Coordenadas de Kruskal-Székeres

Sistema de coordenadas para la geometría de Schwarzschild

Diagrama de Kruskal-Szekeres, ilustrado para 2 GM = 1. Los cuadrantes son el interior del agujero negro (II), el interior del agujero blanco (IV) y las dos regiones exteriores (I y III). Las líneas punteadas de 45°, que separan estas cuatro regiones, son los horizontes de sucesos . Las hipérbolas más oscuras que delimitan la parte superior e inferior del diagrama son las singularidades físicas. Las hipérbolas más claras representan los contornos de la coordenada r de Schwarzschild , y las líneas rectas que pasan por el origen representan los contornos de la coordenada t de Schwarzschild .

En la relatividad general , las coordenadas de Kruskal-Szekeres , llamadas así por Martin Kruskal y George Szekeres , son un sistema de coordenadas para la geometría de Schwarzschild de un agujero negro . Estas coordenadas tienen la ventaja de que cubren toda la variedad espaciotemporal de la solución de Schwarzschild máximamente extendida y se comportan bien en todas partes fuera de la singularidad física. No hay singularidad de coordenadas en el horizonte.

Las coordenadas de Kruskal-Szekeres también se aplican al espacio-tiempo alrededor de un objeto esférico, pero en ese caso no dan una descripción del espacio-tiempo dentro del radio del objeto. El espacio-tiempo en una región donde una estrella está colapsando en un agujero negro se aproxima por las coordenadas de Kruskal-Szekeres (o por las coordenadas de Schwarzschild ). La superficie de la estrella permanece fuera del horizonte de sucesos en las coordenadas de Schwarzschild, pero lo cruza en las coordenadas de Kruskal-Szekeres. (En cualquier "agujero negro" que observamos , lo vemos en un momento en que su materia aún no ha terminado de colapsar, por lo que aún no es realmente un agujero negro). De manera similar, los objetos que caen en un agujero negro permanecen fuera del horizonte de sucesos en las coordenadas de Schwarzschild, pero lo cruzan en las coordenadas de Kruskal-Szekeres.

Definición

Diagrama de Kruskal-Szekeres. Cada fotograma de la animación muestra una hipérbola azul como superficie donde la coordenada radial de Schwarzschild es constante (y con un valor menor en cada fotograma sucesivo, hasta que termina en las singularidades).

Las coordenadas de Kruskal-Szekeres en la geometría de un agujero negro se definen, a partir de las coordenadas de Schwarzschild , reemplazando t y r por una nueva coordenada temporal T y una nueva coordenada espacial : ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle T=\left({\frac {r}{2GM}}-1\right)^{1/2}e^{r/4GM}\sinh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

${\displaystyle X=\left({\frac {r}{2GM}}-1\right)^{1/2}e^{r/4GM}\cosh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

para la región exterior fuera del horizonte de eventos y: ${\displaystyle r>2GM}$

${\displaystyle T=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)^{1/2}e^{r/4GM}\cosh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

${\displaystyle X=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)^{1/2}e^{r/4GM}\sinh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

Para la región interior . Aquí se multiplica la constante gravitacional por el parámetro de masa de Schwarzschild y en este artículo se utilizan unidades donde = 1. ${\displaystyle 0<r<2GM}$ ${\displaystyle GM}$ ${\displaystyle c}$

De ello se deduce que en la unión de la región exterior, el horizonte de sucesos y la región interior, la coordenada radial de Schwarzschild (que no debe confundirse con el radio de Schwarzschild ), se determina en términos de coordenadas de Kruskal-Szekeres como la (única) solución de la ecuación: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{\text{s}}=2GM}$

${\displaystyle T^{2}-X^{2}=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)e^{r/2GM}\ ,T^{2}-X^{2}<1}$

Utilizando la función W de Lambert la solución se escribe como:

${\displaystyle r=2GM\left(1+W_{0}\left({\frac {X^{2}-T^{2}}{e}}\right)\right)}$.

Además, se ve inmediatamente que en la región externa al agujero negro ${\displaystyle T^{2}-X^{2}<0,\ X>0}$

${\displaystyle t=4GM\mathop {\mathrm {artanh} } (T/X)}$

Mientras que en la región interna del agujero negro ${\displaystyle 0<T^{2}-X^{2}<1,\ T>0}$

${\displaystyle t=4GM\mathop {\mathrm {artanh} } (X/T)}$

En estas nuevas coordenadas la métrica de la variedad de agujeros negros de Schwarzschild viene dada por

${\displaystyle g={\frac {32G^{3}M^{3}}{r}}e^{-r/2GM}(-dT^{2}+dX^{2})+r^{2}g_{\Omega },}$

escrito utilizando la convención de firma métrica (− + + +) y donde el componente angular de la métrica (la métrica de Riemann de la 2-esfera) es:

${\displaystyle g_{\Omega }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}$.

Expresar la métrica de esta forma muestra claramente que las geodésicas nulas radiales, es decir, con constante, son paralelas a una de las líneas . En las coordenadas de Schwarzschild, el radio de Schwarzschild es la coordenada radial del horizonte de sucesos . En las coordenadas de Kruskal–Szekeres, el horizonte de sucesos está dado por . Nótese que la métrica está perfectamente bien definida y no es singular en el horizonte de sucesos. La singularidad de curvatura se encuentra en . ${\displaystyle \Omega =\Omega (\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle T=\pm X}$ ${\displaystyle r_{\text{s}}=2GM}$ ${\displaystyle r=r_{\text{s}}=2GM}$ ${\displaystyle T^{2}-X^{2}=0}$ ${\displaystyle T^{2}-X^{2}=1}$

Solución de Schwarzschild con máxima extensión

La transformación entre las coordenadas de Schwarzschild y las coordenadas de Kruskal–Szekeres se define para r  > 2 GM y se puede extender, como una función analítica, al menos hasta la primera singularidad que ocurre en . Por lo tanto, la métrica anterior es una solución de las ecuaciones de Einstein en toda esta región. Los valores permitidos son ${\displaystyle -\infty <t<\infty }$ ${\displaystyle T^{2}-X^{2}=1}$

${\displaystyle -\infty <X<\infty \,}$

${\displaystyle -\infty <T^{2}-X^{2}<1}$

Tenga en cuenta que esta extensión supone que la solución es analítica en todas partes.

En la solución máximamente extendida hay en realidad dos singularidades en r = 0, una para T positiva y otra para T negativa . La singularidad T negativa es el agujero negro invertido en el tiempo, a veces llamado " agujero blanco ". Las partículas pueden escapar de un agujero blanco, pero nunca pueden regresar.

La geometría de Schwarzschild máximamente extendida se puede dividir en cuatro regiones, cada una de las cuales puede cubrirse con un conjunto adecuado de coordenadas de Schwarzschild. Las coordenadas de Kruskal-Szekeres, por otro lado, cubren toda la variedad espacio-temporal. Las cuatro regiones están separadas por horizontes de eventos.

La transformación dada anteriormente entre las coordenadas de Schwarzschild y Kruskal-Szekeres se aplica únicamente en las regiones I y II (si tomamos la raíz cuadrada como positiva). Se puede escribir una transformación similar en las otras dos regiones.

La coordenada temporal de Schwarzschild t está dada por

${\displaystyle \tanh \left({\frac {t}{4GM}}\right)={\begin{cases}T/X&{\text{(in I and III)}}\\X/T&{\text{(in II and IV)}}\end{cases}}}$

En cada región va desde hasta con los infinitos en los horizontes de eventos. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

Basándose en los requisitos de que el proceso cuántico de la radiación de Hawking es unitario , 't Hooft propuso ^[1] que las regiones I y III, y II y IV son simplemente artefactos matemáticos que surgen de la elección de ramas como raíces en lugar de universos paralelos y que la relación de equivalencia

${\displaystyle (T,X,\Omega )\sim (-T,-X,-\Omega )}$

debe imponerse, donde es el antípoda de en la 2-esfera. Si pensamos en las regiones III y IV como si tuvieran coordenadas esféricas pero con una opción negativa para la raíz cuadrada para calcular , entonces simplemente usamos puntos opuestos en la esfera para denotar el mismo punto en el espacio, por ejemplo ${\displaystyle -\Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle (t^{\text{(I)}},r^{\text{(I)}},\Omega ^{\text{(I)}})=(t,r,\Omega )\sim (t^{\text{(III)}},r^{\text{(III)}},\Omega ^{\text{(III)}})=(t,-r,-\Omega ).}$

Esto significa que . Puesto que se trata de una acción libre del grupo que preserva la métrica, esto da una variedad lorentziana bien definida (en todas partes excepto en la singularidad). Identifica el límite de la región interior II correspondiente al segmento de línea de coordenadas con el límite de la región exterior I correspondiente a . La identificación significa que, mientras que cada par corresponde a una esfera, el punto (que corresponde al horizonte de sucesos en la imagen de Schwarzschild) no corresponde a una esfera sino al plano proyectivo , y la topología de la variedad subyacente ya no es . La variedad ya no está simplemente conexa , porque un bucle (que implica porciones superlumínicas) que va desde un punto en el espacio-tiempo de vuelta a sí mismo pero en las coordenadas opuestas de Kruskal-Szekeres no puede reducirse a un bucle nulo. ${\displaystyle r^{\text{(I)}}\Omega ^{\text{(I)}}=r^{\text{(III)}}\Omega ^{\text{(III)}}=r\Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle t^{\text{(II)}}=-\infty }$ ${\displaystyle T=-X,\ T>0,X<0}$ ${\displaystyle t^{\text{(I)}}=-\infty }$ ${\displaystyle T=-X,\ T<0,X>0}$ ${\displaystyle (T,X)\sim (-T,-X)\neq (0,0)}$ ${\displaystyle (T,X)=(0,0)}$ ${\displaystyle r=2GM}$ ${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}=S^{2}/\pm }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}-\mathrm {line} =\mathbb {R} ^{2}\times S^{2}}$

Características cualitativas del diagrama de Kruskal-Szekeres

Las coordenadas de Kruskal-Szekeres tienen una serie de características útiles que las hacen útiles para construir intuiciones sobre el espacio-tiempo de Schwarzschild. La principal de ellas es el hecho de que todas las geodésicas radiales similares a la luz (las líneas del universo de los rayos de luz que se mueven en una dirección radial) parecen líneas rectas en un ángulo de 45 grados cuando se dibujan en un diagrama de Kruskal-Szekeres (esto se puede derivar de la ecuación métrica dada anteriormente, que garantiza que si entonces el tiempo propio ). ^[2] Todas las líneas del universo similares al tiempo de objetos más lentos que la luz tendrán en cada punto una pendiente más cercana al eje vertical del tiempo (la coordenada T ) que 45 grados. Por lo tanto, un cono de luz dibujado en un diagrama de Kruskal-Szekeres se verá exactamente igual que un cono de luz en un diagrama de Minkowski en relatividad especial . ${\displaystyle dX=\pm dT\,}$ ${\displaystyle ds=0}$

Los horizontes de sucesos que delimitan las regiones interiores del agujero negro y del agujero blanco son también un par de líneas rectas a 45 grados, lo que refleja el hecho de que un rayo de luz emitido en el horizonte en dirección radial (dirigido hacia afuera en el caso del agujero negro, hacia adentro en el caso del agujero blanco) permanecería en el horizonte para siempre. Por lo tanto, los dos horizontes del agujero negro coinciden con los límites del cono de luz futuro de un suceso en el centro del diagrama (en T = X = 0), mientras que los dos horizontes del agujero blanco coinciden con los límites del cono de luz pasado de ese mismo suceso. Cualquier evento dentro de la región interior del agujero negro tendrá un cono de luz futuro que permanece en esta región (de modo que cualquier línea del mundo dentro del cono de luz futuro del evento eventualmente alcanzará la singularidad del agujero negro, que aparece como una hipérbola limitada por los dos horizontes del agujero negro), y cualquier evento dentro de la región interior del agujero blanco tendrá un cono de luz pasado que permanece en esta región (de modo que cualquier línea del mundo dentro de este cono de luz pasado debe haberse originado en la singularidad del agujero blanco, una hipérbola limitada por los dos horizontes del agujero blanco). Nótese que aunque el horizonte parece ser un cono que se expande hacia afuera, el área de esta superficie, dada por r es solo , una constante. Es decir, estas coordenadas pueden ser engañosas si no se tiene cuidado. ${\displaystyle 16\pi M^{2}}$

Puede resultar instructivo considerar cómo se verían las curvas de coordenadas de Schwarzschild constantes cuando se trazaran en un diagrama de Kruskal-Szekeres. Resulta que las curvas de coordenadas r constantes en coordenadas de Schwarzschild siempre parecen hipérbolas limitadas por un par de horizontes de sucesos a 45 grados, mientras que las líneas de coordenadas t constantes en coordenadas de Schwarzschild siempre parecen líneas rectas en varios ángulos que pasan por el centro del diagrama. El horizonte de sucesos del agujero negro que bordea la región exterior I coincidiría con una coordenada t de Schwarzschild de mientras que el horizonte de sucesos del agujero blanco que bordea esta región coincidiría con una coordenada t de Schwarzschild de , lo que refleja el hecho de que en coordenadas de Schwarzschild una partícula que cae tarda un tiempo de coordenadas infinito en alcanzar el horizonte (es decir, la distancia de la partícula desde el horizonte se acerca a cero a medida que la coordenada t de Schwarzschild se acerca al infinito), y una partícula que se aleja del horizonte debe haberlo cruzado un tiempo de coordenadas infinito en el pasado. Esto es simplemente un artefacto de cómo se definen las coordenadas de Schwarzschild; una partícula en caída libre solo tomará un tiempo propio finito (tiempo medido por su propio reloj) para pasar entre un observador externo y un horizonte de eventos, y si la línea del mundo de la partícula se dibuja en el diagrama de Kruskal-Szekeres, esto también tomará solo un tiempo de coordenadas finito en coordenadas de Kruskal-Szekeres. ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

El sistema de coordenadas de Schwarzschild solo puede cubrir una única región exterior y una única región interior, como las regiones I y II en el diagrama de Kruskal-Szekeres. El sistema de coordenadas de Kruskal-Szekeres, por otro lado, puede cubrir un espacio-tiempo "máximamente extendido" que incluye la región cubierta por las coordenadas de Schwarzschild. Aquí, "máximamente extendido" se refiere a la idea de que el espacio-tiempo no debería tener "bordes": cualquier camino geodésico puede extenderse arbitrariamente en cualquier dirección a menos que se encuentre con una singularidad gravitacional . Técnicamente, esto significa que un espacio-tiempo máximamente extendido es "geodésicamente completo" (lo que significa que cualquier geodésica puede extenderse a valores arbitrariamente grandes, positivos o negativos, de su "parámetro afín", ^[3] que en el caso de una geodésica temporal podría ser simplemente el tiempo propio ), o si alguna geodésica está incompleta, solo puede ser porque termina en una singularidad. ^{[4] [5]} Para satisfacer este requisito, se encontró que además de la región interior del agujero negro (región II) a la que entran las partículas cuando caen a través del horizonte de sucesos desde el exterior (región I), tiene que haber una región interior separada del agujero blanco (región IV) que nos permita extender las trayectorias de las partículas que un observador externo ve elevarse alejándose del horizonte de sucesos, junto con una región exterior separada (región III) que nos permita extender algunas posibles trayectorias de partículas en las dos regiones interiores. En realidad, hay múltiples formas posibles de extender la solución exterior de Schwarzschild a un espacio-tiempo de extensión máxima, pero la extensión de Kruskal-Szekeres es única en el sentido de que es una solución de vacío máxima, analítica y simplemente conectada en la que todas las geodésicas de extensión máxima están completas o bien el escalar de curvatura diverge a lo largo de ellas en un tiempo afín finito. ^[6]

Variante de cono de luz

En la literatura, las coordenadas de Kruskal-Szekeres a veces también aparecen en su variante de cono de luz:

${\displaystyle U=T-X}$

${\displaystyle V=T+X,}$

en el que la métrica viene dada por

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {32G^{3}M^{3}}{r}}e^{-r/2GM}(dUdV)+r^{2}d\Omega ^{2},}$

y r se define implícitamente por la ecuación ^[7]

${\displaystyle UV=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)e^{r/2GM}.}$

Estas coordenadas de cono de luz tienen la característica útil de que las geodésicas nulas radialmente salientes están dadas por , mientras que las geodésicas nulas radialmente entrantes están dadas por . Además, los horizontes de eventos (futuros y pasados) están dados por la ecuación , y la singularidad de curvatura está dada por la ecuación . ${\displaystyle U={\text{constant}}}$ ${\displaystyle V={\text{constant}}}$ ${\displaystyle UV=0}$ ${\displaystyle UV=1}$

Las coordenadas del cono de luz se derivan estrechamente de las coordenadas de Eddington-Finkelstein . ^[8]

Véase también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Coordenadas de Schwarzschild
• Coordenadas de Lemaître
• Coordenadas de Eddington-Finkelstein
• Coordenadas isotrópicas
• Coordenadas de Gullstrand-Painlevé

Referencias

1. 't Hooft, Gerard (2019). "El agujero negro cuántico como laboratorio teórico, un tratamiento pedagógico de un nuevo enfoque". arXiv : 1902.10469 [gr-qc].
2. Misner, Thorne y Wheeler 1973, pág. 835
3. Hawking y Ellis 1975, pág. 257
4. Hobson, Efstathiou y Lasenby 2006, pág. 270
5. Ellis, Lanza y Miller 1994, págs. 26-27
6. Ashtekar 2006, pág. 97
7. Mukhanov y Winitzki 2007, págs. 111-112
8. Misner, Thorne y Wheeler 1973

Fuentes

• Ashtekar, Abhay (2006). Cien años de relatividad. World Scientific Publishing Company . ISBN 978-981-256-394-1.
• Ellis, George ; Lanza, Antonio; Miller, John (1994). El renacimiento de la relatividad general y la cosmología: una encuesta para celebrar el 65.º cumpleaños de Dennis Sciama. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-43377-8.
• Hawking, Stephen W. ; Ellis, George FR (1975). La estructura a gran escala del espacio-tiempo. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-09906-6.
• Hobson, Michael Paul; Efstathiou, George ; Lasenby, Anthony N. (2006). Relatividad general: una introducción para físicos. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82951-9.
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . WH Freeman . ISBN 978-0-7167-0344-0.
• Mukhanov, Viatcheslav; Winitzki, Sergei (2007). Introducción a los efectos cuánticos en la gravedad. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86834-1.