Cono

Forma geométrica

Un cono circular recto y un cono circular oblicuo

Un cono doble (no se muestra infinitamente extendido)

Modelo 3D de un cono

Un cono es una forma geométrica tridimensional que se estrecha suavemente desde una base plana (con frecuencia, aunque no necesariamente, circular) hasta un punto llamado vértice .

Un cono está formado por un conjunto de segmentos de línea , semirrectas o líneas que unen un punto común, el vértice, con todos los puntos de una base que está en un plano que no contiene el vértice. Dependiendo del autor, la base puede restringirse a un círculo , cualquier forma cuadrática unidimensional en el plano, cualquier figura unidimensional cerrada o cualquiera de las anteriores más todos los puntos incluidos. Si los puntos incluidos están incluidos en la base, el cono es un objeto sólido ; de lo contrario, es un objeto bidimensional en el espacio tridimensional. En el caso de un objeto sólido, el límite formado por estas líneas o líneas parciales se llama superficie lateral ; si la superficie lateral no tiene límites, es una superficie cónica .

En el caso de los segmentos de línea, el cono no se extiende más allá de la base, mientras que en el caso de las semirrectas, se extiende infinitamente. En el caso de las líneas, el cono se extiende infinitamente en ambas direcciones desde el vértice, en cuyo caso a veces se lo llama cono doble.Cada mitad de un cono doble en un lado del ápice se llama manto .

El eje de un cono es la línea recta (si la hay) que pasa por el vértice, alrededor de la cual la base (y todo el cono) tiene una simetría circular .

En el uso común en geometría elemental , se supone que los conos son circulares rectos , donde circular significa que la base es un círculo y recto significa que el eje pasa por el centro de la base en ángulos rectos con su plano. ^[1] Si el cono es circular recto, la intersección de un plano con la superficie lateral es una sección cónica . En general, sin embargo, la base puede tener cualquier forma ^[2] y el vértice puede estar en cualquier lugar (aunque generalmente se supone que la base está limitada y, por lo tanto, tiene un área finita , y que el vértice se encuentra fuera del plano de la base). En contraste con los conos rectos están los conos oblicuos, en los que el eje pasa por el centro de la base de manera no perpendicular. ^[3]

Torre de control de tráfico aéreo en forma de cono, Aeropuerto de Sharjah.

Un cono con base poligonal se llama pirámide .

Dependiendo del contexto, "cono" también puede significar específicamente un cono convexo o un cono proyectivo .

Los conos también pueden generalizarse a dimensiones superiores .

Terminología adicional

El perímetro de la base de un cono se denomina "directriz", y cada uno de los segmentos de línea entre la directriz y el vértice es una "generatriz" o "línea generadora" de la superficie lateral. (Para la conexión entre este sentido del término "directriz" y la directriz de una sección cónica, véase Esferas de Dandelin ).

El "radio de la base" de un cono circular es el radio de su base; a menudo, esto simplemente se llama el radio del cono. La apertura de un cono circular recto es el ángulo máximo entre dos líneas generatrices; si la generatriz forma un ángulo θ con el eje, la apertura es 2 θ . En óptica , el ángulo θ se llamamedio ángulo del cono, para distinguirlo de la abertura.

Ilustración de Problemata mathematica... publicada en Acta Eruditorum , 1734

Un cono truncado por un plano inclinado

Un cono con una región que incluye su vértice cortado por un plano se llama cono truncado ; si el plano de truncamiento es paralelo a la base del cono, se llama frustum . ^[1] Un cono elíptico es un cono con una base elíptica . ^[1] Un cono generalizado es la superficie creada por el conjunto de líneas que pasan por un vértice y cada punto de un límite (ver también casco visual ).

Medidas y ecuaciones

Volumen

Prueba sin palabras de que el volumen de un cono es un tercio del de un cilindro de igual diámetro y altura

El volumen de cualquier sólido cónico es un tercio del producto del área de la base por la altura ^[4] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{B}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{B}h.}$

En las matemáticas modernas, esta fórmula se puede calcular fácilmente mediante cálculo: es, hasta la escala, la integral Sin usar cálculo, la fórmula se puede demostrar comparando el cono con una pirámide y aplicando el principio de Cavalieri , específicamente, comparando el cono con una pirámide cuadrada recta (escalada verticalmente), que forma un tercio de un cubo. Esta fórmula no se puede demostrar sin usar tales argumentos infinitesimales, a diferencia de las fórmulas bidimensionales para el área poliédrica, aunque similar al área del círculo, y por lo tanto admitió pruebas menos rigurosas antes del advenimiento del cálculo, con los antiguos griegos usando el método de agotamiento . Este es esencialmente el contenido del tercer problema de Hilbert : más precisamente, no todas las pirámides poliédricas son congruentes con tijeras (pueden cortarse en piezas finitas y reorganizarse en otras), y por lo tanto el volumen no se puede calcular puramente usando un argumento de descomposición. ^[5] $${\displaystyle \int x^{2}\,dx={\tfrac {1}{3}}x^{3}}$$

Centro de masa

El centro de masa de un sólido cónico de densidad uniforme se encuentra a un cuarto del camino desde el centro de la base hasta el vértice, en la línea recta que une ambos.

Cono circular recto

Volumen

Para un cono circular con radio r y altura h , la base es un círculo de área y por lo tanto la fórmula para el volumen se convierte en ^[6] ${\displaystyle \pi r^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.}$

Altura de inclinación

La altura oblicua de un cono circular recto es la distancia desde cualquier punto del círculo de su base hasta el vértice a través de un segmento de línea a lo largo de la superficie del cono. Se da por , donde es el radio de la base y es la altura. Esto se puede demostrar mediante el teorema de Pitágoras . ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$

Área de superficie

El área de la superficie lateral de un cono circular recto es donde es el radio del círculo en la parte inferior del cono y es la altura inclinada del cono. ^[4] El área de la superficie del círculo inferior de un cono es la misma que la de cualquier círculo, . Por lo tanto, el área de la superficie total de un cono circular recto se puede expresar como cada una de las siguientes: ${\displaystyle LSA=\pi r\ell }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \pi r^{2}}$

• Radio y altura

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

(el área de la base más el área de la superficie lateral; el término es la altura inclinada) ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$

donde es el radio y es la altura. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$

Área total de la superficie de un cono circular recto, dado el radio 𝑟 y la altura inclinada ℓ

• Radio y altura de inclinación

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi r\ell }$

${\displaystyle \pi r(r+\ell )}$

donde es el radio y es la altura inclinada. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ell }$

• Circunferencia y altura de inclinación

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {c\ell }{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+\ell \right)}$

donde es la circunferencia y es la altura inclinada. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \ell }$

• Ángulo y altura del vértice

${\displaystyle \pi h^{2}\tan {\frac {\theta }{2}}\left(\tan {\frac {\theta }{2}}+\sec {\frac {\theta }{2}}\right)}$

${\displaystyle -{\frac {\pi h^{2}\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta }{2}}-1}}}$

donde es el ángulo del vértice y es la altura. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle h}$

Sector circular

El sector circular se obtiene desplegando la superficie de una de las napas del cono:

• radio R

${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

• longitud del arco L

${\displaystyle L=c=2\pi r}$

• ángulo central φ en radianes

${\displaystyle \varphi ={\frac {L}{R}}={\frac {2\pi r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}}$

Forma de ecuación

La superficie de un cono se puede parametrizar como

${\displaystyle f(\theta ,h)=(h\cos \theta ,h\sin \theta ,h),}$

donde es el ángulo "alrededor" del cono, y es la "altura" a lo largo del cono. ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$ ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$

Un cono circular sólido recto con altura y apertura , cuyo eje es el eje de coordenadas y cuyo vértice es el origen, se describe paramétricamente como ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle 2\theta }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\right)}$

donde el rango es de , , y , respectivamente. ${\displaystyle s,t,u}$ ${\displaystyle [0,\theta )}$ ${\displaystyle [0,2\pi )}$ ${\displaystyle [0,h]}$

En forma implícita , el mismo sólido se define por las desigualdades

${\displaystyle \{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\},}$

dónde

${\displaystyle F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.\,}$

De manera más general, un cono circular recto con vértice en el origen, eje paralelo al vector y apertura , se da mediante la ecuación vectorial implícita donde ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2\theta }$ ${\displaystyle F(u)=0}$

${\displaystyle F(u)=(u\cdot d)^{2}-(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta )^{2}}$

${\displaystyle F(u)=u\cdot d-|d||u|\cos \theta }$

donde , y denota el producto escalar . ${\displaystyle u=(x,y,z)}$ ${\displaystyle u\cdot d}$

Cono elíptico

Una superficie cuádrica de cono elíptico

En el sistema de coordenadas cartesianas , un cono elíptico es el lugar geométrico de una ecuación de la forma ^[7]

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=z^{2}.}$

Es una imagen afín del cono unitario circular recto con ecuación Del hecho de que la imagen afín de una sección cónica es una sección cónica del mismo tipo (elipse, parábola,...), se obtiene: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\ .}$

• Cualquier sección plana de un cono elíptico es una sección cónica.

Obviamente, todo cono circular recto contiene círculos. Esto también es cierto, aunque menos obvio, en el caso general (véase la sección circular ).

La intersección de un cono elíptico con una esfera concéntrica es una cónica esférica .

Geometría proyectiva

En geometría proyectiva , un cilindro es simplemente un cono cuyo vértice está en el infinito, lo que corresponde visualmente a un cilindro en perspectiva que parece un cono hacia el cielo.

En geometría proyectiva , un cilindro es simplemente un cono cuyo vértice está en el infinito. ^[8] Intuitivamente, si se mantiene fija la base y se toma el límite a medida que el vértice tiende al infinito, se obtiene un cilindro, cuyo ángulo del lado aumenta como arctan , formando en el límite un ángulo recto . Esto es útil en la definición de cónicas degeneradas , que requieren considerar las cónicas cilíndricas.

Según GB Halsted , un cono se genera de manera similar a una cónica de Steiner, solo que con una proyectividad y lápices axiales (no en perspectiva) en lugar de los rangos proyectivos utilizados para la cónica de Steiner:

"Si dos ejes axiales no copuntuales y co-rectos son proyectivos pero no perspectivos, los encuentros de planos correlacionados forman una 'superficie cónica de segundo orden', o 'cono'". ^[9]

Generalizaciones

La definición de cono puede extenderse a dimensiones superiores; véase cono convexo . En este caso, se dice que un conjunto convexo C en el espacio vectorial real es un cono (con vértice en el origen) si para cada vector x en C y cada número real no negativo a , el vector ax está en C . ^[2] En este contexto, los análogos de los conos circulares no suelen ser especiales; de hecho, a menudo nos interesan los conos poliédricos . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Un concepto aún más general es el cono topológico , que se define en espacios topológicos arbitrarios.

Véase también

• Bicono
• Cono (álgebra lineal)
• Cilindro (geometría)
• Demócrito
• Cónica generalizada
• Hiperboloide
• Lista de formas
• Cono pirométrico
• Cuadrárica
• Rotación de ejes
• Superficie reglada
• Traducción de ejes

Notas

1. James, RC ; James, Glenn (31 de julio de 1992). Diccionario de matemáticas. Springer Science & Business Media. págs. 74–75. ISBN 9780412990410.
2. Grünbaum, Convex Polytopes , segunda edición, pág. 23.
3. Weisstein, Eric W. "Cono". MathWorld .
4. Alexander, Daniel C.; Koeberlein, Geralyn M. (1 de enero de 2014). Geometría elemental para estudiantes universitarios. Cengage Learning. ISBN 9781285965901.
5. Hartshorne, Robin (11 de noviembre de 2013). Geometría: Euclides y más allá. Springer Science & Business Media. Capítulo 27. ISBN 9780387226767.
6. Blank, Brian E.; Krantz, Steven George (1 de enero de 2006). Cálculo: variable única. Springer Science & Business Media. Capítulo 8. ISBN 9781931914598.
7. Protter y Morrey (1970, pág.583)
8. Dowling, Linnaeus Wayland (1 de enero de 1917). Geometría proyectiva. McGraw-Hill Book Company, Incorporated.
9. GB Halsted (1906) Geometría proyectiva sintética , página 20

Referencias

• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), Cálculo universitario con geometría analítica (2.ª ed.), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Cono". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Cono doble". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Cono generalizado". MathWorld .
• Un cono giratorio interactivo de Maths Is Fun
• Modelo de papel de cono
• Área de la superficie lateral de un cono oblicuo
• Cortar un cono Una demostración interactiva de la intersección de un cono con un plano.