conjunto difuso

Conjuntos cuyos elementos tienen grados de membresía.

En matemáticas , los conjuntos difusos (también conocidos como conjuntos inciertos ) son conjuntos cuyos elementos tienen grados de pertenencia. Los conjuntos difusos fueron introducidos de forma independiente por Lotfi A. Zadeh en 1965 como una extensión de la noción clásica de conjunto. ^{[1] [2]} Al mismo tiempo, Salii (1965) definió un tipo más general de estructura llamada relación L, que estudió en un contexto algebraico abstracto . Las relaciones difusas, que ahora se utilizan en todas las matemáticas difusas y tienen aplicaciones en áreas como la lingüística (De Cock, Bodenhofer y Kerre 2000), la toma de decisiones (Kuzmin 1982) y la agrupación (Bezdek 1978), son casos especiales de relaciones L. cuando L es el intervalo unitario [0, 1].

En la teoría de conjuntos clásica , la pertenencia de elementos a un conjunto se evalúa en términos binarios según una condición bivalente : un elemento pertenece o no pertenece al conjunto. Por el contrario, la teoría de conjuntos difusos permite la evaluación gradual de la pertenencia de elementos a un conjunto; esto se describe con la ayuda de una función de pertenencia valorada en el intervalo unitario real [0, 1]. Los conjuntos difusos generalizan los conjuntos clásicos, ya que las funciones indicadoras (también conocidas como funciones características) de los conjuntos clásicos son casos especiales de las funciones de pertenencia de los conjuntos difusos, si estos últimos sólo toman valores 0 o 1. ^[3] En la teoría de conjuntos difusos, los conjuntos bivalentes clásicos Generalmente se les llama conjuntos nítidos . La teoría de conjuntos difusos se puede utilizar en una amplia gama de dominios en los que la información es incompleta o imprecisa, como la bioinformática . ^[4]

Definición

Un conjunto difuso es un par donde hay un conjunto (a menudo se requiere que no esté vacío ) y una función de membresía. El conjunto de referencia (a veces denotado por o ) se llama universo del discurso , y para cada uno el valor se llama grado de pertenencia a in . La función se llama función de pertenencia del conjunto difuso . ${\displaystyle (U,m)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle m\colon U\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in U,}$ ${\displaystyle m(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (U,m)}$ ${\displaystyle m=\mu _{A}}$ ${\displaystyle A=(U,m)}$

Para un conjunto finito, el conjunto difuso a menudo se denota por ${\displaystyle U=\{x_{1},\dots ,x_{n}\},}$ ${\displaystyle (U,m)}$ ${\displaystyle \{m(x_{1})/x_{1},\dots ,m(x_{n})/x_{n}\}.}$

Dejar . Entonces se llama ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle x}$

• no incluido en el conjunto difuso si (sin miembro), ${\displaystyle (U,m)}$ ${\displaystyle m(x)=0}$
• totalmente incluido si (miembro de pleno derecho), ${\displaystyle m(x)=1}$
• incluido parcialmente si (miembro difuso). ^[5] ${\displaystyle 0<m(x)<1}$

El conjunto (nítido) de todos los conjuntos difusos de un universo se denota con (o, a veces, simplemente ). ^[6] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle SF(U)}$ ${\displaystyle F(U)}$

Conjuntos nítidos relacionados con un conjunto difuso

Para cualquier conjunto difuso y se definen los siguientes conjuntos nítidos: ${\displaystyle A=(U,m)}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

• ${\displaystyle A^{\geq \alpha }=A_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)\geq \alpha \}}$se llama corte α (también conocido como conjunto de nivel α )
• ${\displaystyle A^{>\alpha }=A'_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)>\alpha \}}$se llama su corte α fuerte (también conocido como conjunto de nivel α fuerte )
• ${\displaystyle S(A)=\operatorname {Supp} (A)=A^{>0}=\{x\in U\mid m(x)>0\}}$se llama su soporte
• ${\displaystyle C(A)=\operatorname {Core} (A)=A^{=1}=\{x\in U\mid m(x)=1\}}$se llama núcleo (o a veces núcleo ). ${\displaystyle \operatorname {Kern} (A)}$

Tenga en cuenta que algunos autores entienden "kernel" de otra manera; vea abajo.

Otras definiciones

• Un conjunto difuso está vacío ( ) si (si y sólo si) ${\displaystyle A=(U,m)}$ ${\displaystyle A=\varnothing }$

${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle x\in U:\mu _{A}(x)=m(x)=0}$

• Dos conjuntos difusos y son iguales ( ) si y solo ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A=B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)}$

• Un conjunto difuso está incluido en un conjunto difuso ( ) si y así ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)\leq \mu _{B}(x)}$

• Para cualquier conjunto difuso , cualquier elemento que satisfaga ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in U}$

${\displaystyle \mu _{A}(x)=0.5}$

se llama punto de cruce .

• Dado un conjunto difuso , cualquiera que no esté vacío se denomina nivel de A. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ ${\displaystyle A^{=\alpha }=\{x\in U\mid \mu _{A}(x)=\alpha \}}$
• El conjunto de niveles de A es el conjunto de todos los niveles que representan cortes distintos. Es la imagen de : ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ ${\displaystyle \mu _{A}}$

${\displaystyle \Lambda _{A}=\{\alpha \in [0,1]:A^{=\alpha }\neq \varnothing \}=\{\alpha \in [0,1]:{}}$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle x\in U(\mu _{A}(x)=\alpha )\}=\mu _{A}(U)}$

• Para un conjunto difuso , su altura está dada por ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {Hgt} (A)=\sup\{\mu _{A}(x)\mid x\in U\}=\sup(\mu _{A}(U))}$

donde denota el supremo , que existe porque no está vacío y está limitado arriba por 1. Si U es finito, simplemente podemos reemplazar el supremo por el máximo. ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle \mu _{A}(U)}$

• Se dice que un conjunto difuso está normalizado si y solo ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {Hgt} (A)=1}$

En el caso finito, donde el supremo es máximo, esto significa que al menos un elemento del conjunto difuso tiene membresía completa. Un conjunto difuso no vacío se puede normalizar con el resultado dividiendo la función de pertenencia del conjunto difuso por su altura: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\tilde {A}}(x)=\mu _{A}(x)/\operatorname {Hgt} (A)}$

Además de las similitudes, esto se diferencia de la normalización habitual en que la constante de normalización no es una suma.

• Para conjuntos difusos de números reales ( U ⊆ ℝ) con soporte acotado , el ancho se define como ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {Width} (A)=\sup(\operatorname {Supp} (A))-\inf(\operatorname {Supp} (A))}$

En el caso de que sea un conjunto finito, o más generalmente un conjunto cerrado , el ancho es simplemente ${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {Width} (A)=\max(\operatorname {Supp} (A))-\min(\operatorname {Supp} (A))}$

En el caso n -dimensional ( U ⊆ ℝ ⁿ ), lo anterior se puede reemplazar por el volumen n -dimensional de . ${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

En general, esto se puede definir dada cualquier medida en U , por ejemplo mediante integración (por ejemplo, integración de Lebesgue ) de . ${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

• Se dice que un conjunto difuso real ( U ⊆ ℝ ) es convexo (en el sentido difuso, no debe confundirse con un conjunto convexo nítido ), si y así ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall x,y\in U,\forall \lambda \in [0,1]:\mu _{A}(\lambda {x}+(1-\lambda )y)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))}$.

Sin pérdida de generalidad, podemos tomar x ≤ y , lo que da la formulación equivalente

${\displaystyle \forall z\in [x,y]:\mu _{A}(z)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))}$.

Esta definición se puede extender a una para un espacio topológico general U : decimos que el conjunto difuso es convexo cuando, para cualquier subconjunto Z de U , se cumple la condición ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall z\in Z:\mu _{A}(z)\geq \inf(\mu _{A}(\partial Z))}$

se cumple, donde denota el límite de Z y denota la imagen de un conjunto X (aquí ) bajo una función f (aquí ). ${\displaystyle \partial Z}$ ${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$ ${\displaystyle \partial Z}$ ${\displaystyle \mu _{A}}$

Operaciones de conjuntos difusos

Aunque el complemento de un conjunto difuso tiene una definición más común, las otras operaciones principales, unión e intersección, tienen cierta ambigüedad.

• Para un conjunto difuso dado , su complemento (a veces denotado como o ) se define mediante la siguiente función de pertenencia: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \neg {A}}$ ${\displaystyle A^{c}}$ ${\displaystyle cA}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)}$.

• Sea t una t-norma y s la s-norma correspondiente (también conocida como t-conorm). Dado un par de conjuntos difusos , su intersección está definida por: ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\cap {B}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cap {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$,

y su unión está definida por: ${\displaystyle A\cup {B}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=s(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$.

Por la definición de la norma t, vemos que la unión y la intersección son conmutativas , monótonas , asociativas y tienen un elemento nulo y uno de identidad . Para la intersección, estos son ∅ y U , respectivamente, mientras que para la unión, se invierten. Sin embargo, la unión de un conjunto difuso y su complemento puede no dar como resultado el universo completo U , y la intersección de ellos puede no dar como resultado el conjunto vacío ∅. Dado que la intersección y la unión son asociativas, es natural definir recursivamente la intersección y la unión de una familia finita de conjuntos difusos. Es de destacar que los operadores estándar generalmente aceptados para la unión e intersección de conjuntos difusos son los operadores máximo y mínimo:

• ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$y . ^[7] ${\displaystyle \mu _{A\cap {B}}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$

• Si el negador estándar se reemplaza por otro negador fuerte , la diferencia del conjunto difuso puede generalizarse por ${\displaystyle n(\alpha )=1-\alpha ,\alpha \in [0,1]}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=n(\mu _{A}(x)).}$

• La terna de intersección difusa, unión y complemento forman un Triplete de De Morgan . Es decir, las leyes de De Morgan se extienden a este triple.

Se pueden derivar ejemplos de pares de intersección/unión difusos con negador estándar a partir de muestras proporcionadas en el artículo sobre normas t .

La intersección difusa no es idempotente en general, porque la norma t estándar min es la única que tiene esta propiedad. De hecho, si se utiliza la multiplicación aritmética como norma t, la operación de intersección difusa resultante no es idempotente. Es decir, tomar iterativamente la intersección de un conjunto difuso consigo mismo no es trivial. En cambio, define la m -ésima potencia de un conjunto difuso, que puede generalizarse canónicamente para exponentes no enteros de la siguiente manera:

• Para cualquier conjunto difuso y la ν-ésima potencia de está definida por la función de membresía: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu \in \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A^{\nu }}(x)=\mu _{A}(x)^{\nu }.}$

El caso del exponente dos es lo suficientemente especial como para darle un nombre.

• Para cualquier conjunto difuso la concentración se define ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle CON(A)=A^{2}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{CON(A)}(x)=\mu _{A^{2}}(x)=\mu _{A}(x)^{2}.}$

Tomando , tenemos y ${\displaystyle 0^{0}=1}$ ${\displaystyle A^{0}=U}$ ${\displaystyle A^{1}=A.}$

• Dados conjuntos difusos , la diferencia de conjuntos difusos , también denotada , puede definirse directamente mediante la función de membresía: ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\setminus B}$ ${\displaystyle A-B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),n(\mu _{B}(x))),}$

lo que significa , por ejemplo: ${\displaystyle A\setminus B=A\cap \neg {B}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)).}$^[8]

Otra propuesta para una diferencia fija podría ser:

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A-{B}}(x)=\mu _{A}(x)-t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x)).}$^[8]

• Dubois y Prade (1980) han hecho propuestas para diferencias simétricas de conjuntos difusos, ya sea tomando el valor absoluto , dando

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=|\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x)|,}$

o usando una combinación de max , min y negación estándar, dando

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=\max(\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)),\min(\mu _{B}(x),1-\mu _{A}(x))).}$^[8]

Vemur et al. han propuesto axiomas para la definición de diferencias simétricas generalizadas análogas a las de t-normas, t-conormas y negadores. (2014) con predecesores de Alsina et al. (2005) y Bedregal et al. (2009). ^[8]

• A diferencia de los conjuntos nítidos, las operaciones de promediado también se pueden definir para conjuntos difusos.

Conjuntos difusos disjuntos

En contraste con la ambigüedad general de las operaciones de intersección y unión, hay claridad para conjuntos difusos disjuntos: dos conjuntos difusos son disjuntos si y sólo si ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=0\lor \mu _{B}(x)=0}$

que es equivalente a

${\displaystyle \nexists }$ ${\displaystyle x\in U:\mu _{A}(x)>0\land \mu _{B}(x)>0}$

y también equivalente a

${\displaystyle \forall x\in U:\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))=0}$

Tenemos en cuenta que min / max está en el par normal/s, y cualquier otro funcionará aquí también.

Los conjuntos difusos son disjuntos si y sólo si sus soportes son disjuntos según la definición estándar de conjuntos nítidos.

Para conjuntos difusos disjuntos, cualquier intersección dará ∅ y cualquier unión dará el mismo resultado, que se denota como ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle A\,{\dot {\cup }}\,B=A\cup B}$

con su función de membresía dada por

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A{\dot {\cup }}B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)}$

Tenga en cuenta que sólo uno de ambos sumandos es mayor que cero.

Para conjuntos difusos disjuntos se cumple lo siguiente: ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle \operatorname {Supp} (A\,{\dot {\cup }}\,B)=\operatorname {Supp} (A)\cup \operatorname {Supp} (B)}$

Esto se puede generalizar a familias finitas de conjuntos difusos de la siguiente manera: Dada una familia de conjuntos difusos con un conjunto de índices I (por ejemplo, I = {1,2,3,..., n }). Esta familia es (por pares) disjunta si y así ${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$

${\displaystyle {\text{for all }}x\in U{\text{ there exists at most one }}i\in I{\text{ such that }}\mu _{A_{i}}(x)>0.}$

Una familia de conjuntos difusos es disjunta, si la familia de soportes subyacentes es disjunta en el sentido estándar de familias de conjuntos nítidos. ${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} \circ A=(\operatorname {Supp} (A_{i}))_{i\in I}}$

Independientemente del par de normas t/s, la intersección de una familia disjunta de conjuntos difusos dará ∅ nuevamente, mientras que la unión no tiene ambigüedad:

${\displaystyle {\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}=\bigcup _{i\in I}A_{i}}$

con su función de membresía dada por

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{{\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}A_{i}}(x)=\sum _{i\in I}\mu _{A_{i}}(x)}$

De nuevo, sólo uno de los sumandos es mayor que cero.

Para familias disjuntas de conjuntos difusos se cumple lo siguiente: ${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$

${\displaystyle \operatorname {Supp} \left({\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}\right)=\bigcup \limits _{i\in I}\operatorname {Supp} (A_{i})}$

Cardinalidad escalar

Para un conjunto difuso con soporte finito (es decir, un "conjunto difuso finito"), su cardinalidad (también conocida como cardinalidad escalar o recuento sigma ) viene dada por ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {Card} (A)=\operatorname {sc} (A)=|A|=\sum _{x\in U}\mu _{A}(x)}$.

En el caso de que U en sí sea un conjunto finito, la cardinalidad relativa viene dada por

${\displaystyle \operatorname {RelCard} (A)=\|A\|=\operatorname {sc} (A)/|U|=|A|/|U|}$.

Esto se puede generalizar para que el divisor sea un conjunto difuso no vacío: para conjuntos difusos con G ≠ ∅, podemos definir la cardinalidad relativa como: ${\displaystyle A,G}$

${\displaystyle \operatorname {RelCard} (A,G)=\operatorname {sc} (A|G)=\operatorname {sc} (A\cap {G})/\operatorname {sc} (G)}$,

que se parece mucho a la expresión de probabilidad condicional . Nota:

• ${\displaystyle \operatorname {sc} (G)>0}$aquí.
• El resultado puede depender de la intersección específica (norma t) elegida.
• Porque el resultado es inequívoco y se parece a la definición anterior. ${\displaystyle G=U}$

Distancia y similitud

Para cualquier conjunto difuso, la función de membresía puede considerarse como una familia . Este último es un espacio métrico con varias métricas conocidas. Una métrica se puede derivar de una norma (norma vectorial) mediante ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu _{A}:U\to [0,1]}$ ${\displaystyle \mu _{A}=(\mu _{A}(x))_{x\in U}\in [0,1]^{U}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \|\,\|}$

${\displaystyle d(\alpha ,\beta )=\|\alpha -\beta \|}$.

Por ejemplo, si es finito, es decir , dicha métrica puede definirse mediante: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U=\{x_{1},x_{2},...x_{n}\}}$

${\displaystyle d(\alpha ,\beta ):=\max\{|\alpha (x_{i})-\beta (x_{i})|:i=1,...,n\}}$donde y son sucesiones de números reales entre 0 y 1. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Para infinito , el máximo puede ser reemplazado por un supremo. Debido a que los conjuntos difusos están definidos inequívocamente por su función de pertenencia, esta métrica se puede utilizar para medir distancias entre conjuntos difusos en el mismo universo: ${\displaystyle U}$

${\displaystyle d(A,B):=d(\mu _{A},\mu _{B})}$,

que se convierte en el ejemplo anterior:

${\displaystyle d(A,B)=\max\{|\mu _{A}(x_{i})-\mu _{B}(x_{i})|:i=1,...,n\}}$.

Nuevamente, para infinito, el máximo debe ser reemplazado por un supremo. Otras distancias (como la norma 2 canónica) pueden divergir, si infinitos conjuntos difusos son demasiado diferentes, por ejemplo, y . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle U}$

Las medidas de similitud (aquí denotadas por ) pueden derivarse entonces de la distancia, por ejemplo, después de una propuesta de Koczy: ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S=1/(1+d(A,B))}$si es finito, de lo contrario, ${\displaystyle d(A,B)}$ ${\displaystyle 0}$

o después de Williams y Steele:

${\displaystyle S=\exp(-\alpha {d(A,B)})}$si es finito, de lo contrario ${\displaystyle d(A,B)}$ ${\displaystyle 0}$

donde es un parámetro de pendiente y . ^[6] ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$

Beg y Ashraf también proporcionan otra definición de medidas de similitud valoradas por intervalos (más bien "difusas") . ^[6] ${\displaystyle \zeta }$

L -conjuntos difusos

A veces, se utilizan variantes más generales de la noción de conjunto difuso, en las que las funciones de pertenencia toman valores en un álgebra o estructura (fija o variable) de un tipo determinado; normalmente se requiere que sea al menos un poset o celosía . Generalmente se denominan conjuntos L -difusos , para distinguirlos de los valorados en el intervalo unitario. Las funciones de membresía habituales con valores en [0, 1] se denominan funciones de membresía con valores [0, 1]. Este tipo de generalizaciones fueron consideradas por primera vez en 1967 por Joseph Goguen , que fue alumno de Zadeh. ^[9] Un corolario clásico puede ser indicar valores de verdad y membresía mediante {f, t} en lugar de {0, 1}. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Atanassov ha proporcionado una extensión de los conjuntos difusos . Un conjunto difuso intuicionista (IFS) se caracteriza por dos funciones: ${\displaystyle A}$

1.- grado de pertenencia a x ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$

2.- grado de no pertenencia a x ${\displaystyle \nu _{A}(x)}$

con funciones con . ${\displaystyle \mu _{A},\nu _{A}:U\to [0,1]}$ ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$

Esto se parece a una situación como la de una persona denotada por votar. ${\displaystyle x}$

• para una propuesta : ( ), ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)=1,\nu _{A}(x)=0}$
• En contra: ( ), ${\displaystyle \mu _{A}(x)=0,\nu _{A}(x)=1}$
• o abstenerse de votar: ( ). ${\displaystyle \mu _{A}(x)=\nu _{A}(x)=0}$

Al fin y al cabo, tenemos un porcentaje de aprobaciones, un porcentaje de negativas y un porcentaje de abstenciones.

Para esta situación, se pueden definir negadores especiales "intuitivos difusos", normas t y s. Con y combinando ambas funciones, esta situación se asemeja a un tipo especial de conjuntos L -difusos. ${\displaystyle D^{*}=\{(\alpha ,\beta )\in [0,1]^{2}:\alpha +\beta =1\}}$ ${\displaystyle (\mu _{A},\nu _{A}):U\to D^{*}}$

Una vez más, esto se ha ampliado definiendo conjuntos de imágenes difusas (PFS) de la siguiente manera: Un PFS A se caracteriza por tres funciones que asignan U a [0, 1]: , "grado de membresía positiva", "grado de membresía neutral", y "grado de membresía negativa", respectivamente, y condición adicional. Esto amplía el ejemplo de votación anterior con una posibilidad adicional de "rechazo de votación". ${\displaystyle \mu _{A},\eta _{A},\nu _{A}}$ ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)+\eta _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$

Con negadores especiales de "imagen difusa", normas t y s, esto se asemeja a otro tipo de conjuntos L difusos. ^{[10] [11]} ${\displaystyle D^{*}=\{(\alpha ,\beta ,\gamma )\in [0,1]^{3}:\alpha +\beta +\gamma =1\}}$

Conjuntos difusos neutrosóficos

Algunos avances clave en la introducción de conceptos de conjuntos difusos. ^[12]

El concepto de IFS se ha ampliado a dos modelos principales. Las dos extensiones de IFS son los conjuntos difusos neutrosóficos y los conjuntos difusos pitagóricos. ^[12]

Los conjuntos difusos neutrosóficos fueron introducidos por Smarandache en 1998. ^[13] Al igual que IFS, los conjuntos difusos neutrosóficos tienen las dos funciones anteriores: una para membresía y otra para no membresía . La principal diferencia es que los conjuntos difusos neutrosóficos tienen una función más: indeterminada . Este valor indica que el grado de indecisión de que la entidad x pertenece al conjunto. Este concepto de tener un valor indeterminado puede ser particularmente útil cuando no se puede tener mucha confianza en los valores de membresía o no membresía para el elemento x . ^[14] En resumen, los conjuntos difusos neutrosóficos están asociados con las siguientes funciones: ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$ ${\displaystyle \nu _{A}(x)}$ ${\displaystyle i_{A}(x)}$ ${\displaystyle i_{A}(x)}$

1. —grado de pertenencia a x ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$

2. —grado de no pertenencia a x ${\displaystyle \nu _{A}(x)}$

3. —grado de valor indeterminado de x ${\displaystyle i_{A}(x)}$

Conjuntos difusos pitagóricos

La otra extensión de IFS es lo que se conoce como conjuntos difusos pitagóricos. Los conjuntos difusos pitagóricos son más flexibles que los IFS. Los IFS se basan en la restricción , que puede considerarse demasiado restrictiva en algunas ocasiones. Por eso Yager propuso el concepto de conjuntos difusos pitagóricos. Tales conjuntos satisfacen la restricción , que recuerda al teorema de Pitágoras. ^{[15] [16] [17]} Los conjuntos difusos pitagóricos pueden ser aplicables a aplicaciones de la vida real en las que la condición anterior de no es válida. Sin embargo, la condición menos restrictiva puede ser adecuada en más dominios. ^{[12] [14]} ${\displaystyle \mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1}$

Lógica difusa

Como una extensión del caso de la lógica multivaluada , las valoraciones ( ) de variables proposicionales ( ) en un conjunto de grados de membresía ( ) pueden considerarse como funciones de membresía que mapean predicados en conjuntos difusos (o más formalmente, en un conjunto ordenado de pares borrosos, llamados relación borrosa). Con estas valoraciones, la lógica multivaluada puede ampliarse para permitir premisas difusas de las cuales se pueden extraer conclusiones graduadas. ^[18] ${\displaystyle \mu :{\mathit {V}}_{o}\to {\mathit {W}}}$ ${\displaystyle {\mathit {V}}_{o}}$ ${\displaystyle {\mathit {W}}}$

Esta extensión a veces se denomina "lógica difusa en sentido estricto" en contraposición a "lógica difusa en sentido más amplio", que se originó en los campos de ingeniería del control automatizado y la ingeniería del conocimiento , y que abarca muchos temas que involucran conjuntos difusos y "razonamiento aproximado". ". ^[19]

Las aplicaciones industriales de conjuntos difusos en el contexto de la "lógica difusa en el sentido más amplio" se pueden encontrar en lógica difusa .

Número difuso y único número

Un número difuso ^[20] es un conjunto difuso que satisface todas las condiciones siguientes:

• A está normalizado;
• A es un conjunto convexo;
• ${\displaystyle \exists !x^{*}\in A,\mu _{A}(x^{*})=1}$;
• La función de membresía es al menos segmentariamente continua. ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$

Si estas condiciones no se cumplen, entonces A no es un número difuso . El núcleo de este número difuso es un singleton ; su ubicación es:

${\displaystyle \,C(A)=x^{*}:\mu _{A}(x^{*})=1}$

Cuando no se cumple la condición de unicidad de , entonces el conjunto difuso se caracteriza como un intervalo difuso . ^[20] El núcleo de este intervalo difuso es un intervalo nítido con: ${\displaystyle {x^{*}}}$

${\displaystyle \,C(A)=\left[\min\{x\in \mathbb {R} \mid \mu _{A}(x)=1\};\max\{x\in \mathbb {R} \mid \mu _{A}(x)=1\}\right]}$.

Los números difusos pueden compararse con el juego de feria "adivina tu peso", donde alguien adivina el peso del concursante, siendo más correctas las conjeturas más cercanas, y donde el adivino "gana" si adivina lo suficientemente cerca del peso del concursante, con el el peso real es completamente correcto (asignado a 1 mediante la función de membresía).

El núcleo de un intervalo difuso se define como la parte "interna", sin las partes "salientes", donde el valor de membresía es constante hasta el infinito. En otras palabras, el subconjunto más pequeño de donde es constante fuera de él se define como núcleo. ${\displaystyle K(A)=\operatorname {Kern} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$

Sin embargo, existen otros conceptos de números e intervalos difusos, ya que algunos autores no insisten en la convexidad.

Categorías difusas

El uso de la pertenencia a conjuntos como componente clave de la teoría de categorías se puede generalizar a conjuntos difusos. Este enfoque, que comenzó en 1968, poco después de la introducción de la teoría de conjuntos difusos, ^[21] condujo al desarrollo de las categorías de Goguen en el siglo XXI. ^{[22] [23]} En estas categorías, en lugar de utilizar miembros de conjuntos de dos valores, se utilizan intervalos más generales y pueden ser celosías como en L -conjuntos difusos. ^{[23] [24]}

Ecuación de relación difusa

La ecuación de relación difusa es una ecuación de la forma A · R = B , donde A y B son conjuntos difusos, R es una relación difusa y A · R representa la composición de A con  R ^{[ cita requerida ]} .

entropía

Una medida d de borrosidad para conjuntos difusos de universo debe cumplir las siguientes condiciones para todos : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U}$

1. ${\displaystyle d(A)=0}$si es un conjunto nítido: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)\in \{0,\,1\}}$
2. ${\displaystyle d(A)}$tiene un máximo único si ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=0.5}$
3. ${\displaystyle \mu _{A}\leq \mu _{B}\iff }$

${\displaystyle \mu _{A}\leq \mu _{B}\leq 0.5}$

${\displaystyle \mu _{A}\geq \mu _{B}\geq 0.5}$

lo que significa que B es "más nítido" que A .

1. ${\displaystyle d(\neg {A})=d(A)}$

En este caso se llama entropía del conjunto difuso A. ${\displaystyle d(A)}$

Para finitos, la entropía de un conjunto difuso viene dada por ${\displaystyle U=\{x_{1},x_{2},...x_{n}\}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle d(A)=H(A)+H(\neg {A})}$,

${\displaystyle H(A)=-k\sum _{i=1}^{n}\mu _{A}(x_{i})\ln \mu _{A}(x_{i})}$

o solo

${\displaystyle d(A)=-k\sum _{i=1}^{n}S(\mu _{A}(x_{i}))}$

¿Dónde está la función de Shannon (función de entropía natural)? ${\displaystyle S(x)=H_{e}(x)}$

${\displaystyle S(\alpha )=-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha ),\ \alpha \in [0,1]}$

y es una constante dependiendo de la unidad de medida y de la base logarítmica utilizada (aquí hemos utilizado la base natural e ). La interpretación física de k es la constante de Boltzmann k ^B . ${\displaystyle k}$

Sea un conjunto difuso con una función de pertenencia continua (variable difusa). Entonces ${\displaystyle A}$

${\displaystyle H(A)=-k\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace \ln \operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace \,dt}$

y su entropía es

${\displaystyle d(A)=-k\int _{-\infty }^{\infty }S(\operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace )\,dt.}$^{[25] [26]}

Extensiones

Hay muchas construcciones matemáticas similares o más generales que los conjuntos difusos. Desde que se introdujeron los conjuntos difusos en 1965, se han desarrollado muchas nuevas construcciones y teorías matemáticas que tratan la imprecisión, la inexactitud, la ambigüedad y la incertidumbre. Algunas de estas construcciones y teorías son extensiones de la teoría de conjuntos difusos, mientras que otras intentan modelar matemáticamente la imprecisión y la incertidumbre de una manera diferente. ^[27]

Ver también

• Teoría de conjuntos alternativa
• Desfusificación
• Concepto difuso
• matemáticas difusas
• Operaciones de conjuntos difusos
• subálgebra difusa
• elemento finito de intervalo
• Información parcial lineal
• Conjunto múltiple
• neuro-difuso
• Hibridación difusa aproximada
• conjunto aproximado
• Índice de similitud de Sørensen
• Conjuntos y sistemas difusos tipo 2
• Incertidumbre

Referencias

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