Teorías físicas modificadas por la relatividad general

Este artículo utilizará la convención de suma de Einstein .

La teoría de la relatividad general requirió la adaptación de las teorías existentes de efectos físicos, electromagnéticos y cuánticos para dar cuenta de geometrías no euclidianas. Estas teorías físicas modificadas por la relatividad general se describen a continuación.

Mecánica clásica y relatividad especial.

La mecánica clásica y la relatividad especial se agrupan aquí porque la relatividad especial es en muchos sentidos intermedia entre la relatividad general y la mecánica clásica, y comparte muchos atributos con la mecánica clásica.

En el siguiente análisis se utilizarán intensamente las matemáticas de la relatividad general . Además, bajo el principio de acoplamiento mínimo, las ecuaciones físicas de la relatividad especial se pueden convertir en sus contrapartes de la relatividad general reemplazando la métrica de Minkowski ( η _ab ) con la métrica relevante del espacio-tiempo ( g _ab ) y reemplazando cualquier derivada parcial con covariante. derivados. En las discusiones que siguen, el cambio de métricas está implícito.

Inercia

El movimiento inercial es un movimiento libre de todas las fuerzas . En la mecánica newtoniana, la fuerza F que actúa sobre una partícula con masa m está dada por la segunda ley de Newton , , donde la aceleración está dada por la segunda derivada de la posición r con respecto al tiempo t . Fuerza cero significa que el movimiento inercial es solo movimiento con aceleración cero: ${\displaystyle F=m{\ddot {r}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}=0}$

La idea es la misma en la relatividad especial. Usando coordenadas cartesianas , el movimiento inercial se describe matemáticamente como:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{a}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}=0}$

donde es la coordenada de posición y τ es el tiempo propio . (En mecánica newtoniana, τ ≡ t , la coordenada del tiempo). ${\displaystyle x^{a}}$

Tanto en la mecánica newtoniana como en la relatividad especial, se supone que el espacio y luego el espaciotiempo son planos, y que podemos construir un sistema de coordenadas cartesiano global. En la relatividad general, estas restricciones sobre la forma del espacio-tiempo y sobre el sistema de coordenadas a utilizar se pierden. Por tanto, se requiere una definición diferente de movimiento inercial. En relatividad, el movimiento inercial ocurre a lo largo de geodésicas nulas o temporales según lo parametrizado por el tiempo adecuado. Esto se expresa matemáticamente mediante la ecuación geodésica :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{a}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+\Gamma _{bc}^{a}\,{\frac {\mathrm {d} x^{b}}{\mathrm {d} \tau }}\,{\frac {\mathrm {d} x^{c}}{\mathrm {d} \tau }}=0}$

¿Dónde hay un símbolo de Christoffel ? Dado que la relatividad general describe el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, esto representa cuatro ecuaciones, cada una de las cuales describe la segunda derivada de una coordenada con respecto al tiempo propio. En el caso de un espacio plano en coordenadas cartesianas, tenemos , por lo que esta ecuación se reduce a la forma de relatividad especial. ${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}}$ ${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=0}$

Gravitación

Para la gravitación, la relación entre la teoría de la gravedad de Newton y la relatividad general se rige por el principio de correspondencia : la relatividad general debe producir los mismos resultados que la gravedad en los casos en los que se ha demostrado que la física newtoniana es precisa.

Alrededor de un objeto esféricamente simétrico, la teoría newtoniana de la gravedad predice que los objetos serán físicamente acelerados hacia el centro del objeto según la regla

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} =GM\mathbf {\hat {r}} /r^{2}}$

donde G es la constante gravitacional de Newton , M es la masa del objeto gravitacional, r es la distancia al objeto gravitacional y es un vector unitario que identifica la dirección hacia el objeto masivo. ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

En la aproximación de campo débil de la relatividad general, debe existir una aceleración coordinada idéntica. Para la solución de Schwarzschild (que es el espacio-tiempo más simple posible que rodea un objeto masivo), la misma aceleración que (en la física newtoniana) es creada por la gravedad se obtiene cuando una constante de integración se establece igual a 2MG/c2 ⁾ . Para obtener más información, consulte Derivar la solución de Schwarzschild .

Transición de la mecánica newtoniana a la relatividad general

Algunos de los conceptos básicos de la relatividad general pueden esbozarse fuera del dominio relativista . En particular, la idea de que masa/energía genera curvatura en el espacio y que la curvatura afecta el movimiento de las masas puede ilustrarse en un entorno newtoniano .

La relatividad general generaliza la ecuación geodésica y la ecuación de campo al ámbito relativista en el que las trayectorias en el espacio se reemplazan con el transporte de Fermi-Walker a lo largo de líneas mundiales en el espacio-tiempo . Las ecuaciones también se generalizan a curvaturas más complicadas.

Transición de la relatividad especial a la relatividad general

La estructura básica de la relatividad general, incluidas la ecuación geodésica y la ecuación de campo de Einstein , se puede obtener de la relatividad especial examinando la cinética y la dinámica de una partícula en una órbita circular alrededor de la Tierra. En términos de simetría , la transición implica reemplazar la covarianza de Lorentz global por la covarianza de Lorentz local .

Conservación de energía-momento

En la mecánica clásica, las leyes de conservación de la energía y el momento se tratan por separado en los dos principios de conservación de la energía y conservación del momento . Con el advenimiento de la relatividad especial , estos dos principios de conservación se unieron mediante el concepto de equivalencia masa-energía .

Matemáticamente, el enunciado de la relatividad general sobre la conservación de la energía-momento es:

${\displaystyle {T_{a}}^{b}{}_{;b}={T_{a}}^{b}{}_{,b}+{\Gamma ^{b}}_{cb}\,{T_{a}}^{c}-{\Gamma ^{c}}_{ab}\,{T_{c}}^{b}=0}$

donde está el tensor tensión-energía , la coma indica una derivada parcial y el punto y coma indica una derivada covariante . Los términos que involucran los símbolos de Christoffel están ausentes en el enunciado de la relatividad especial sobre la conservación de la energía-momento. ${\displaystyle {T_{a}}^{b}}$

A diferencia de la mecánica clásica y la relatividad especial, generalmente no es posible definir sin ambigüedades la energía total y el momento en la relatividad general, por lo que las leyes de conservación tensorial son declaraciones locales únicamente (ver energía ADM , sin embargo). Esto a menudo causa confusión en espacios-tiempos dependientes del tiempo que aparentemente no conservan energía, aunque la ley local siempre se cumple. La formulación exacta de la conservación de energía-momento en una geometría arbitraria requiere el uso de un pseudotensor de tensión-energía-momento no único .

Electromagnetismo

La relatividad general modifica la descripción de los fenómenos electromagnéticos empleando una nueva versión de las ecuaciones de Maxwell . Estos se diferencian de la forma de relatividad especial en que los símbolos de Christoffel hacen su presencia en las ecuaciones a través de la derivada covariante.

Las ecuaciones fuente de la electrodinámica en el espacio-tiempo curvo son (en unidades cgs )

${\displaystyle F^{\,ab}{}_{;b}={4\pi \over c}\,J^{\,a}}$

donde Fa ^ab es el tensor del campo electromagnético que representa el campo electromagnético y Ja es una corriente ^de cuatro que representa las fuentes del campo electromagnético.

Las ecuaciones sin fuente son las mismas que sus contrapartes de la relatividad especial.

El efecto de un campo electromagnético sobre un objeto cargado se modifica entonces para

${\displaystyle P^{\,a}{}_{\,;\tau }=(q/m)\,F^{\,ab}P_{b}}$,

donde q es la carga sobre el objeto, m es la masa en reposo del objeto y Pa ^es el momento de cuatro del objeto cargado. Las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo plano se recuperan en coordenadas rectangulares al revertir las derivadas covariantes a derivadas parciales. Para las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo plano en coordenadas curvilíneas, consulte [1] o [2]