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Continuidad de Lipschitz

Para una función continua de Lipschitz, existe un cono doble (blanco) cuyo origen se puede mover a lo largo del gráfico de modo que todo el gráfico siempre quede fuera del cono doble.

En análisis matemático , la continuidad de Lipschitz , llamada así por el matemático alemán Rudolf Lipschitz , es una forma fuerte de continuidad uniforme para funciones . Intuitivamente, una función continua de Lipschitz está limitada en la velocidad a la que puede cambiar: existe un número real tal que, para cada par de puntos en el gráfico de esta función, el valor absoluto de la pendiente de la línea que los conecta no es mayor que este número real; el límite más pequeño de este tipo se llama constante de Lipschitz de la función (y está relacionado con el módulo de continuidad uniforme ). Por ejemplo, toda función que esté definida en un intervalo y tenga una primera derivada acotada es continua de Lipschitz. [1]

En la teoría de ecuaciones diferenciales , la continuidad de Lipschitz es la condición central del teorema de Picard-Lindelöf , que garantiza la existencia y unicidad de la solución a un problema de valor inicial . Un tipo especial de continuidad de Lipschitz, llamada contracción , se utiliza en el teorema de punto fijo de Banach . [2]

Tenemos la siguiente cadena de inclusiones estrictas para funciones sobre un intervalo no trivial cerrado y acotado de la recta real:

Continuamente diferenciable Lipschitz continua - Hölder continua ,

donde también tenemos

Lipschitz continuoabsolutamente continuouniformemente continuo .

Definiciones

Dados dos espacios métricos ( X , d X ) y ( Y , d Y ), donde d X denota la métrica en el conjunto X y d Y es la métrica en el conjunto Y , una función f  : XY se llama Lipschitz continua si existe una constante real K ≥ 0 tal que, para todo x 1 y x 2 en X ,

[3]

Cualquier K de este tipo se denomina constante de Lipschitz para la función f y f también puede denominarse K-Lipschitz . La constante más pequeña a veces se denomina constante de Lipschitz (mejor) [4] de f o la dilatación o dilatación [5] : p. 9, Definición 1.4.1  [6] [7] de f . Si K = 1 la función se denomina función de mapa corto , y si 0 ≤ K < 1 y f mapea un espacio métrico a sí misma, la función se denomina contracción .

En particular, una función de valor real f  : RR se llama Lipschitz continua si existe una constante real positiva K tal que, para todos los x 1 y x 2 reales ,

En este caso, Y es el conjunto de números reales R con la métrica estándar d Y ( y 1 , y 2 ) = | y 1y 2 |, y X es un subconjunto de R .

En general, la desigualdad se satisface (trivialmente) si x 1 = x 2 . De lo contrario, se puede definir de manera equivalente una función como Lipschitz continua si y solo si existe una constante K ≥ 0 tal que, para todo x 1x 2 ,

Para funciones de valores reales de varias variables reales, esto se cumple si y solo si el valor absoluto de las pendientes de todas las líneas secantes está acotado por K. El conjunto de líneas de pendiente K que pasan por un punto en el gráfico de la función forma un cono circular, y una función es Lipschitz si y solo si el gráfico de la función en todas partes se encuentra completamente fuera de este cono (ver figura).

Una función se denomina localmente Lipschitz continua si para cada x en X existe un entorno U de x tal que f restringida a U es Lipschitz continua. De manera equivalente, si X es un espacio métrico localmente compacto , entonces f es localmente Lipschitz si y solo si es Lipschitz continua en cada subconjunto compacto de X. En espacios que no son localmente compactos, esta es una condición necesaria pero no suficiente.

De manera más general, se dice que una función f definida en X es continua de Hölder o que satisface una condición de Hölder de orden α > 0 en X si existe una constante M ≥ 0 tal que

para todos los x e y en X . A veces, una condición de Hölder de orden α también se denomina condición de Lipschitz uniforme de orden α > 0.

Para un número real K ≥ 1, si

entonces f se llama K -bilipschitz (también escrito K -bi-Lipschitz ). Decimos que f es bilipschitz o bi-Lipschitz para indicar que existe tal K. Una función bilipschitz es inyectiva y, de hecho, es un homeomorfismo sobre su imagen. Una función bilipschitz es lo mismo que una función Lipschitz inyectiva cuya función inversa también es Lipschitz.

Ejemplos

Funciones continuas de Lipschitz que son diferenciables en todas partes
  • La función definida para todos los números reales es Lipschitz continua con la constante de Lipschitz K  = 1, porque es diferenciable en todas partes y el valor absoluto de la derivada está acotado superiormente por 1. Véase la primera propiedad que aparece a continuación en "Propiedades".
  • Del mismo modo, la función seno es Lipschitz continua porque su derivada, la función coseno, está acotada superiormente por 1 en valor absoluto.
Funciones continuas de Lipschitz que no son diferenciables en todas partes
  • La función definida en los números reales es Lipschitz continua con la constante de Lipschitz igual a 1, por la desigualdad del triángulo inverso . De manera más general, una norma en un espacio vectorial es Lipschitz continua con respecto a la métrica asociada, con la constante de Lipschitz igual a 1.
Funciones continuas de Lipschitz que son diferenciables en todas partes pero no continuamente diferenciables
  • La función , cuya derivada existe pero tiene una discontinuidad esencial en .
Funciones continuas que no son (globalmente) Lipschitz continuas
  • La función f ( x ) =  x definida en [0, 1] no es Lipschitz continua. Esta función se vuelve infinitamente empinada a medida que x se acerca a 0, ya que su derivada se vuelve infinita. Sin embargo, es uniformemente continua, [8] y continua de Hölder de clase C 0, α para α ≤ 1/2 y también absolutamente continua en [0, 1] (ambas implican lo primero).
Funciones diferenciables que no son (localmente) Lipschitz continuas
  • La función f definida por f (0) = 0 y f ( x ) =  x 3/2 sen(1/ x ) para 0< x ≤1 da un ejemplo de una función que es diferenciable en un conjunto compacto pero no localmente Lipschitz porque su función derivada no está acotada. Véase también la primera propiedad a continuación.
Funciones analíticas que no son (globalmente) Lipschitz continuas
  • La función exponencial se vuelve arbitrariamente empinada cuando x → ∞ y, por lo tanto, no es globalmente Lipschitz continua, a pesar de ser una función analítica .
  • La función f ( x ) =  x 2 con dominio de todos los números reales no es Lipschitz continua. Esta función se vuelve arbitrariamente empinada a medida que x tiende al infinito. Sin embargo, es localmente Lipschitz continua.

Propiedades

donde k es una constante de Lipschitz para f en U .

Variedades de Lipschitz

Una estructura de Lipschitz sobre una variedad topológica se define utilizando un atlas de cartas cuyas funciones de transición son bilipschitz; esto es posible porque las funciones bilipschitz forman un pseudogrupo . Una estructura de este tipo permite definir localmente funciones de Lipschitz entre dichas variedades, de forma similar a cómo se definen funciones suaves entre variedades suaves : si M y N son variedades de Lipschitz, entonces una función es localmente Lipschitz si y solo si para cada par de cartas de coordenadas y , donde U y V son conjuntos abiertos en los espacios euclidianos correspondientes, la composición es localmente Lipschitz. Esta definición no se basa en la definición de una métrica en M o N . [9]

Esta estructura es intermedia entre la de una variedad lineal por partes y una variedad topológica : una estructura PL da lugar a una estructura Lipschitz única. [10] Si bien las variedades Lipschitz están estrechamente relacionadas con las variedades topológicas, el teorema de Rademacher permite realizar análisis, lo que produce varias aplicaciones. [9]

Lipschitz unilateral

Sea F ( x ) una función semicontinua superior de x , y que F ( x ) es un conjunto cerrado y convexo para todo x . Entonces F es Lipschitz unilateral [11] si

para algún C y para todos x 1 y x 2 .

Es posible que la función F tenga una constante de Lipschitz muy grande pero una constante de Lipschitz unilateral de tamaño moderado o incluso negativo. Por ejemplo, la función

tiene una constante de Lipschitz K = 50 y una constante de Lipschitz unilateral C = 0. Un ejemplo que es Lipschitz unilateral pero no Lipschitz continuo es F ( x ) = e x , con C = 0.

Véase también

Referencias

  1. ^ Sohrab, HH (2003). Análisis real básico. Vol. 231. Birkhäuser. pág. 142. ISBN 0-8176-4211-0.
  2. ^ Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2001). Análisis real elemental. Prentice-Hall. pág. 623. ISBN 978-0-13-019075-8.
  3. ^ Searcóid, Mícheál Ó (2006), "Funciones de Lipschitz", Espacios métricos , Springer undergraduate mathematics series, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-84628-369-7
  4. ^ Benyamini, Yoav; Lindenstrauss, Joram (2000). Análisis funcional no lineal geométrico . American Mathematical Society. pág. 11. ISBN 0-8218-0835-4.
  5. ^ Burago, Dmitri; Burago, Yuri; Ivanov, Sergei (2001). Un curso de geometría métrica . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-2129-6.
  6. ^ Mahroo, Omar A; Shalchi, Zaid; Hammond, Christopher J (2014). "'Dilatación' y 'dilatación': tendencias en su uso en ambos lados del Atlántico". British Journal of Ophthalmology . 98 (6): 845–846. doi :10.1136/bjophthalmol-2014-304986. PMID  24568871.
  7. ^ Gromov, Mikhael (1999). "Teoría de la homotopía cuantitativa". En Rossi, Hugo (ed.). Perspectivas en matemáticas: charlas invitadas con motivo del 250 aniversario de la Universidad de Princeton, 17-21 de marzo de 1996, Princeton University . American Mathematical Society. pág. 46. ISBN 0-8218-0975-X.
  8. ^ Robbin, Joel W., Continuidad y continuidad uniforme (PDF)
  9. ^ ab Rosenberg, Jonathan (1988). "Aplicaciones del análisis en variedades de Lipschitz". Miniconferencias sobre análisis armónico y álgebras de operadores (Canberra, 1987) . Canberra: Universidad Nacional Australiana . págs. 269–283. Sr. 954004
  10. ^ "Topología de variedades", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  11. ^ Donchev, Tzanko; Farkhi, Elza (1998). "Estabilidad y aproximación de Euler de inclusiones diferenciales de Lipschitz unilaterales". Revista SIAM sobre control y optimización . 36 (2): 780–796. doi :10.1137/S0363012995293694.