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matemáticas difusas

Las matemáticas difusas son la rama de las matemáticas que incluye la teoría de conjuntos difusos y la lógica difusa que se ocupa de la inclusión parcial de elementos en un conjunto en un espectro, a diferencia de la simple inclusión binaria "sí" o "no" (0 o 1). Comenzó en 1965 después de la publicación del trabajo fundamental de Lotfi Asker Zadeh, Fuzzy sets . [1] La lingüística es un ejemplo de un campo que utiliza la teoría de conjuntos difusos.

Definición

Un subconjunto difuso A de un conjunto X es una función A : X → L , donde L es el intervalo [0, 1]. Esta función también se llama función de membresía. Una función de membresía es una generalización de una función indicadora (también llamada función característica ) de un subconjunto definido para L = {0, 1}. De manera más general , se puede utilizar cualquier red completa L en una definición de un subconjunto difuso A. [2]

Fuzzificación

La evolución de la difusificación de los conceptos matemáticos se puede dividir en tres etapas: [3]

  1. una clara fusificación durante los años sesenta y setenta,
  2. la explosión de opciones posibles en el proceso de generalización durante los años ochenta,
  3. la estandarización, axiomatización y L -fuzzificación en los años noventa.

Por lo general, una difusificación de conceptos matemáticos se basa en una generalización de estos conceptos desde funciones características hasta funciones de membresía. Sean A y B dos subconjuntos difusos de X. La intersección A  ∩  B y la unión A  ∪  B se definen de la siguiente manera: ( A  ∩  B )( x ) = min( A ( x ), B ( x )), ( A  ∪  B )( x ) = max( A ( x ), B ( x )) para todo x en X . En lugar de min y max se pueden usar t-norm y t-conorm, respectivamente; [4] por ejemplo, min( a , b ) se puede reemplazar por la multiplicación ab . Una fuzzificación sencilla generalmente se basa en operaciones mínimas y máximas porque en este caso se pueden extender más propiedades de las matemáticas tradicionales al caso difuso.

Un principio de generalización importante utilizado en la difusificación de operaciones algebraicas es la propiedad de cierre. Sea * una operación binaria en X . La propiedad de cierre para un subconjunto difuso A de X es que para todo x , y en X , A ( x * y ) ≥ min( A ( x ), A ( y )). Sea ( G , *) un grupo y A un subconjunto difuso de G. Entonces A es un subgrupo difuso de G si para todo x , y en G , A ( x * y −1 ) ≥ min( A ( x ), A ( y −1 )).

Un principio de generalización similar se utiliza, por ejemplo, para la difusificación de la propiedad de transitividad . Sea R una relación difusa en X , es decir, R es un subconjunto difuso de X  ×  X. Entonces R es transitivo (difuso) si para todo x ,  y ,  z en X , R ( x ,  z ) ≥ min( R ( x ,  y ), R ( y ,  z )).

Análogos difusos

Los subgrupos difusos y los subgrupos difusos fueron introducidos en 1971 por A. Rosenfeld. [5] [6] [7]

Se han traducido a matemáticas difusas análogos de otras materias matemáticas, como la teoría de campos difusos y la teoría de Galois difusa, [8] topología difusa, [9] [10] geometría difusa, [11] [12] [13] [14] difusa ordenamientos, [15] y gráficos difusos. [16] [17] [18]

Ver también

Referencias

  1. ^ Zadeh, LA (1965) "Conjuntos difusos", Información y control , 8, 338–353.
  2. ^ Goguen, J. (1967) "Conjuntos L-difusos", J. Math. Anal. Aplica. , 18, 145-174.
  3. ^ Kerre, EE, Mordeson, JN (2005) "Una descripción histórica de las matemáticas difusas", Nuevas matemáticas y computación natural , 1, 1-26.
  4. ^ Klement, EP, Mesiar, R., Pap, E. (2000) Normas triangulares . Dordrecht, Kluwer.
  5. ^ Rosenfeld, A. (1971) "Grupos difusos", J. Math. Anal. Aplica. , 35, 512-517.
  6. ^ Mordeson, JN, Malik, DS, Kuroli, N. (2003) Semigrupos difusos . Estudios sobre borrosidad y computación blanda, vol. 131, Springer-Verlag
  7. ^ Mordeson, JN, Bhutani, KR, Rosenfeld, A. (2005) Teoría de grupos difusos . Estudios sobre borrosidad y computación blanda, vol. 182. Springer-Verlag.
  8. ^ Mordeson, JN, Malik, DS (1998) Álgebra conmutativa difusa . Científico mundial.
  9. ^ Chang, CL (1968) "Espacios topológicos difusos", J. Math. Anal. Aplica. , 24, 182-190.
  10. ^ Liu, Y.-M. , Luo, M.-K. (1997) Topología difusa . Avances en sistemas difusos: aplicaciones y teoría, vol. 9, World Scientific, Singapur.
  11. ^ Poston, Tim, "Geometría difusa".
  12. ^ Buckley, JJ, Eslami, E. (1997) "Geometría plana difusa I: puntos y líneas". Conjuntos y sistemas difusos , 86, 179-187.
  13. ^ Ghosh, D., Chakraborty, D. (2012) "Geometría analítica del plano difuso I". Conjuntos y sistemas difusos , 209, 66-83.
  14. ^ Chakraborty, D. y Ghosh, D. (2014) "Geometría analítica del plano difuso II". Conjuntos y sistemas difusos , 243, 84-109.
  15. ^ Zadeh LA (1971) "Relaciones de similitud y ordenamientos difusos". Informar. Ciencia. , 3, 177–200.
  16. ^ Kaufmann, A. (1973). Introducción a la teoría de los flujos sous-ensembles . París. Masón.
  17. ^ A. Rosenfeld, A. (1975) "Gráficos difusos". En: Zadeh, LA, Fu, KS, Tanaka, K., Shimura, M. (eds.), Conjuntos difusos y sus aplicaciones a los procesos cognitivos y de decisión , Academic Press, Nueva York, ISBN  978-0-12-775260- 0 , págs. 77–95.
  18. ^ Yeh, RT, Bang, SY (1975) "Gráficos difusos, relaciones difusas y sus aplicaciones al análisis de conglomerados". En: Zadeh, LA, Fu, KS, Tanaka, K., Shimura, M. (eds.), Conjuntos difusos y sus aplicaciones a los procesos cognitivos y de decisión , Academic Press, Nueva York, ISBN 978-0-12-775260- 0 , págs. 125-149. 

enlaces externos