Derivación de la solución de Schwarzschild

Ejercicio de relatividad general

La solución de Schwarzschild describe el espacio-tiempo bajo la influencia de un objeto masivo, no rotatorio y de simetría esférica. Algunos la consideran una de las soluciones más simples y útiles para las ecuaciones de campo de Einstein . ^{[ cita requerida ]}

Supuestos y notación

Trabajando en un diagrama de coordenadas con coordenadas etiquetadas del 1 al 4 respectivamente, comenzamos con la métrica en su forma más general (10 componentes independientes, cada uno de los cuales es una función uniforme de 4 variables). Se supone que la solución es esféricamente simétrica, estática y en el vacío. Para los fines de este artículo, estas suposiciones pueden enunciarse de la siguiente manera (consulte los enlaces pertinentes para obtener definiciones precisas): ${\displaystyle \left(r,\theta ,\phi ,t\right)}$

1. Un espaciotiempo esféricamente simétrico es aquel que es invariante bajo rotaciones y que toma la imagen especular.
2. Un espacio-tiempo estático es aquel en el que todos los componentes métricos son independientes de la coordenada temporal (de modo que ) y la geometría del espacio-tiempo no cambia bajo una inversión temporal . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}g_{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle t\rightarrow -t}$
3. Una solución de vacío es aquella que satisface la ecuación . A partir de las ecuaciones de campo de Einstein (con constante cosmológica cero ), esto implica que, dado que la contracción produce . ${\displaystyle T_{ab}=0}$ ${\displaystyle R_{ab}=0}$ ${\displaystyle R_{ab}-{\tfrac {R}{2}}g_{ab}=0}$ ${\displaystyle R=0}$
4. La firma métrica utilizada aquí es (+,+,+,−).

Diagonalizando la métrica

La primera simplificación que se debe realizar es diagonalizar la métrica. Con la transformación de coordenadas , todos los componentes de la métrica deben permanecer iguales. Los componentes de la métrica ( ) cambian con esta transformación como: ${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,\phi ,-t)}$ ${\displaystyle g_{\mu 4}}$ ${\displaystyle \mu \neq 4}$

${\displaystyle g_{\mu 4}'={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{'\mu }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{'4}}}g_{\alpha \beta }=-g_{\mu 4}}$( ) ${\displaystyle \mu \neq 4}$

Pero, como esperamos (los componentes métricos siguen siendo los mismos), esto significa que: ${\displaystyle g'_{\mu 4}=g_{\mu 4}}$

${\displaystyle g_{\mu 4}=\,0}$( ) ${\displaystyle \mu \neq 4}$

De manera similar, las transformaciones de coordenadas y respectivamente dan: ${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,-\phi ,t)}$ ${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,-\theta ,\phi ,t)}$

${\displaystyle g_{\mu 3}=\,0}$( ) ${\displaystyle \mu \neq 3}$

${\displaystyle g_{\mu 2}=\,0}$( ) ${\displaystyle \mu \neq 2}$

Juntando todo esto obtenemos:

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\,0}$( ) ${\displaystyle \mu \neq \nu }$

y por lo tanto la métrica debe tener la forma:

${\displaystyle ds^{2}=\,g_{11}\,dr^{2}+g_{22}\,d\theta ^{2}+g_{33}\,d\phi ^{2}+g_{44}\,dt^{2}}$

donde los cuatro componentes métricos son independientes de la coordenada temporal (por el supuesto estático). ${\displaystyle t}$

Simplificando los componentes

En cada hipersuperficie de constante , constante y constante (es decir, en cada línea radial), sólo debe depender de (por simetría esférica). Por lo tanto, es una función de una sola variable: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle g_{11}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g_{11}}$

${\displaystyle g_{11}=A\left(r\right)}$

Un argumento similar aplicado a demuestra que: ${\displaystyle g_{44}}$

${\displaystyle g_{44}=B\left(r\right)}$

En las hipersuperficies de constante y constante , se requiere que la métrica sea la de una 2-esfera: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle dl^{2}=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

Si se elige una de estas hipersuperficies (la que tiene un radio , por ejemplo), los componentes métricos restringidos a esta hipersuperficie (que denotamos por y ) no deberían cambiar bajo rotaciones a través de y (nuevamente, por simetría esférica). Comparando las formas de la métrica en esta hipersuperficie se obtiene: ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}_{33}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}\left(d\theta ^{2}+{\frac {{\tilde {g}}_{33}}{{\tilde {g}}_{22}}}\,d\phi ^{2}\right)=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

Lo que inmediatamente produce:

${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}=r_{0}^{2}}$y ${\displaystyle {\tilde {g}}_{33}=r_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }$

Pero esto es necesario para que se mantenga en cada hipersuperficie; por lo tanto,

${\displaystyle g_{22}=\,r^{2}}$y ${\displaystyle g_{33}=\,r^{2}\sin ^{2}\theta }$

Una forma intuitiva alternativa de ver esto y que debe ser la misma que para un espacio-tiempo plano es que estirar o comprimir un material elástico de manera esféricamente simétrica (radialmente) no cambiará la distancia angular entre dos puntos. ${\displaystyle g_{22}}$ ${\displaystyle g_{33}}$

De esta forma la métrica se puede expresar de la siguiente manera:

${\displaystyle ds^{2}=A\left(r\right)dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+B\left(r\right)dt^{2}}$

con y funciones aún no determinadas de . Nótese que si o es igual a cero en algún punto, la métrica sería singular en ese punto. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Cálculo de los símbolos de Christoffel

Utilizando la métrica anterior, encontramos los símbolos de Christoffel , donde los índices son . El signo denota una derivada total de una función. ${\displaystyle (1,2,3,4)=(r,\theta ,\phi ,t)}$ ${\displaystyle '}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{1}={\begin{bmatrix}A'/\left(2A\right)&0&0&0\\0&-r/A&0&0\\0&0&-r\sin ^{2}\theta /A&0\\0&0&0&-B'/\left(2A\right)\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{2}={\begin{bmatrix}0&1/r&0&0\\1/r&0&0&0\\0&0&-\sin \theta \cos \theta &0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1/r&0\\0&0&\cot \theta &0\\1/r&\cot \theta &0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&B'/\left(2B\right)\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\B'/\left(2B\right)&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Usando las ecuaciones de campo para encontrarA(a) yB(a)

Para determinar y , se emplean las ecuaciones del campo de vacío : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle R_{\alpha \beta }=\,0}$

Por eso:

${\displaystyle {\Gamma _{\beta \alpha ,\rho }^{\rho }}-\Gamma _{\rho \alpha ,\beta }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\beta \alpha }^{\lambda }-\Gamma _{\beta \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \alpha }^{\lambda }=0\,,}$

donde se utiliza una coma para indicar el índice que se está utilizando para la derivada. La curvatura de Ricci es diagonal en las coordenadas dadas:

${\displaystyle R_{tt}=-{\frac {1}{4}}{\frac {B'}{A}}\left({\frac {A'}{A}}-{\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{A}}\right)^{'}\,,}$

${\displaystyle R_{rr}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{'}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}{\frac {A'}{A}}\left({\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right)\,,}$

${\displaystyle R_{\theta \theta }=1-\left({\frac {r}{A}}\right)^{'}-{\frac {r}{2A}}\left({\frac {A'}{A}}+{\frac {B'}{B}}\right)\,,}$

${\displaystyle R_{\phi \phi }=\sin ^{2}(\theta )R_{\theta \theta },}$

donde el primo significa la derivada r de las funciones.

Sólo tres de las ecuaciones de campo no son triviales (la cuarta ecuación es simplemente multiplicada por la tercera) y tras la simplificación se convierten, respectivamente: ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$

${\displaystyle 4A'B^{2}-2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A=0}$,

${\displaystyle -2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A-4B'AB=0}$,

${\displaystyle rA'B+2A^{2}B-2AB-rB'A=0}$

Restando la primera y la segunda ecuación obtenemos:

${\displaystyle A'B+AB'=0\Rightarrow A(r)B(r)=K}$

donde es una constante real distinta de cero. Sustituyendo en la tercera ecuación y ordenando, obtenemos: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A(r)B(r)\,=K}$

${\displaystyle rA'=A(1-A)}$

que tiene solución general:

${\displaystyle A(r)=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}}$

para alguna constante real distinta de cero . Por lo tanto, la métrica para una solución de vacío estática y esféricamente simétrica ahora tiene la forma: ${\displaystyle S}$

${\displaystyle ds^{2}=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})+K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)dt^{2}}$

Nótese que el espacio-tiempo representado por la métrica anterior es asintóticamente plano , es decir , la métrica se aproxima a la métrica de Minkowski y la variedad del espacio-tiempo se asemeja a la del espacio de Minkowski . ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$

Usando la aproximación de campo débil para encontrarKyS

Este diagrama muestra la ruta para encontrar la solución de Schwarzschild utilizando la aproximación del campo débil. La igualdad en la segunda fila da g ₄₄ = − c ² + 2 GM / r , suponiendo que la solución deseada degenera a la métrica de Minkowski cuando el movimiento ocurre lejos del agujero negro ( r se acerca al infinito positivo).

Las geodésicas de la métrica (obtenidas donde se hace un extremo) deben, en algún límite (por ejemplo, hacia la velocidad infinita de la luz), coincidir con las soluciones del movimiento newtoniano (por ejemplo, obtenidas mediante las ecuaciones de Lagrange ). (La métrica también debe limitarse al espacio de Minkowski cuando la masa que representa se anula.) ${\displaystyle ds}$

${\displaystyle 0=\delta \int {\frac {ds}{dt}}dt=\delta \int (KE+PE_{g})dt}$

(donde es la energía cinética y es la energía potencial debida a la gravedad) Las constantes y están completamente determinadas por alguna variante de este enfoque; a partir de la aproximación de campo débil se llega al resultado: ${\displaystyle KE}$ ${\displaystyle PE_{g}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle g_{44}=K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)\approx -c^{2}+{\frac {2Gm}{r}}=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)}$

donde es la constante gravitacional , es la masa de la fuente gravitacional y es la velocidad de la luz. Se encuentra que: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle K=\,-c^{2}}$y ${\displaystyle {\frac {1}{S}}=-{\frac {2Gm}{c^{2}}}}$

Por eso:

${\displaystyle A(r)=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}}$y ${\displaystyle B(r)=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)}$

Así pues, la métrica de Schwarzschild puede finalmente escribirse en la forma:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)dt^{2}}$

Tenga en cuenta que:

${\displaystyle {\frac {2Gm}{c^{2}}}=r_{s}}$

es la definición del radio de Schwarzschild para un objeto de masa , por lo que la métrica de Schwarzschild puede reescribirse en la forma alternativa: ${\displaystyle m}$

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)dt^{2}}$

lo que demuestra que la métrica se vuelve singular al acercarse al horizonte de eventos (es decir, ). La singularidad métrica no es física (aunque existe una singularidad física real en ), como se puede demostrar utilizando una transformación de coordenadas adecuada (por ejemplo, el sistema de coordenadas de Kruskal–Szekeres ). ${\displaystyle r\rightarrow r_{s}}$ ${\displaystyle r=0}$

Derivación alternativa utilizando física conocida en casos especiales

[Esta derivación es errónea porque presupone la tercera ley de Kepler. Esto no tiene fundamento porque esa ley tiene correcciones relativistas. Por ejemplo, el significado de "r" es distancia física en esa ley clásica, y meramente una coordenada en la Relatividad General.] La métrica de Schwarzschild también se puede derivar utilizando la física conocida para una órbita circular y una masa puntual estacionaria temporalmente. ^[1] Comience con la métrica con coeficientes que son coeficientes desconocidos de : ${\displaystyle r}$

${\displaystyle -c^{2}=\left({ds \over d\tau }\right)^{2}=A(r)\left({dr \over d\tau }\right)^{2}+r^{2}\left({d\phi \over d\tau }\right)^{2}+B(r)\left({dt \over d\tau }\right)^{2}.}$

Ahora apliquemos la ecuación de Euler-Lagrange a la integral de longitud de arco . Como es constante, el integrando se puede reemplazar por porque la ecuación E-L es exactamente la misma si el integrando se multiplica por cualquier constante. Al aplicar la ecuación E-L a con el integrando modificado obtenemos: ${\displaystyle {J=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\sqrt {-\left({\text{d}}s/{\text{d}}\tau \right)^{2}}}\,{\text{d}}\tau .}}$ ${\displaystyle ds/d\tau }$ ${\displaystyle ({\text{d}}s/{\text{d}}\tau )^{2},}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}A'(r){\dot {r}}^{2}+2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}&=&2A'(r){\dot {r}}^{2}+2A(r){\ddot {r}}\\0&=&2r{\dot {r}}{\dot {\phi }}+r^{2}{\ddot {\phi }}\\0&=&B'(r){\dot {r}}{\dot {t}}+B(r){\ddot {t}}\end{array}}}$

donde el punto denota diferenciación con respecto a ${\displaystyle \tau .}$

En una órbita circular , la primera ecuación E–L anterior es equivalente a ${\displaystyle {\dot {r}}={\ddot {r}}=0,}$

${\displaystyle 2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}=0\Leftrightarrow B'(r)=-2r{\dot {\phi }}^{2}/{\dot {t}}^{2}=-2r(d\phi /dt)^{2}.}$

La tercera ley del movimiento de Kepler es

${\displaystyle {\frac {T^{2}}{r^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}.}$

En una órbita circular, el período es igual a lo que implica ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 2\pi /(d\phi /dt),}$

${\displaystyle \left({d\phi \over dt}\right)^{2}=GM/r^{3}}$

dado que la masa puntual es insignificante en comparación con la masa del cuerpo central , y al integrar esto se obtiene donde es una constante de integración desconocida. se puede determinar estableciendo en cuyo caso el espacio-tiempo es plano y y ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle B'(r)=-2GM/r^{2}}$ ${\displaystyle B(r)=2GM/r+C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M=0,}$ ${\displaystyle B(r)=-c^{2}.}$ ${\displaystyle C=-c^{2}}$

${\displaystyle B(r)=2GM/r-c^{2}=c^{2}(2GM/c^{2}r-1)=c^{2}(r_{s}/r-1).}$

Cuando la masa puntual está temporalmente estacionaria, y La ecuación métrica original se convierte en y la primera ecuación E–L anterior se convierte en Cuando la masa puntual está temporalmente estacionaria, es la aceleración de la gravedad , Entonces ${\displaystyle {\dot {r}}=0}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}=0.}$ ${\displaystyle {\dot {t}}^{2}=-c^{2}/B(r)}$ ${\displaystyle A(r)=B'(r){\dot {t}}^{2}/(2{\ddot {r}}).}$ ${\displaystyle {\ddot {r}}}$ ${\displaystyle -MG/r^{2}.}$

${\displaystyle A(r)=\left({\frac {-2MG}{r^{2}}}\right)\left({\frac {-c^{2}}{2MG/r-c^{2}}}\right)\left(-{\frac {r^{2}}{2MG}}\right)={\frac {1}{1-2MG/(rc^{2})}}={\frac {1}{1-r_{s}/r}}.}$

Forma alternativa en coordenadas isotrópicas

La formulación original de la métrica utiliza coordenadas anisotrópicas en las que la velocidad de la luz no es la misma en las direcciones radial y transversal. Arthur Eddington dio formas alternativas en coordenadas isotrópicas . ^[2] Para coordenadas esféricas isotrópicas , , , las coordenadas y no cambian, y entonces (siempre que ) ^[3] ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle r\geq {\frac {2Gm}{c^{2}}}}$

${\displaystyle r=r_{1}\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$     ,       , y ${\displaystyle dr=dr_{1}\left(1-{\frac {(Gm)^{2}}{4c^{4}r_{1}^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)=\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}/\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$

Entonces, para coordenadas rectangulares isótropas , , , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle x=r_{1}\,\sin(\theta )\,\cos(\phi )\quad ,}$   ${\displaystyle y=r_{1}\,\sin(\theta )\,\sin(\phi )\quad ,}$   ${\displaystyle z=r_{1}\,\cos(\theta )}$

La métrica entonces queda, en coordenadas rectangulares isótropas:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{4}(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})-c^{2}dt^{2}\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}/\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$

Abandonar el supuesto estático: el teorema de Birkhoff

Al derivar la métrica de Schwarzschild, se supuso que la métrica era de vacío, esféricamente simétrica y estática . La suposición estática es innecesaria, ya que el teorema de Birkhoff establece que cualquier solución de vacío esféricamente simétrica de las ecuaciones de campo de Einstein es estacionaria ; por lo tanto, se sigue la solución de Schwarzschild. El teorema de Birkhoff tiene la consecuencia de que cualquier estrella pulsante que permanezca esféricamente simétrica no genera ondas gravitacionales , ya que la región exterior a la estrella permanece estática.

Véase también

• Karl Schwarzschild
• Métrica Kerr
• Métrica de Reissner-Nordström

Referencias

1. Brown, Kevin. "Reflexiones sobre la relatividad".
2. AS Eddington, "Mathematical Theory of Relativity", Cambridge UP 1922 (2.ª ed. 1924, repr. 1960), en la página 85 y la página 93. El uso de símbolos en la fuente de Eddington para el intervalo s y la coordenada temporal t se ha convertido para que sea compatible con el uso en la derivación anterior.
3. Buchdahl, HA (1985). "Coordenadas isotrópicas y métrica de Schwarzschild". Revista Internacional de Física Teórica . 24 (7): 731–739. Código Bibliográfico :1985IJTP...24..731B. doi :10.1007/BF00670880. S2CID  121246377.