s\colon U\to E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi (s(x))=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U\times F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E}$

El espacio de secciones continuas de un haz de fibras a veces se denota como , mientras que el espacio de secciones globales de a menudo se denota como o . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C(U,E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \Gamma (B,E)}$

Extendiéndose a secciones globales

Las secciones se estudian en la teoría de homotopía y topología algebraica , donde uno de los objetivos principales es dar cuenta de la existencia o no de secciones globales . Una obstrucción niega la existencia de secciones globales ya que el espacio está demasiado "retorcido". Más precisamente, las obstrucciones "obstruyen" la posibilidad de extender una sección local a una sección global debido a la "retorsión" del espacio. Las obstrucciones se indican mediante clases características particulares , que son clases cohomológicas. Por ejemplo, un fibrado principal tiene una sección global si y solo si es trivial . Por otro lado, un fibrado vectorial siempre tiene una sección global, a saber, la sección cero . Sin embargo, solo admite una sección que no se desvanece en ninguna parte si su clase de Euler es cero.

Generalizaciones

Las obstrucciones a la extensión de secciones locales pueden generalizarse de la siguiente manera: tomemos un espacio topológico y formemos una categoría cuyos objetos sean subconjuntos abiertos y los morfismos sean inclusiones. Por lo tanto, utilizamos una categoría para generalizar un espacio topológico. Generalizamos la noción de "sección local" utilizando haces de grupos abelianos , que asignan a cada objeto un grupo abeliano (análogo a las secciones locales).

Aquí hay una distinción importante: intuitivamente, las secciones locales son como "campos vectoriales" en un subconjunto abierto de un espacio topológico. Por lo tanto, en cada punto se asigna un elemento de un espacio vectorial fijo . Sin embargo, los haces pueden "cambiar continuamente" el espacio vectorial (o, de manera más general, el grupo abeliano).

Todo este proceso es en realidad el funtor de sección global , que asigna a cada haz su sección global. Luego, la cohomología de haces nos permite considerar un problema de extensión similar mientras "varíamos continuamente" el grupo abeliano. La teoría de clases características generaliza la idea de obstrucciones a nuestras extensiones.

Véase también

• Sección (teoría de categorías)
• Fibración
• Teoría de calibre (matemáticas)
• Paquete principal
• Paquete de retroceso
• Paquete de vectores

Notas

1. Husemöller, Dale (1994), Haces de fibras , Springer Verlag, pág. 12, ISBN 0-387-94087-1

Referencias

• Norman Steenrod , La topología de los haces de fibras , Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6 . 
• David Bleecker, Teoría de calibre y principios variacionales , Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7 . 
• Husemöller, Dale (1994), Paquetes de fibras , Springer Verlag, ISBN 0-387-94087-1

Enlaces externos

• Paquete de fibra, PlanetMath
• Weisstein, Eric W. "Haz de fibras". MathWorld .